La formule d’inversion de Post pour les transformées de Laplace, du nom d’Emil Post, est une formule d’apparence simple mais généralement peu pratique pour évaluer une transformée de Laplace inverse.

L’énoncé de la formule est le suivant : Soit f(t) une fonction continue sur l’intervalle [0, ∞) d’ordre exponentiel, c’est-à-dire

sup t > 0 f ( t ) e b t < ∞ {\displaystyle \sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}<\infty }.

pour un certain nombre réel b. Alors pour tout s > b, la transformée de Laplace pour f(t) existe et est infiniment différentiable par rapport à s. De plus, si F(s) est la transformée de Laplace de f(t), alors la transformée de Laplace inverse de F(s) est donnée par

f ( t ) = L – 1 { F ( s ) } ( t ) = lim k → ∞ ( – 1 ) k k ! ( k t ) k + 1 F ( k ) ( k t ) {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={lim _{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)}

pour t > 0, où F(k) est la k-ième dérivée de F par rapport à s.

Comme on peut le voir dans la formule, la nécessité d’évaluer des dérivées d’ordres arbitrairement élevés rend cette formule peu pratique pour la plupart des objectifs.

Avec l’avènement des ordinateurs personnels puissants, les principaux efforts pour utiliser cette formule sont venus du traitement des approximations ou de l’analyse asymptotique de la transformée de Laplace inverse, en utilisant la différentielle de Grunwald-Letnikov pour évaluer les dérivées.

L’inversion de Post a suscité l’intérêt en raison de l’amélioration de la science informatique et du fait qu’il n’est pas nécessaire de savoir où se trouvent les pôles de F(s), ce qui permet de calculer le comportement asymptotique pour les grands x en utilisant les transformées de Mellin inverses pour plusieurs fonctions arithmétiques liées à l’hypothèse de Riemann.