Une équation fonctionnelle, en gros, est une équation dans laquelle certaines des inconnues à résoudre sont des fonctions. Par exemple, les équations suivantes sont des équations fonctionnelles :
.
Sujets introductifs
L’inverse d’une fonction
L’inverse d’une fonction est une fonction qui « défait » une fonction. Pour un exemple, considérez la fonction : 
. La fonction 
a la propriété que 
. Dans ce cas, 
est appelée fonction inverse (droite). (De même, une fonction telle que 
est appelée fonction inverse gauche. Typiquement, les inverses droite et gauche coïncident sur un domaine convenable, et dans ce cas, on appelle simplement la fonction inverse droite et gauche la fonction inverse). Souvent l’inverse d’une fonction 
est noté par 
.
Thèmes intermédiaires
Fonctions cycliques
Une fonction cyclique est une fonction 
qui a la propriété que :
Un exemple classique d’une telle fonction est 
car 
. Les fonctions cycliques peuvent considérablement aider à résoudre les identités fonctionnelles. Considérons le problème suivant :
Trouver tel que 
. Dans cette équation fonctionnelle, laissons 
et laissons 
. On obtient ainsi deux nouvelles équations :
Maintenant, si nous multiplions la première équation par 3 et la seconde par 4, et que nous additionnons les deux équations, nous avons :
Donc, clairement, 
Exemples de problèmes
- 2006 AMC 12A Problème 18
- 2007 AIME II Problème 14
Voir aussi
- Fonctions
- Polynômes
- Équation fonctionnelle de Cauchy
.