nLab Espace de Banach

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Idée

Un espace de Banach â¬\mathcal{B} est à la fois un espace vectoriel (sur un champ normé tel que â\mathbb{R}) et un espace métrique complet, de manière compatible. D’où un espace vectoriel normé complet.

Une source d’espaces de Banach simples vient de la considération d’un espace cartésien â n\mathbb{R}^n (ou K nK^n où KK est le champ normé) avec la norme:

â(x 1,â¦,x n)â pââ i=1 n|x i| pp {\|(x_1,\ldots,x_n)\|_p} \coloneqq \root p {\sum_{i = 1}^n {|x_i|^p}}

où 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \infty (ceci n’a strictement aucun sens pour p=âp = \infty, mais en prenant la limite comme pââp \to \infty et en lisant â=limⶠnâ n\mathbb{R}^\infty = \underset{\longrightarrow}{\lim}_n \mathbb{R}^n comme la limite directe (par opposition à la limite inverse) on arrive à la formule â(x 1,â¦,x n)â ââmax i|x i|{\|(x_1,\ldots,x_n)\|_\infty} \coloneqq \max_i {|x_i|}).

Pour autant, la théorie de ces espaces n’est pas beaucoup plus compliquée que celle des espaces vectoriels de dimension finie car ils ont tous la même topologie sous-jacente. Cependant, lorsque nous examinons des exemples à dimension infinie, les choses deviennent plus délicates. Les exemples courants sont les espaces de Lebesgue, les espaces de Hilbert et les espaces de séquences.

Dans la littérature, on voit le plus souvent des espaces de Banach sur le champ â\mathbb{R} des nombres réels ; les espaces de Banach sur le champ â\mathbb{C} des nombres complexes ne sont pas très différents, puisqu’ils sont aussi sur â\mathbb{R}. Mais on les étudie aussi sur les nombres p-adiques. Sauf indication contraire, nous supposons â\mathbb{R} ci-dessous.

Définitions

Détendons VV un espace vectoriel sur le champ des nombres réels. (On peut généraliser quelque peu le choix du champ.) Une pseudonorme (ou seminorme) sur VV est une fonction

âââ:Vââ {\| – \|}\colon V \to \mathbb{R}

de telle sorte que:

  1. â0ââ¤0 {\|0\|} \leq 0 ;
  2. ârvâ=|r|âvâ {\|r v\|} = {|r|} {\|v\|} (pour rr un scalaire et vv un vecteur);
  3. âv+wââ¤âvâ+âwâ {\|v + w\|} \leq {\|v\|} + {\|w\|} .

Il résulte de ce qui précède que âvââ¥0{\|v\|} \geq 0 ; en particulier, â0â=0{\|0\|} = 0. Une norme est une pseudo-norme qui satisfait à la réciproque de ceci : v=0v = 0 si âvâ=0{\|v\|} = 0.

Une norme sur VV est complète si, étant donné toute suite infinie (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) telle que

(1)lim m,nââââ i=m m+nv iâ=0, \lim_{m,n\to\infty} {\left\| \sum_{i=m}^{m+n} v_i \right\|} = 0 ,

il existe une somme SS (nécessairement unique) telle que

(2)lim nââââSâââ i=1 nv iâ=0 ; \lim_{n\to\infty} {\left\| S – \sum_{i=1}^n v_i \right\|} = 0 ;

on écrit

S=â i=1 âv i S = \sum_{i=1}^\infty v_i

(avec le côté droit indéfini si une telle somme n’existe pas).

Alors un espace de Banach est simplement un espace vectoriel équipé d’une norme complète. Comme dans la ligne réelle, on a dans un espace de Banach que

ââ i=1 âv iââ¤â i=1 ââv iâ, {\left\| \sum_{i=1}^\infty v_i \right\|} \leq \sum_{i=1}^\infty {\|v_i\|} ,

avec le côté gauche garanti d’exister si le côté droit existe comme un nombre réel fini (mais le côté gauche peut exister même si le côté droit diverge, la distinction habituelle entre la convergence absolue et conditionnelle).

Si nous n’insistons pas sur le fait que l’espace soit complet, nous l’appelons un espace (vectoriel) normé. Si nous avons un espace vectoriel topologique tel que la topologie provient d’une norme, mais que nous ne faisons pas un choix effectif d’une telle norme, alors nous parlons d’un espace normable.

Les espaces de Banach comme espaces métriques

Les trois axiomes d’une pseudo-norme sont très similaires aux trois axiomes d’une pseudométrique.

En effet, dans tout espace vectoriel pseudo-normé, que la distance d(v,w)d(v,w) soit

d(v,w)=âwâvâ. d(v,w) = {\|w – v\|} .

Alors dd est une pseudométrique, qui est invariante par translation en ce que

d(v+x,w+x)=d(v,w) d(v+x,w+x) = d(v,w)

toujours valable. Réciproquement, étant donné toute pseudométrique invariante par translation dd sur un espace vectoriel VV, que âvâ{\|v\|} soit

âvâ=d(0,v). Alors âââ{\|v\|} = d(0,v) .

Alors âââ{\|-\|} satisfait les axiomes (1â3) pour une pseudonorme, sauf qu’elle peut satisfaire (2) seulement pour r=0,±1r = 0, \pm 1. (En d’autres termes, c’est seulement une G-pseudonorme.) Ce sera en fait une pseudonorme si la pseudométrique satisfait une règle d’homogénéité:

d(rv,rw)=|r|d(v,w). d(r v,r w) = {|r|} d(v,w) .

Donc les pseudo-normes correspondent précisément aux pseudométriques homogènes invariantes en translation.

De même, les normes correspondent aux métriques homogènes invariantes en translation et les normes complètes correspondent aux métriques homogènes complètes invariantes en translation. En effet, (1) dit que la suite des sommes partielles est une suite de Cauchy, tandis que (2) dit que la suite des sommes partielles converge vers SS.

Donc un espace de Banach peut être défini de manière équivalente comme un espace vectoriel équipé d’une métrique homogène complète invariante par translation. En fait, on voit généralement une sorte d’approche hybride : un espace de Banach est un espace vectoriel normé dont la métrique correspondante est complète.

Cartes entre espaces de Banach

Si VV et WW sont des espaces vectoriels pseudo-normés, alors la norme d’une fonction linéaire f:VâWf\colon V \to W peut être définie de l’une ou l’autre de ces manières équivalentes:

  • âfâ=sup{âfvâ|âvâ¤1}. {\|f\|} = \sup \{ {\|f v\|} \;|\ ; {\|v\|} \leq 1 \} ;
  • âfâ=inf{r|âv,âfvââ¤râvâ} {\|f\|} = \inf \{ r \;|\ ; \forall{v},\ ; {\|f v\|} \leq r {\|v\|} \} .

(On voit parfois d’autres formes, mais elles peuvent se briser dans des cas dégénérés.)

Pour les espaces de dimension finie, toute carte linéaire a une norme finie bien définie. En général, les suivantes sont équivalentes :

  • ff est continue (mesurée par les pseudométries sur VV et WW) à 00;
  • ff est continue (partout);
  • ff est uniformément continue;
  • ff est continue de Lipschitz ;
  • âfâ{\|f\|} est finie (et, en mathématiques constructives, située);
  • ff est bornée (au sens des bornologies données par les pseudométriques sur VV et WW).

Dans ce cas, on dit que ff est bornée. Si f:VâWf\colon V \to W n’est pas supposé être linéaire, alors les conditions ci-dessus ne sont plus équivalentes.

Les cartes linéaires bornées de VV à WW forment elles-mêmes un espace vectoriel pseudo-normé â¬(V,W)\mathcal{B}(V,W). Ce sera un espace de Banach si (et, sauf pour les cas dégénérés de VV, seulement si) WW est un espace de Banach. De cette façon, la catégorie BanBan des espaces de Banach est une catégorie fermée avec â\mathbb{R} comme unité.

Le lecteur malin remarquera que nous n’avons pas encore défini Ban\mathbf{Ban} comme une catégorie ! (étonnamment dans le nLab) Il y a plusieurs façons (non équivalentes) de le faire.

En analyse fonctionnelle, la notion habituelle d’âisomorphismeâ pour les espaces de Banach est une carte linéaire bijective bornée f:VâWf\colon V \to W telle que la fonction inverse f â1:WâVf^{-1}\colon W \to V (qui est nécessairement linéaire) est également bornée. Dans ce cas, on peut accepter toutes les applications linéaires bornées entre les espaces de Banach comme des morphismes. Les analystes se réfèrent parfois à cela comme à la « catégorie isomorphe ».

Une autre notion naturelle d’isomorphisme est une isométrie linéaire surjective. Dans ce cas, on considère qu’un morphisme est une carte linéaire courte, ou contraction linéaire : une carte linéaire ff telle que âfââ¤1{{\|f\|} \leq 1. Cette catégorie, qui est ce que les théoriciens des catégories appellent généralement Ban\mathbf{Ban}, est parfois appelée « catégorie isométrique » par les analystes. Notons que cela fait de l’ensemble sous-jacent (au sens de Ban\mathbf{Ban} comme une catégorie concrète comme toute catégorie fermée) d’un espace de Banach sa boule unitaire (fermée)

Hom Ban(â,V)â {v|âvââ¤1} Hom_Ban(\mathbb{R},V) \cong \{ v \;|\ ; {\|v\|} \leq 1 \}

plutôt que l’ensemble de tous les vecteurs dans VV (l’ensemble sous-jacent de VV comme espace vectoriel).

Yemon Choi : Ceci est vraiment ici pour me rappeler comment faire des boîtes de requête. Mais tant que j’y suis, est-il vraiment correct de se référer au « functeur de la boule unitaire » comme « prenant l’ensemble sous-jacent » ? Je remarque que sur la discussion sur les homs internes à hom interne, il est affirmé que âEvery closed category is a concrete category (represented by II), and the underlying set of the internal hom is the external homâ ce qui semble exiger que âunderlying setâ soit interprété dans ce sens plus lâche.

Toby : Bien sûr, mais le point de mettre « l’ensemble sous-jacent » entre guillemets est précisément de souligner que l’ensemble sous-jacent de la théorie des catégories n’est pas ce que l’on attendrait normalement.

Mark Meckes : J’ai élargi cette section en partie pour être cohérent avec la terminologie des analystes. J’ai fait quelques suppositions sur les conventions des théoriciens de la catégorie qui pourraient ne pas être correctes. (Si je trouve le temps, je pourrais écrire sur d’autres catégories d’espaces de Banach auxquelles les analystes pensent.)

Toby : ça me semble bien !

Du point de vue d’un théoricien des catégories, la catégorie isomorphe est vraiment l’image complète du foncteur d’inclusion de BanBan à TVSTVS (la catégorie des espaces vectoriels topologiques), qui peut être dénoté Ban TVSBan_{TVS}. Si vous travaillez dans Ban TVSBan_{TVS}, alors vous ne vous souciez que de la structure linéaire topologique de votre espace (bien que vous vous souciiez aussi qu’elle puisse être dérivée d’une certaine métrique) ; si vous travaillez dans BanBan, alors vous vous souciez de toute la structure sur l’espace.

Exemples

De nombreux exemples d’espaces de Banach sont paramétrés par un exposant 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \infty. (Parfois, on peut aussi essayer 0â¤p<10 \leq p \lt 1, mais cela ne donne généralement pas d’espaces de Banach.)

  • L’espace cartésien â n\mathbb{R}^n est un espace de Banach avec

    â(x 1,â¦,x n)â p=â i|x i| pp. {\|(x_1,\ldots,x_n)\|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}} .

    (On peut admettre p=âp = \infty en prenant une limite ; le résultat est que âxâ â=max i|x i|{\|x\|_\infty} = \max_i {|x_i|}.) Tout espace de Banach de dimension finie est isomorphe à celui-ci pour certains nn et pp ; en fait, une fois que l’on fixe nn, la valeur de pp est sans importance jusqu’à isomorphisme.

  • L’espace des suites l pl^p est l’ensemble des suites infinies (x 1,x 2,â¦)(x_1,x_2,\ldots) de nombres réels tels que

    â(x 1,x 2,â¦)â p=â i|x i| pp {\|(x_1,x_2,\ldots)\|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}}.

    existe en tant que nombre réel fini. (La seule question est de savoir si la somme converge. De nouveau, p=âp = \infty est une limite, avec pour résultat que âxâ â=sup i|x i|{\|x\|_\infty} = \sup_i {|x_i|}). Alors l pl^p est un espace de Banach avec cette norme. Ce sont toutes des versions de â â\mathbb{R}^\infty, mais elles ne sont plus isomorphes pour différentes valeurs de pp. (Voir classes d’isomorphisme des espaces de Banach.)

  • Plus généralement, que AA soit un ensemble quelconque et que l p(A)l^p(A) soit l’ensemble des fonctions ff de AA vers â\mathbb{R} telles que

    âfâ p=â x:A|f(x)| pp {\|f\|_p} = \root p {\sum_{x : A} {|f(x)|^p}}

    existe en tant que nombre réel fini. (Encore une fois, âfâ â=sup x:A|f(x)|{\|f\|_\infty} = \sup_{x\\colon A} {|f(x)|}.) Alors l p(A)l^p(A) est un espace de Banach. (Cet exemple inclut les exemples précédents, pour AA un ensemble dénombrable.)

  • Sur tout espace de mesure XX, l’espace de Lebesgue â p(X)\mathcal{L}^p(X) est l’ensemble des fonctions mesurables à valeur réelle définies presque partout sur XX telles que

    âfâ p=â »|f| pp {\|f\|_p} = \root p {\int {|f|^p}}.

    existe en tant que nombre réel fini. (Encore une fois, la seule question est de savoir si l’intégrale converge. Et à nouveau p=âp = \infty est une limite, avec le résultat que âfâ â{\|f\|_\infty} est le supremum essentiel de |f|{|f|}). En tant que tel, â p(X)\mathcal{L}^p(X) est un espace vectoriel pseudo-normé complet ; mais nous identifions des fonctions qui sont égales presque partout pour en faire un espace de Banach. (Cet exemple inclut les exemples précédents, pour XX un ensemble avec une mesure de comptage.)

  • Tout espace de Hilbert est un espace de Banach ; cela inclut tous les exemples précédents pour p=2p = 2.

Opérations sur les espaces de Banach

La catégorie BanBan des espaces de Banach est petite complète, petite cocomplète, et symétrique monoïdale fermée par rapport à son hom interne standard (décrit à hom interne). Quelques détails suivent.

  • La catégorie des espaces de Banach admet des petits produits. Étant donné une petite famille d’espaces de Banach {X α} αâA\{X_\alpha\}_{\alpha \in A}, son produit dans BanBan est le sous-espace du produit espace-vecteur

    â αâAX α\prod_{\alpha \in A} X_\alpha

    constitué de nuplets AA â¨x αâ©\langle x_\alpha \rangle qui sont uniformément bornés (c’est-à-dire qu’il existe CC tel que âαâA:âx αââ¤C\pour tout \alpha \\in A : {\|x_\alpha\|} \leq C), en prenant la plus petite de ces bornes supérieures comme norme de â¨x αâ©\langle x_\alpha \rangle. Cette norme est appelée la norme â\infty ; en particulier, le produit d’une famille indexée AA de copies de â\mathbb{R} ou â\mathbb{C} est ce qui est normalement dénoté comme l â(A)l^{\infty}(A).

  • La catégorie des espaces de Banach admet des égalisateurs. En effet, l’égaliseur d’une paire de cartes f,g:XâYf, g : X \rightarrows Y dans BanBan est le noyau de fâgf-g sous la norme héritée de XX (le noyau est fermé puisque fâgf-g est continue, et est donc complet). En fait, tout égaliseur est une section paire par le théorème de Hahn-Banach. Tout monomorphisme extrémal est même déjà un égalisateur (et une section) : Soit f:XâYf\colon X \to Y un monomorphisme extrémal, ι:â(f)âY\iota\colon \Im(f) \to Y l’encastrement de Im(f)Im(f) dans le codomaine de ff et fâ²:XâIm(f)f\prime \colon X \to Im(f) ff avec codomaine restreint. Puisque fâ²f\prime est un épimorphisme, f=ιfâ²f=\iota f\prime, et ff extrémal, fâ²f\prime est un isomorphisme, donc ff est un encastrement.

  • La catégorie des espaces de Banach admet des petits coproduits. Étant donné une petite famille d’espaces de Banach {X α} αâA\{X_\alpha\}_{\alpha \in A}, son coproduit dans BanBan est la complétion du coproduit de l’espace vectoriel

    ⨠αâAX α\bigoplus_{\alpha \in A}. X_\alpha

    par rapport à la norme donnée par

    â⨠sâSx sâ=â sâSâx sâ, {\gauche| \bigoplus_{s \in S} x_s \right\|} = \sum_{s \in S} {\||x_s\|} ,

    où SâAS \sous-seteq A est fini et âx sâ{\|x_s\|} désigne la norme d’un élément dans X sX_s. Cette norme est appelée la norme 11 ; en particulier, le coproduit d’une famille indexée AA de copies de â\mathbb{R} ou â\mathbb{C} est ce qui est normalement dénoté comme l 1(A)l^1(A).

  • La catégorie des espaces de Banach admet des coéquilibreurs. En effet, le coéquilibreur d’une paire de cartes f,g:XâYf, g : X \rightarrows Y est le cokernel de fâgf-g sous la norme du quotient (dans laquelle la norme d’un coset y+Cy + C est la norme minimale atteinte par les éléments de y+Cy + C ; ici CC est l’image (fâg)(X)(f-g)(X), qui est fermée). Il est standard que la norme du quotient sur Y/CY/C soit complète étant donné que la norme sur YY est complète.

  • Pour décrire le produit tensoriel Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y de deux espaces de Banach (rendant BanBan symétrique monoïdal fermé par rapport à son hom interne habituel), on appelle F(XÃY)F(X \times Y) l’espace vectoriel libre engendré par l’ensemble XÃYX \times Y, avec norme sur un élément typique définie par

    âââ 1â¤iâ¤na i(x iây i)â=â 1â¤iâ¤n|a i|âx iââ ây iâ. {gauche} \Sum_{1 \leq i \leq n} a_i (x_i \otimes y_i) \right\|} = \sum_{1 \leq i \leq n} {|a_i|} {\|x_i\|} \cdot {\|y_i\|}.

    Laissez F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y) dénoter sa complétion par rapport à cette norme. On prend alors le cokernel de F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y) par la fermeture du sous-espace parcouru par les relations bilinéaires évidentes. Ce quotient est Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y.

Dans la littérature sur les espaces de Banach, le produit tensoriel ci-dessus est généralement appelé produit tensoriel projectif des espaces de Banach ; voir autre produit tensoriel des espaces de Banach. Le produit et le coproduit sont considérés comme des sommes directes ; voir autres sommes directes d’espaces de Banach.

À décrire :

  • duaux (p+q=pqp + q = p q);
  • complément (BanBan est une sous-catégorie réflexive de PsNVectPsNVect (espaces vectoriels pseudo-normés)).
  • BanBan comme une catégorie (un peu plus grande) avec des duaux.

Intégration dans les espaces de Banach

Ce paragraphe décrit certains aspects de la théorie de l’intégration dans les espaces de Banach qui sont pertinents pour comprendre la littérature sur l’AQFT. Dans le contexte donné, les éléments d’un espace de Banach â¬\mathcal{B} sont parfois appelés vecteurs, une fonction ou une mesure prenant des valeurs dans â¬\mathcal{B} sont donc appelées fonctions vectorielles et mesures vectorielles. Les fonctions et mesures prenant des valeurs dans le champ sur lequel l’espace de Banach est défini en tant qu’espace vectoriel sont appelées fonctions scalaires et mesures scalaires.

Nous considérerons deux types d’intégrales :

  • intégrales de fonctions vectorielles par rapport à une mesure scalaire, spécifiquement l’intégrale de Bochner,

  • intégrales de fonctions scalaires par rapport à une mesure vectorielle, spécifiquement l’intégrale spectrale d’un opérateur normal sur un espace de Hilbert.

Intégrale de Bochner

L’intégrale de Bochner est une généralisation directe de l’intégrale de Lesbegue aux fonctions qui prennent des valeurs dans un espace de Banach. Chaque fois que vous rencontrez une intégrale d’une fonction prenant des valeurs dans un espace de Banach dans la littérature AQFT, il est sûr de supposer qu’il s’agit d’une intégrale de Bochner. Deux points déjà expliqués par Wikipédia sont intéressants :

  1. Une version du théorème de convergence dominée est vraie pour l’intégrale de Bochner.
  2. Il existe des théorèmes qui ne sont pas valables pour l’intégrale de Bochner, notamment le théorème de Radon-Nikodym ne tient pas en général.
  • Wikipedia

référence : Joseph Diestel : âSéquences et séries dans les espaces de Banachâ (entrée ZMATH), chapitre IV.

L’intégrale spectrale

L’intégrale par rapport à la mesure spectrale d’un opérateur normal borné sur un espace de Hilbert est un exemple d’intégrale d’espace de Banach par rapport à une mesure vectorielle. Dans ce paragraphe, nous présentons un résultat bien connu, mais un peu moins souvent cité, qui est utile dans certaines preuves de certaines approches de l’AQFT, il s’agit de la version du théorème de convergence dominée pour le cadre donné.

Laissons A être un opérateur normal borné sur un espace de Hilbert et E être sa mesure spectrale (la « résolution de l’identité » dans les termes de Dunford et Schwartz). Soit Ï(A)\sigma(A) le spectre de A. Pour une fonction de Borel complexe bornée f, nous avons alors

f(A)ââ » Ï(A)f(Π»)E(dΠ») f(A) \coloneqq \int_{\sigma(A)} f(\lambda) E(d\lambda)
Théorème (convergence dominée)

Si la suite uniformément bornée {f n}\{f_n\} de fonctions complexes de Borel converge en chaque point de Ï(A)\sigma(A) vers la fonction ff, alors f n(A)âf(A)f_n(A) \à f(A) dans la topologie des opérateurs forts.

Voir Dunford, Schwartz II, chapitre X, corollaire 8.

Propriétés

Relation aux espaces bornologiques

Toute limite inductive des espaces de Banach est un espace vectoriel bornologique. (Alpay-Salomon 13, prop. 2.3)

À l’inverse, tout espace vectoriel bornologique est une limite inductive d’espaces normés, et des espaces de Banach s’il est quasi-complet (Schaefer-Wolff 99)

  • Espace de Banach réflexif

  • Espace de Banach projectif

  • Espace analytique de Banach

Nommé d’après Stefan Banach.

  • Walter Rudin, Analyse fonctionnelle

  • Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. : âLinear operators. Part I : General theory.â (ZMATH entry), âLinear operators. Partie II : théorie spectrale, opérateurs auto-adjoints dans l’espace de Hilbert.â (entrée ZMATH)

  • Z. Semadeni, Espaces de Banach des fonctions continues, vol. I, Polish scientific publishers. Warszawa 1971

  • Daniel Alpay, Guy Salomon, On algebras which are inductive limits of Banach spaces (arXiv:1302.3372)

  • H. H. Schaefer avec M. P. Wolff, Topological vector spaces, Springer 1999

catégorie : analyse

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