C’est une courte introduction à la théorie de Galois. Le niveau de cet article est nécessairement assez élevé par rapport à certains articles de NRICH, car la théorie de Galois est un sujet très difficile qui n’est généralement introduit que dans la dernière année d’un diplôme de mathématiques de premier cycle. Cet article ne fait qu’effleurer la théorie de Galois et devrait probablement être accessible à un élève de 17 ou 18 ans ayant un fort intérêt pour les mathématiques. Il y a un bref et très vague aperçu de deux applications importantes de la théorie de Galois dans l’introduction ci-dessous. Si vous voulez en savoir plus sur la théorie de Galois, le reste de l’article est plus approfondi, mais aussi plus difficile.
Les deux choses les plus importantes à connaître pour comprendre la partie approfondie de l’article sont les nombres complexes et la théorie des groupes. Si vous n’avez pas rencontré les nombres complexes auparavant, vous pouvez lire Une introduction aux nombres complexes , qui devrait être accessible aux élèves de 15 ou 16 ans. Si vous n’avez jamais rencontré la théorie des groupes auparavant, ne vous inquiétez pas. J’introduis l’idée d’un groupe ci-dessous, bien qu’il pourrait être préférable d’essayer de trouver un livre ou un site Web qui va plus en détail.
1.1 Motivation
La théorie de Galois est un très grand sujet, et jusqu’à ce que vous soyez assez immergé dans l’étude mathématique d’une manière qui est inhabituelle à moins d’étudier pour un diplôme en mathématiques, il peut sembler assez inutile. Cependant, il y a deux problèmes qui fournissent une certaine motivation pour étudier la théorie de Galois – l’existence de polynômes qui ne sont pas solubles par les radicaux, et certains résultats sur la géométrie euclidienne classique,par exemple que vous ne pouvez pas trisecter un angle en utilisant une règle et un compas, et que certains polygones réguliers ne peuvent pas être construits en utilisant une règle et un compas.
Définition Lorsqu’on peut trouver les solutions d’un polynôme à coefficients rationnels en utilisant uniquement des nombres rationnels et les opérations d’addition, de soustraction, de division, de multiplication et de recherche des nièmes racines, on dit que $p(x)$ est soluble par les radicaux.
1.2 Historique
Alors, pourquoi la théorie de Galois est-elle appelée théorie de Galois ? La réponse est qu’elle est nommée d’après un mathématicien français Evariste Galois (1811-1832) qui a fait des travaux très importants dans ce domaine. Il a eu une vie très dramatique et difficile, ne parvenant pas à faire reconnaître la plupart de ses travaux en raison de sa grande difficulté à s’exprimer clairement. Par exemple, il n’a pas été admis à la principale université de Paris, l’École polytechnique, et a dû se contenter de l’École normale. Il rencontre également des difficultés en raison de ses sympathies politiques, il est républicain. Cela lui vaut d’être exclu de l’Ecole Normale après avoir écrit une lettre à un journal critiquant le directeur de l’école. Il adhère à une branche républicaine de la milice et est ensuite emprisonné (deux fois) en raison de son appartenance. La deuxième fois, alors qu’il était en prison, il est tombé amoureux de la fille du médecin de la prison, Stéphanie-Felice du Motel et, après avoir été libéré, il est mort dans un duel avec Perscheux d’Herbinville. Les raisons de ce duel ne sont pas tout à fait claires, mais il est probable qu’elles aient un rapport avec Stéphanie. Sa mort a déclenché des émeutes républicaines et des rassemblements qui ont duré plusieurs jours.
Bien que Galois soit souvent crédité d’avoir inventé la théorie des groupes et la théorie de Galois, il semble qu’un mathématicien italien Paolo Ruffini (1765-1822) ait pu avoir de nombreuses idées en premier. Malheureusement, ses idées n’ont pas été prises au sérieux par le reste de la communauté mathématique de l’époque. Il y a quelques liens à la fin de ce document pour toute personne intéressée à en savoir plus sur l’histoire de la théorie des groupes et de la théorie de Galois.
1.3 Aperçu
La façon dont le résultat sur la solubilité par les radicaux ci-dessus est prouvé (en utilisant la théorie de Galois) est de prouver un résultat sur la collection de symétries parmi les racines d’un polynôme étant donné que les racines sont construites en utilisant seulement les opérations spéciales ci-dessus. (Il s’avère que la collection de symétries doit former ce que l’on appelle un groupe soluble. Nous y reviendrons vers la fin de cet article). Ensuite, vous trouvez un polynôme pour lequel les symétries des racines n’ont pas cette propriété spéciale, donc vous savez que les racines n’ont pas pu être construites à partir des opérations spéciales.
Le sujet du reste de cet article est de préciser ce que l’on entend par symétrie des racines et sur la structure de la collection de ces symétries.
1.4 Notation
1.5 Conseils pour lire cet article
Le reste de cet article est assez difficile. Un grand nombre de nouvelles idées sont introduites et utilisées à plusieurs reprises, et il y a beaucoup de mots non familiers. À la fin de l’article, j’utiliserai des phrases comme $Q$ est une extension de champ radicale de $Q$ parce qu’elle peut être construite en utilisant uniquement des extensions de champ cyclotomiques à chaque étape. Ne vous laissez pas décourager par ce langage apparemment étranger, chaque mot est expliqué au fur et à mesure qu’il est introduit. La meilleure stratégie pour le lire est d’y aller lentement et de s’assurer que vous comprenez exactement le sens de chaque mot avant de passer à la section suivante, car ce mot sera utilisé à maintes reprises, et si vous ne le comprenez pas bien, tout deviendra de plus en plus confus au fil de la lecture. Cependant, si vous lisez ceci en ligne, vous pouvez simplement cliquer sur n’importe lequel des mots soulignés et la définition originale apparaîtra dans une petite fenêtre.
2 Groupes et champs
À ce stade, vous voudrez peut-être vérifier ce que vous avez suivi jusqu’ici. Voyez si vous pouvez prouver que $S_n$ est un groupe et qu’il a $n!$ éléments. Si vous êtes heureux avec l’idée d’ensembles et de fonctions, alors vous pouvez prouver que $S_X$ est un groupe même si $X$ est un ensemble infini.
2.2 Champs
2.3 Extensions de champs
Définition (Extension de champ):
Une extension de champ d’un champ $F$ est un champ $K$ contenant $F$ (nous écrivons une extension de champ comme $F\subseteq K$ ou $K/F$). Par exemple, les nombres réels sont une extension de champ des nombres rationnels, parce que les réels sont un champ et que tout rationnel est aussi un nombre réel.
2.4 Champs de division
C’est ici que commence le bit de la théorie de Galois.
Un autre exemple est que le champ de division de $p(x)=x^4-5x^2+6$ est $Q$. Pouvez-vous voir pourquoi ?
3 Automorphismes et groupes de Galois
Vous pouvez vérifier que pour la fonction $f$ ci-dessus satisfait vraiment toutes les conditions.
L’idée d’un automorphisme de champ est que c’est juste une façon de réétiqueter les éléments du champ sans changer du tout la structure. En d’autres termes, nous pouvons remplacer le symbole $\sqrt{2}$ par le symbole $-\sqrt{2}$, faire tous nos calculs et ensuite changer le symbole $-\sqrt{2}$ de nouveau en $\sqrt{2}$ et nous obtenons la bonne réponse. Les automorphismes de champs sont la bonne façon d’exprimer cette idée,car les conditions que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ préservent la multiplication, l’addition et ainsi de suite.
3.2 Le groupe de Galois
4 Solubilité par les radicaux
Pour aller plus loin dans la théorie de Galois, ce serait malheureusement trop compliqué. Je vais esquisser le reste de la preuve de l’existence de polynômes qui ne sont pas solubles par les radicaux.
5 Trisection des angles
Comme je l’ai mentionné plus haut, vous pouvez utiliser la théorie de Galois pour montrer qu’il est impossible de trisecter tous les angles en utilisant les méthodes de la règle et du compas. Je vais exposer une preuve que vous ne pouvez pas construire un angle de $20^{\circ}$ en utilisant la règle et le compas (et donc que vous ne pouvez pas trisecter un angle de $60^{\circ}$).
Il n’est pas évident que tout nombre constructible doive se trouver dans une extension de champ de cette forme, mais on peut en quelque sorte voir pourquoi car étant donné des segments de droite de longueur $x$, $y$, il est possible de construire d’autres segments de droite de longueur $x+y$, $x y$ et $1/x$ en utilisant des constructions géométriques. De plus, vous pouvez construire un segment de droite de longueur $\sqrt{x}$ en utilisant uniquement des constructions géométriques. En fait, vous pouvez également montrer que ce sont les seules choses que vous pouvez faire avec des constructions géométriques. (Si vous voulez essayer, la façon de le prouver est d’utiliser le fait que tout ce que vous pouvez faire avec des règles et des compas non marqués est de trouver l’intersection entre deux lignes, ce qui ne vous donne que des opérations arithmétiques, de trouver l’intersection entre une ligne et un cercle, ce qui vous donne des racines carrées, et des intersections entre des cercles et des cercles, ce qui vous donne des racines carrées). Pouvez-vous voir pourquoi cela signifie qu’un nombre dans une extension de champ constructible (telle que définie ci-dessus) peut être construit en utilisant seulement une règle et un compas non marqués, et que seuls les nombres dans les extensions de champ constructibles peuvent être faits de cette façon ?
Puis, vous montrez que si vous avez un polynôme cubique $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$ dont les racines ne sont pas des nombres rationnels alors les racines ne sont pas constructibles ? Ce n’est pas très difficile à prouver mais nécessite quelques connaissances au-delà de ce que je suppose pour cet article.
Voici la partie astucieuse. Supposons que vous puissiez construire un angle de $20^{\circ}$, alors le nombre $\cos(20^{\circ})$ serait constructible (il suffit de faire tomber une perpendiculaire d’un point sur une ligne à $20^{\circ}$ à l’horizontale, à une distance de $1$ de l’origine). Cependant, vous pouvez montrer que $\alpha=\cos(20^{\circ})$ est une racine de l’équation $8x^3-6x-1=0$ (en développant $\cos(60^{\circ})$ en termes de $\cos(20^{\circ})$ en utilisant la formule d’addition). Il est facile de montrer que cette formule n’a pas de racines rationnelles, et donc que les racines ne sont pas constructibles. Cela signifie que nous n’aurions pas pu construire un angle de $20^{\circ}$, car nous aurions alors pu construire $\cos(20^{\circ})$, ce qui est impossible. Donc un angle de $60^{\circ}$ ne peut pas être trisecté.
Vous pouvez utiliser des méthodes comme celle-ci pour prouver d’autres résultats sur les formes qui peuvent ou ne peuvent pas être construites et ainsi de suite.
6 Lecture complémentaire
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