Les théories de jauge désignent une classe assez générale de théories quantiques des champs utilisées pour la description des particules élémentaires et de leurs interactions. Ces théories sont caractérisées par la présence de champs vectoriels et, en tant que telles, constituent une généralisation de l’ancienne théorie de l’électrodynamique quantique (QED) utilisée pour décrire les interactions électromagnétiques des particules élémentaires chargées de spin 1/2. L’invariance de jauge locale est une question très centrale. Une caractéristique importante est que ces théories sont souventrenormalisables lorsqu’elles sont utilisées dans 3 dimensions d’espace et 1 dimension de temps.

• 1 1. Equations de Maxwell et invariance de jauge
• 2 2. Théorie de Yang-Mills
• 3 3. Le mécanisme de Brout-Englert-Higgs
• 4 4. Chromodynamique quantique
• 5 5. Le lagrangien
• 6 6. Renormalisation et anomalies
• 7 7. Modèle standard
• 8 8. Théories Grandes Unifiées
• 9 9. Remarques finales
• 10 Références
• 11 Lectures complémentaires
• 12 Voir aussi
• 13 Liens externes

1. Équations de Maxwell et invariance de jauge

L’exemple le plus simple d’une théorie de jauge est l’électrodynamique, décrite par les équations de Maxwell. L’intensité du champ électrique\(\vec E(\vec x,t)\) et l’intensité du champ magnétique\(\vec B(\vec x,t)\) obéissent aux équations homogènes de Maxwell(en unités SI):

\

Selon le lemme de Poincaré, l’éq. (2) implique qu’il existe un autre champ vectoriel \(\vec A(\vec x,t)\) tel que

\

Puisque Eq. (1) se lit maintenant

, nous pouvons également conclure qu’il existe un champ de potentiel \(\Phi(\vecx,t)\) tel que

Le champ \(\Phi\) est le champ de potentiel électrique ; le champ vectoriel \(\vec A\) est appelé champ de potentiel vectoriel. Les intensités de ces champs potentiels sont déterminées par les équations inhomogènes de Maxwell, qui sont les équations qui relient les intensités des champs électromagnétiques aux charges et courants électriques qui génèrent ces champs. L’utilisation des champs potentiels simplifie souvent le problème de la résolution des équations de Maxwell.

Ce qui transforme cette théorie en une théorie de jauge est le fait que les valeurs de ces champs potentiels ne sont pas complètement déterminées par les équations de Maxwell. Considérons une configuration de champ électromagnétique\((\vec E(\vec x,t),\,\vec B(\vec x,t))\ ,\) et supposons qu’elle soit décrite par les champs de potentiel \((\Phi(\vec x,t),\,\vecA(\vec x,t))\ .\) Ensuite, en utilisant une fonction scalaire arbitraire quelconque\(\Lambda(\vec x,t)\ ,\) on peut trouver un ensemble différent de champs potentiels décrivant les mêmes champs électriques et magnétiques, en écrivant

\

En inspectant les équations (3) et (5), on observe facilement que \(\vec E=\vec E’\) et \(\vecB=\vec B’\ .\Ainsi, les ensembles (\(\Phi’,\,\vec A’\)) et (\(\Phi,\,\vec A’\)) décrivent la même situation physique. Pour cette raison, nous appelons la transformation (6) une transformation de jauge. Puisque \(\Lambda\) peut être choisi comme une fonction arbitraire des points \((\vec x,t)\) inspirés du temps, nous parlons d’une transformation de jauge locale. Le fait que les champs électromagnétiques soient invariants sous ces transformations de jauge locales transforme la théorie de Maxwell en une théorie de jauge.

Dans la théorie quantique relativiste des champs, le champ \(\psi(\vecx,t)\) d’une particule sans spin sans interaction obéirait typiquement à l’équation

où les unités utilisées sont telles que la vitesse de la lumière \(c=1\ ,\) et la constante de Planck \(\hbar=1\ .\) Cela donne la relation de dispersion entre l’énergie et la quantité de mouvement telle que dictée par la relativité restreinte:

\

Supposons maintenant que la particule en question porte une charge électrique\(q\ ,\) Comment son équation est-elle alors affectée par la présence de champs électro-magnétiques ? Il s’avère que l’on ne peut pas écrire les équations correctes en utilisant directement les champs \(\vec E\) et \(\vecB\). Ici, on peut seulement choisir d’ajouter des termes dépendant des champs potentiels (vectoriels) à la place:

\5003>

On peut vérifier que cette équation produit correctement des ondes qui sont déviées par les forces électro-magnétiques de la manière attendue.Par exemple, on voit facilement que l’énergie \(E\) est augmentée d’une quantité \(q\,\Phi(\vec x,t)\ ,\) qui est l’énergie potentielle d’une particule chargée dans un champ de potentiel électrique.

Cependant, qu’arrive-t-il à cette équation lorsqu’on effectue une transformation de jauge ? Il semble que l’équation change, de sorte que la solution du champ \(\psi\) devrait changer aussi.En effet, \(\psi\) change de la façon suivante:

\

Ainsi, le champ \(\psi\) effectue une rotation dans le plan complexe. C’est Hermann Weyl qui a remarqué que cette transformation de symétrie redéfinit simplement l’échelle du champ \(\psi\ ,\) et a introduit le mot « jauge » pour décrire cette caractéristique.

Les combinaisons

Figure 1 : diagramme de Feynman pour un électron émettant un photon.

sont appelées dérivées covariantes, car elles sont choisies de telle sorte que les dérivées de la fonction \(\Lambda(\vecx,t)\) s’annulent dans une transformation de jauge :

et cela permet de voir facilement que l’équation (10) décrit correctement la façon dont \(\psi\) se transforme sous une transformation de jauge locale, obéissant à la même équation de champ (9) avant et après la transformation (tous les termes de l’équation sont multipliés par la même exponentielle (e^{-iq\Lambda}\ ,\) de sorte que ce facteur est sans importance).

La valeur absolue, \(|\psi(\vec x,t)|^2\) ne change pas du tout sous une transformation de jauge, et c’est en effet la quantité qui correspond à quelque chose qui est physiquement observable : c’est la probabilité qu’une particule puisse être trouvée à \((\vec x,t)\ ,\). Une règle empirique est que l’invariance de jauge locale exige que toutes les dérivées de nos équations soient remplacées par des dérivées covariantes.

2. Théorie de Yang-Mills

Figure 2 : diagrammes de Feynman pour l’émission de photons de Yang-Mills. En haut : électron se transformant en électron-neutrino ; en bas : neutron se transformant en proton.

Dans les années 1950, on savait que les équations de champ pour le champ d’un proton, \(P(\vec x,t)\ ,\) et le champ d’un neutron,\(N(\vec x,t)\ ,\) sont telles qu’on peut faire tourner ces champs dans un espace complexe à deux dimensions :

\

où la matrice \( U=\left({a\quad b\atop c\quadd}\right)\) peut contenir quatre nombres complexes arbitraires, tant qu’elle est unitaire (\(U\,U^\dagger=I\)), et habituellement, le déterminant de \(U\) est restreint à 1. Comme ces équations ressemblent aux rotations que l’on peut effectuer dans l’espace ordinaire,pour décrire le spin d’une particule, la symétrie en question ici a été appelée isospin.

En 1954, C.N. Yang et R.L. Mills ont publié une idée très importante.Pourrait-on modifier les équations de telle sorte que ces isospinrotations puissent être considérées comme des rotations de jauge locales ? Cela signifierait que, contrairement au cas connu, les matrices\(U\) devraient être autorisées à dépendre de l’espace et du temps, tout comme le générateur de jauge \(\Lambda(\vec x,t)\) dans l’électromagnétisme. Yang et Mills ont également été inspirés par l’observation que la théorie de la gravité d’Einstein, la relativité générale, permet également des transformations très similaires aux transformations de jauge locales : le remplacement du cadre de coordonnées par d’autres coordonnées d’une manière arbitraire, dépendant de l’espace-temps.

Pour écrire les équations de champ pour les protons et les neutrons, on a besoin des dérivées de ces champs. La façon dont ces dérivées se transforment sous une transformation de jauge locale implique qu’il y aura des termescontenant les gradients \(\vec\nabla U\) des matrices\(U\ .\) Pour rendre la théorie invariante du point de vue de la jauge, ces gradients doivent être annulés, et pour ce faire, Yang et Mills ont remplacé les dérivées \(\vec\nabla\) par des dérivées covariantes \(\vec D=\vec\nabla -ig\vec A(\vec x,t)\ ,\) comme cela a été fait en électromagnétisme, voir l’équation (11). Ici, cependant, les champs \(\vec A\) devaient être évalués par des matrices, tout comme les matrices d’isospin \(U\) :

\

\

Comme les matrices \(U\) contiennent quatre coefficients avec une contrainte (le déterminant doit être 1), on se retrouve avec un ensemble de trois nouveaux champs vectoriels (il y a 3 vecteurs réels indépendants dans la matrice (15)). A première vue, ils semblent être les champs d’une particule vectorielle avec isospin un. En pratique, cela devrait correspondre à des particules ayant une unité de spin (c’est-à-dire que la particule tourne autour de son axe), et sa charge électrique pourrait être neutre ou égale à une ou moins une unité. La théorie de Yang-Mills prédit et décrit donc un nouveau type de particules de spin un qui transmettent une force non différente de la force électro-magnétique.

Les champs qui sont équivalents aux champs électriques et magnétiques de Maxwell sont obtenus en considérant le commutateur des dérivées à deux covariantes :

\N=D_\mu D_\nu-D_\nu D_\mu=-ig(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-ig) = -igF_{\mu\nu}\ ,\]

où les indices prennent les valeurs \(\mu,\\nu=0,1,2,3\ ,\)avec 0 se référant à la composante temps.

Comme \( F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}\ ,\) ce tenseur a 6 composantes indépendantes, trois formant un champ vectoriel électrique, ettrois un champ magnétique. Chacune de ces composantes est également une matrice.Le commutateur, \(\) est un nouveau terme non linéaire, qui rend les équations de Yang-Mills beaucoup plus compliquées que le système de Maxwell.

Par ailleurs, les particules de Yang-Mills, étant les quanta d’énergie des champs de Yang-Mills, sont similaires aux photons, les quanta de la lumière. Les particules de Yang-Mills ne possèdent pas non plus de masse intrinsèque et voyagent à la vitesse de la lumière. En fait, ces caractéristiques ont d’abord été des raisons de rejeter cette théorie, car des particules sans masse de cette sorte auraient dû être détectées depuis longtemps, alors qu’elles étaient ostensiblement absentes.

3. Le mécanisme de Brout-Englert-Higgs

La théorie a été relancée lorsqu’elle a été combinée avec la rupture spontanée de la symétrie de jauge locale, également connue sous le nom de mécanisme deBrout-Englert-Higgs. Considérons une particule scalaire (sans spin) décrite par un champ \(\phi(\vec x,t)\ .\). Ce champ est supposé être un champ vectoriel, dans le sens où il subit une certaine rotation lorsqu’une transformation de jauge est effectuée. En pratique, cela signifie que la particule porte une ou plusieurs sortes de charges qui la rendent sensible à la force de Yang-Mills, et souvent elle a plusieurs composantes, ce qui signifie qu’il y a plusieurs espèces de cette particule. De telles particules doivent obéir aux statistiques de Bose-Einstein, ce qui implique qu’elle peut subir une condensation de Bose-Einstein. En ce qui concerne son champ \(\phi\), cela signifie ce qui suit:

Figure 3 : Rupture spontanée de symétrie. Un objet résidant dans un potentiel à symétrie de rotation trouve une position stable et asymétrique. Dans le cas BEH, c’est le champ de Higgs, \((\phi_1, \phi_2)\) qui trouve une valeur asymétrique \((F,\,0)\ .\)

Dans le vide, le champ \(\phi\) prend une valeur non évanouissante \(F\ .\)

Cela s’écrit généralement comme

\

Après une transformation de jauge locale, cela ressemblerait à

\

où \( U(\vec x,t) \) est un champ matriciel représentant la transformation de jauge locale.

On dit souvent que, par conséquent, le vide n’est pas invariant en jauge,mais, strictement parlant, ce n’est pas correct. La situation décritepar l’équation (18) est le même vide que(17) ; il est seulement décrit différemment. Cependant, cette propriété du vide a des conséquences importantes. Puisque le champ tourné décrit maintenant la même situation que la valeur précédente, il n’y a pas de particule physique différente associée au champ tourné. Seule la longueur du vecteur\(\phi\) a une signification physique. Cette longueur est invariante par rapport à la jauge. Par conséquent, seule la longueur du vecteur \( \phi\) est associée à un type de particule, qui doit être neutre pour les forces de Yang-Mills. Cette particule est maintenant appelée la particule de Higgs.

Comme le champ de Higgs est une source constante pour la force du champ de Yang-Mills, les équations du champ de Yang-Mills sont modifiées par lui. Grâce au champ de Higgs, les « photons » de Yang-Mills décrits par le champ de Yang-Mills \(A_\mu(\vec x,t)\) obtiennent une masse. Ceci peut également être expliqué de la manière suivante. Les photons sans masse ne peuvent avoir que deux états d’hélicité, c’est-à-dire qu’ils ne peuvent tourner que dans deux directions. Cela est lié au fait que la lumière peut être polarisée dans exactement deux directions. Les photons massifs (particules dont la masse ne varie pas et qui ont une unité de spin) peuvent toujours tourner dans trois directions. Ce troisième mode de rotation est maintenant fourni par le champ de Higgs, qui perd lui-même plusieurs de ses composants physiques. Le nombre total de composantes physiques du champ reste le même avant et après le mécanisme de Brout-Englert-Higgs. Une autre conséquence de cet effet sur le champ de Yang-Mills est que la force transmise par les photons massifs est de portée courte (la portée de la force étant inversement proportionnelle à la masse du photon).

Figure 4 : Les six saveurs et les trois couleurs des quarks et de leurs antiparticules. Les flèches montrent les transitions faibles et fortes

Les interactions faibles pouvaient maintenant être décrites avec succèspar une théorie de Yang-Mills. L’ensemble des transformations de jauge locales forme le groupe mathématique \(SU(2)\times U(1)\ .\) Ce groupe génère 4 espèces de photons (3 pour \(SU(2)\) et 1 pour \( U(1)\)). Le mécanisme de Brout-Englert-Higgs décompose ce groupe de telle sorte qu’il reste un sous-groupe de la forme \(U(1)\). C’est la théorie électromagnétique, avec un seul photon. Les trois autres photons deviennent massifs ; ils sont responsables des interactions faibles, qui, en pratique, semblent faibles simplement parce que ces forces ont une portée très courte. En ce qui concerne l’électromagnétisme, deux de ces bosons vecteurs intermédiaires, \(W^\pm\ ,\)sont chargés électriquement, et un troisième, \( Z^0\ ,\) est électriquement neutre. Lorsque l’existence de ce dernier a été déduite d’arguments théoriques de groupe, cela a donné lieu à la prédiction d’une forme jusqu’alors inaperçue de l’interaction faible : l’interaction de courant neutre. Cette théorie, qui combine l’électromagnétismeet la force faible en une seule, est appelée la théorie électrofaible,et elle a été la première théorie entièrement renormalisable pour la force faible(voir chapitre 5).

4. Chromodynamique quantique

Lorsqu’il a été compris que les interactions faibles, ainsi que les interactions électromagnétiques, peuvent être attribuées à une théorie de jauge Yang-Mills,la question s’est posée de savoir comment aborder la force forte, une force très forte avec un rayon d’action relativement court, qui contrôle le comportement des particules hadroniques telles que les nucléons et les pions. On savait depuis 1964 que ces particules se comportent comme si elles étaient construites à partir de sous-unités, appelées quarks. Trois variétés de quarks étaient connues (up, down et strange), et trois autres seront découvertes plus tard (charm, top et bottom). Ces quarks ont la propriété particulière de se coller entre eux de façon permanente, soit en triplets, soit un quark se colle à un anti-quark. Pourtant, lorsqu’ils s’approchent très près les uns des autres, ils commencent à se comporter plus librement comme des individus.

Figure 5 : Diagrammes de Feynman pour l’émission de gluons QCD. Les quarks changent de couleur, mais leur saveur reste la même : u reste u et d reste d.

Ces caractéristiques, nous les comprenons maintenant comme étant, encore une fois, dues à une théorie de Yang-Millsgauge. Ici, nous avons le groupe mathématique \(SU(3)\)comme groupe de jauge local, alors que maintenant la symétrie n’est pas affectée par un quelconque mécanisme de Brout-Englert-Higgs. En raison de la nature non linéaire du champ de Yang-Mills, celui-ci s’auto-interagit, ce qui oblige les champs à se présenter sous des formes très différentes du cas électromagnétique : des lignes de vortex sont formées, qui constituent des liens incassables entre les quarks. À courte distance, la force de Yang-Mills devient faible, et c’est une caractéristique qui peut être dérivée de manière élémentaire en utilisant les expansions de perturbation, mais c’est une propriété du système quantifié de Yang-Mills qui, jusqu’à présent, était considérée comme impossible pour toute théorie quantique des champs, appelée liberté asymptotique. La découverte de cette caractéristique a une histoire compliquée.

Figure 6 : Les champs chromodynamiques quantiques forment des tourbillons qui maintiennent les quarks et antiquarks (à gauche) ou les systèmes à trois quarks (à droite) confinés en permanence.

\(SU(3)\) implique que chaque espèce de quark existe en trois types, appelés couleurs : ils sont « rouges », « verts » ou « bleus ».Le champ d’un quark est donc un vecteur à 3 composantes dans un espace interne de « couleur ». Les transformations de jauge de Yang-Mills font tourner ce vecteur dans l’espace des couleurs. Les champs de Yang-Mills forment eux-mêmes des matrices 3 par 3, avec une contrainte (puisque le déterminant des matrices de jauge de Yang-Mills doit être maintenu égal à un). Par conséquent, le champ de Yang-Mills possède 8 particules colorées semblables à des photons, appelées gluons. Les antiquarks portent les couleurs conjuguées (« cyan », « magenta » ou « jaune »). La théorie est maintenant appelée chromodynamique quantique (QCD). C’est aussi une théorie renormalisable.

Les gluons maintiennent effectivement les quarks ensemble de telle sorte que leurs couleurs s’additionnent pour donner un total de couleur neutre (« blanc » ou une « nuance de gris »). C’est pourquoi trois quarks ou un quark et un anti-quark peuvent s’assembler pour former une particule physiquement observable (un hadron). Cette propriété de la théorie est appelée confinement permanent des quarks. En raison de la nature fortement non linéaire des champs, le confinement des quark est en fait assez difficile à prouver, alors que la propriété de liberté asymptotique peut être démontrée avec exactitude. En effet, une démonstration mathématiquement hermétique du confinement, avec le phénomène associé d’un gap de masse dans la théorie (l’absence d’objets hadroniques strictement sans masse) n’a pas encore été donnée, et fait l’objet d’un, publié par le Clay Mathematics Institute de Cambridge, Massachusetts.

5. Le lagrangien

On ne peut pas choisir toutes les équations de champ à volonté. Elles doivent obéir à des conditions telles que la conservation de l’énergie.Cela implique qu’il existe un principe d’action (action = réaction), et ce principe s’exprime le plus commodément en écrivant le Lagrangien de la théorie. Le lagrangien (plus précisément, la densité de Lagrange) \( \mathcal{L}(\vec x,t)\) est une expression en fonction des champs du système. Pour un champ scalaire réel \(\Phi\) c’est

\

et pour les champs de Maxwell c’est

où la sommation est la sommation covariante de Lorentz sur les indices de Lorentz \(\mu,\ \nu\ .\)Les équations de champ peuvent toutes être dérivées de cette expression en exigeant que l’intégrale d’action,

\

où \(\mathcal{L}\) est la somme des Lagrangiens de tous les champs du système,soit stationnaire sous toutes les variations infinitésimales de ces champs. Ceci est appelé le principe d’Euler-Lagrange, et les équations sont les équations d’Euler-Lagrange.

Pour les théories de jauge, cela se généralise directement : on écrit

\

en utilisant l’expression (16) pour les champs de jauge \(F_{\mu\nu}\ ,\) et on ajoute tous les termes associés aux autres champs qui sont introduits. Toutes les symétries de la théorie sont les symétries du Lagrangien, et la dimensionnalité de toutes les forces de couplage peut facilement être lue à partir du Lagrangien également,ce qui est important pour la procédure de renormalisation (voir chapitre suivant).

6. Renormalisation et anomalies

Selon les lois de la mécanique quantique, l’énergie d’un champ est constituée de paquets d’énergie, et ces paquets d’énergie sont en fait les particules associées au champ. La mécanique quantique donne des prescriptions extrêmement précises sur la façon dont ces particules interagissent, dès lors que les équations du champ sont connues et peuvent être données sous la forme d’un lagrangien. La théorie est alors appelée théorie quantique des champs (QFT), et elle explique non seulement comment les forces sont transmises par l’échange de particules, mais aussi que de multiples échanges doivent avoir lieu. Dans de nombreuses théories plus anciennes, ces échanges multiples ont donné lieu à des difficultés : leurs effets semblent être illimités, voire infinis. Dans une théorie de jauge, cependant, la structure à petite distance est très précisément prescrite par l’exigence d’invariance de jauge. Dans une telle théorie, on peut combiner les effets infinis des échanges multiples avec des redéfinitions des masses et des charges des particules impliquées. Cette procédure est appeléerenormalisation. Dans 3 dimensions d’espace et 1 dimension de temps, la plupart des théories de Gauget sont renormalisables. Cela nous permet de calculer les effets des échanges de particules multiples avec une grande précision, permettant ainsi une comparaison détaillée avec les données expérimentales.

Figure 7 : diagrammes de Feynman contenant des boucles, dues aux échanges de particules multiples. Les boucles génèrent souvent des expressions infinies.

La renormalisation exige que les masses et les forces de couplage des particules soient définies très soigneusement. Si on donne à tous les paramètres de couplage d’une théorie une masse-dimensionnalité nulle ou positive, le nombre d’expressions divergentes reste sous contrôle. Habituellement, le fait d’exiger que la théorie reste invariante de jauge tout au long de la procédure de renormalisation ne laisse aucune ambiguïté pour les définitions. Cependant, il n’est pas évident qu’il existe des définitions non ambiguës et invariantes de jauge, puisque l’invariance de jauge doit être maintenue pour toutes les interactions, alors que seules quelques expressions infinies peuvent être remplacées par des expressions finies.

La preuve qui a montré comment et pourquoi des expressions renormalisées non ambiguës peuvent être obtenues, a pu être obtenue de la manière la plus élégante en réalisant que les théories de jauge peuvent être formulées dans un nombre quelconque de dimensions espace-temps. Il était même possible de définir sans ambiguïté tous les diagrammes de Feynmand pour les théories dans des espaces où les dimensions sont \(3-\epsilon\ ,\) où \(\epsilon\) est une quantité infinitésimale. Pour prendre la limite \(\epsilon\rightarrow0\), il faut soustraire des pôles de la forme\(C_n/\epsilon^n\) des paramètres de masse et de couplage originaux, « nus ». Le résultat est un ensemble d’expressions uniques, finies et invariantes de jauge. En pratique, on a constaté que cette procédure, appelée régularisation dimensionnelle et renormalisation, est également commode pour effectuer des calculs techniquement compliqués de diagrammes de boucles.

Figure 8 : Le diagramme où une particule fermionique forme un triangle fermé, se couplant à trois particules de jauge, est la principale source d’anomalies.

Il existe cependant un cas particulier où l’extension à des dimensionsdifférentes de la dimension canonique est impossible. C’est le cas lorsque les particulesfermioniques présentent une symétrie chirale. La symétrie chirale est l’asymétrie qui distingue les particules en rotation gauche des particules en rotation droite, et elle joue un rôle crucial dans le modèle standard.La symétrie chirale n’est possible que si l’espace est à trois dimensions, et ne permet donc pas de renormalisation dimensionnelle. En effet, il arrive que la symétrie chirale ne puisse être préservée lors de la renormalisation de la théorie. Une anomalie se produit, appelée anomalie chirale. Elle a été découverte pour la première fois lorsqu’un calcul de l’amplitude de désintégration\(\pi_0\rightarrow\gamma\gamma\) a donné des réponses qui ne suivaient pas le schéma de symétrie attendu.

Puisque les symétries de jauge du modèle standard distinguent les particules en rotation gauche des particules en rotation droite (en particulier, seuls les neutrinos en rotation gauche sont produits dans une interaction faible),les anomalies étaient une grande préoccupation. Il se trouve cependant que toutes les amplitudes anormales qui mettraient en péril l’invariance de jauge et donc l’autoconsistance de nos équations, s’annulent. Ceci est lié au fait que certaines extensions « grand unifié » du modèle standard sont basées sur des groupes de jauge sans anomalie (voir chapitre 7).

L’anomalie a une implication physique directe. Une configuration de champ topologiquement tordue appelée l’instanton (parce qu’elle représente un événement à un instant donné dans le temps), représente exactement la configuration de champ de jauge où l’anomalie est maximale. Elle entraîne une violation de la conservation de certaines charges de jauge. Lorsqu’il y a une anomalie, au moins une des charges impliquées ne peut être une charge de jauge, mais doit être une charge à laquelle aucun champ de jauge n’est couplé, comme la charge baryonique.En effet, dans la théorie électrofaible, les instantons déclenchent la violation des lois de conservation des baryons. On pense aujourd’hui que cela pourrait expliquer le déséquilibre entre la matière et l’antimatière qui a dû se produire au cours des premières phases de l’Univers.

7. Modèle standard

En dehors de la force faible, de la force électromagnétique et de la force forte, il existe la force gravitationnelle qui agit sur les particules élémentaires. Aucune autre force élémentaire n’est connue. Au niveau des particules individuelles, la gravité est si faible qu’elle peut être ignorée dans la plupart des cas. Supposons maintenant que nous prenions le système \( SU(2)\timesU(1)\) Yang-Mills, avec le champ de Higgs, pour décrire l’électromagnétisme et la force faible, et ajoutons à cela la théorie \(SU(3)\) Yang-Mills pour la force forte, et nous incluons tous les champs de matière élémentaire connus, à savoir les quarks et les leptons, avec leurs règles de transformation appropriées dans le cadre de la transformation de jauge ; supposons que nous ajoutons à cela toutes les façons possibles dont ces champs peuvent se mélanger, une caractéristique observée expérimentalement, qui peut être considérée comme un type fondamental d’auto-interaction des champs. Nous obtenons alors ce que l’on appelle le modèle standard. C’est une grande théorie de jauge qui représente littéralement toute notre compréhension actuelle des particules subatomiques et de leurs interactions.

Le modèle standard doit sa force au fait qu’il estrenormalisable. Il a fait l’objet de nombreuses expériences et observations. Il a résisté à tous ces tests de manière remarquable. Une modification importante est devenue inévitable au début des années 1990 : dans le secteur leptonique, les neutrinos ont également une petite masse et leurs champs se mélangent. Ce n’était pas totalement inattendu, mais des expériences de neutrino très réussies (en particulier l’expérience japonaise de Kamiokande) ont montré clairement que ces effets existent réellement. Un ingrédient n’a pas encore été confirmé : la particule de Higgs, dont l’observation est attendue dans un avenir proche, notamment par le grand collisionneur de hadrons du CERN, à Genève. Les versions les plus simples du modèle standard ne requièrent qu’une seule particule de Higgs, électriquement neutre, mais le « secteur de Higgs » pourrait être plus compliqué : les Higgs pourraient être beaucoup plus lourds que ce que l’on attend actuellement, ou il pourrait en exister plus d’une variété, auquel cas on trouverait aussi des particules scalaires électriquement chargées.

Le modèle standard n’est pas parfait d’un point de vue mathématique.A des énergies extrêmement élevées (énergies bien supérieures à celles que l’on peut atteindre aujourd’hui dans les accélérateurs de particules), la théorie devient artificielle. En pratique, cela signifie que nous ne croyons plus que tout se passera exactement comme le prévoit la théorie ; de nouveaux phénomènes sont à prévoir. Le scénario le plus populaire est l’émergence d’une nouvelle symétrie appelée supersymétrie, une symétrie mettant en relation les bosons avec les fermions (particules telles que les électrons et les quarks, qui nécessitent des champs de Dirac pour leur description).

8. Théories Grandes Unifiées

Il est naturel de soupçonner que les forces électrofaibles et les forces fortes devraient également être reliées par des rotations de jauge. Cela impliquerait que toutes les forces parmi les particules subatomiques sont en fait liées par des transformations de jauge. Il n’existe aucune preuve directe de cette hypothèse, mais plusieurs circonstances semblent aller dans ce sens. Dans la version actuelle du modèle standard, les champs \(SU(3)\) Yang-Mills, décrivant la force forte, présentent en effet des forces de couplage très importantes, tandis que le secteur \(U(1)\), décrivant le secteur électrique (et une partie de la force faible), présente une faible force de couplage. On peut maintenant utiliser les mathématiques de la renormalisation, en particulier le groupe de renormalisation, pour calculer les forces effectives de ces forces à des énergies beaucoup plus élevées. On constate que les forces \(SU(3)\) diminuent en force, en raison de la liberté asymptotique, mais que la force de couplage \(U(1)\) augmente. La force \(SU(2)\) varie plus lentement. Aux énergies extrêmement élevées, correspondant à des échelles de distance ultra courtes, autour de \(10^{-32}\) cm, les trois forces de couplage semblent se rapprocher l’une de l’autre, comme si c’était l’endroit où les forces s’unissent.

Il a été trouvé que \(SU(2)\times U(1)\) et \(SU(3)\) s’adaptent assez bien dans un groupe appelé \(SU(5)\\\). Ils forment en effet un sous-groupe du groupe SU(5)\.\N-. On peut alors supposer qu’un mécanisme de Brout-Englert-Higgs décompose ce groupe en un sous-groupe \(SU(2)\times U(1)\timesSU(3)\). On obtient une théorie des champs dite « Grand Unified ». Dans cette théorie, on suppose trois générations d’ions, chacune se transformant de la même manière sous les transformations \(SU(5)\\) (mathématiquement, ils forment une représentation \(\mathbf{10}\) et une représentation \(\overline{\mathbf{5}}\)).

La théorie \(SU(5)\), cependant, prédit que le proton se désintègre, extrêmement lentement, en leptons et pions. Cette désintégration a été recherchée mais non trouvée. De plus, dans ce modèle, il n’est pas facile de rendre compte de la masse des neutrinos et de leurs mélanges. Une meilleure théorie a été trouvée où \( SU(5)\) est élargie en \(SO(10)\.\Les représentations \(\mathbf{10}\) et \(\overline{\mathbf{5}}\) de \(SU(5)\) ainsi qu’un seul champ de neutrinos droitiers, se combinent en une représentation \(\mathbf{16}\) de \(SO(10)\) (une pour chacune des trois générations).Ce grand modèle unifié place les neutrinos au même niveau que les leptons chargés. Souvent, il est étendu à une version supersymétrique.

9. Remarques finales

Toute théorie de jauge est construite comme suit. Tout d’abord, il faut choisir le groupe de jauge. Il peut s’agir du produit direct d’un nombre quelconque de groupes de Lie compacts irréductibles, soit de la série \(SU(N)\ ,\)\(SO(N)\) ou \(Sp(2N)\ ,\) ou des groupes exceptionnels \(G_2,\ F_4,\ E_6, E_7,\) ou \(E_8\ .\) Ensuite, on choisit des champs fermioniques (spin 1/2) et scalaires (spin 0) formant des représentations de ce groupe de jauge local. Les composantes d’hélicité gauche et d’hélicité droite des champs fermioniques peuvent être des représentations indifférentes, à condition que les anomalies s’annulent.Outre le groupe de jauge local, nous pouvons imposer des symétries globales exactes et/ou approximatives. Enfin, il faut choisir des termes de masse et d’interaction dans le lagrangien, décrits par des paramètres de couplage librement ajustables. Il n’y aura qu’un nombre fini de ces paramètres, à condition que toutes les interactions soient choisies pour être du type renormalisable (ceci peut maintenant être lu facilement à partir du Lagrangien de la théorie).

Il y a une infinité de façons de construire des théories de jauge le long de ces lignes. Cependant, il semble que les modèles qui sont les plus utiles pour décrire les particules élémentaires observées, sont les modèles relativement simples, basés sur des groupes et des représentations mathématiques assez élémentaires. On peut se demander pourquoi la nature semble si simple, et si elle le restera lorsque de nouvelles particules et interactions seront découvertes. On peut imaginer que des théories de jauge plus élaborées seront nécessaires pour décrire les interactions à des énergies qui ne sont pas encore accessibles dans les accélérateurs de particules actuels.

Les sujets connexes sont la supersymétrie et la théorie des supercordes. Ce sont des idées plus récentes sur la structure et les symétries des particules, où l’invariance de jauge joue également un rôle très fondamental.

• Yang, C N et Mills, R L (1954). Conservation du spin isotopique et invariance de jauge isotopique. Physical Review 96 : 191-195.
• Higgs, P W (1964). Symétries brisées, particules sans masse et champs de jauge. Phys. Lett. 12 : 132.
• Higgs, P W (1964). Symétries brisées et les masses des bosons de jauge. Phys. Rev. Lett. 13 : 508.
• Higgs, P W (1966). Rupture spontanée de symétrie sans bosons sans masse. Phys. Rev. 145 : 1156.
• Englert, F et Brout, R (1964). La symétrie brisée et la masse des mésons vecteurs de jauge. Phys. Rev. Lett. 13 : 321.
• Weinberg, S (1967). A Model of Leptons. Phys. Rev. Lett. 19 : 1264.
• Faddeev, L D et Popov, V N (1967). Diagrammes de Feynman pour le champ de Yang-Mills. Phys. Lett. 25B : 29.
• ‘t Hooft, G (1971). Renormalisation des champs de Yang-Mills sans masse. Nucl. Phys. B33 : 173.
• ‘t Hooft, G (1971). Lagrangiens renormalisables pour les champs de Yang-Mills massifs. Nucl. Phys. B35 : 167.
• Taylor, J C (1971). Identités de Ward et renormalisation de la charge du champ de Yang-Mills. Nucl. Phys. B33 : 436.
• Slavnov, A (1972). Identités de Ward dans les théories de jauge Théor. Math. Phys. 10 : 153.
• ‘t Hooft, G et Veltman, M (1972). Régularisation et renormalisation des champs de jauge. Nucl. Phys. B44 : 189.
• Adler, S L (1969). Vertex du vecteur axial dans l’électrodynamique du spinor Phys. Rev. 177 : 2426.
• Bell, J S et Jackiw, R (1969). Une énigme PCAC : π0→γγ dans le modèle σ Nuovo Cim. 60A : 47.
• Adler, S L et Bardeen, W A (1969). Absence de corrections d’ordre supérieur dans l’équation de divergence anormale du vecteur axial. Phys. Rev. 182 : 1517.
• Bardeen, W A (1969). Anomalous Ward Identities in Spinor Field Theories. Phys. Rev. 184 : 1848.
• Fritzsch, H ; Gell-Mann , M et Leutwyler, H (1973). Avantages de l’image du gluon de l’octuor de couleur Phys. Lett. 47B : 365.
• De Rujula, A ; Georgi, H ; Glashow, S L et Quinn, H (1974). Fait et fantaisie dans la physique des neutrinos. Rev. Mod. Phys. 46 : 391.

Lecture complémentaire

• Crease, R P et Mann, C C (1986). La seconde création : les artisans de la révolution de la physique du vingtième siècle, Macmillan, New York. ISBN 0-02-521440-3.
• ‘t Hooft, G (1997). In Search of the Ultimate Building Blocks (traduction anglaise de : « Bouwstenen van de Schepping ») Cambridge Univ. Press, Cambridge. ISBN 0521550831.
• ‘t Hooft, G (1994). Sous le charme du principe de jauge. Advanced Series in Mathematical Physics 19. World Scientific, Singapour. ISBN 9810213093.
• ‘t Hooft, G (2005). 50 ans de théorie de Yang-Mills World Scientific, Singapour. ISBN 978-981-256-007-0.
• de Wit, B et Smith, J (1986). La théorie des champs en physique des particules North Holland, Amsterdam. ISBN 0444869999.
• Aitchison, I J R et Hey, A J G (1989). Théories de jauge en physique des particules, une introduction pratique Adam Hilger, Bristol et Philadelphie. ISBN 0-85274-329-7.
• Itzykson, C et Zuber, J B (2006). Quantum Field Theory Dover Publications, New York. ISBN 0486445682.
• Ryder, L H (1997). Quantum Field Theory Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521478146.

Voir aussi

Symétrie de Becchi-Rouet-Stora-Tyutin, mécanisme d’Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble_, invariance de jauge, identités de Slavnov-Taylor, équation de Zinn-Justin

• http://www.phys.uu.nl/~thooft/

.