L’ère classique était une innovation florissante, et a vu une explosion de manuja grantham : siddhantas, bhaashyaas, vartikaas (explications de commentaires), karanas, tantraa, et des nouveautés comme les vaakya-panchaangas, dont un nombre surprenant a été préservé, édité, publié et certains même traduits en anglais au cours des derniers siècles. La critique, la correction, l’observation, le raffinement, l’innovation ont marqué cette période de plusieurs siècles et à travers diverses géographies.
Un aparté intéressant pour un économiste, est la variété des monnaies et des pièces (dinara, paNaa, kaarshapaaNa, puraaNa, svarNaa) et des poids (pala, krosha) et des mesures (angula, hasta) discutés dans les différents livres.
L’accent est mis principalement sur l’astronomie, mais chaque siddhanta discute du principal, de l’intérêt, de la capitalisation, du taux de croissance et de tels calculs monétaires également.
Mahavira
Mahavira, le mathématicien jaïn qui a composé Ganita Saara Sangraha a écrit le premier livre de mathématiques, amputé de l’astronomie.
La structure de son livre est que les deux ou trois premières strophes de chaque chapitre expliquent un algorithme ou une formule, et le reste des strophes sont des problèmes de ce type à résoudre par le lecteur.
Son utilisation des symboles Jaina, des temples, des méthodes de culte, des calculs, etc. sont des marques singulières du livre.
Mahavira se délecte de plusieurs types de fractions : bhaaga (fraction simple), prabhaaga( fractions de fractions), bhaagaabhaaga (fractions complexes), et ainsi de suite. Par exemple, un problème posé est le suivant :
दिवसैसत्रिभिस्सपादैरयोजनषट्कं चतुर्थभागोनम्
गच्छति यः पुरुशोसौ दिनयुतवर्षेण किं कथय ॥ ३ ॥
divasais-tribhis-sa-paadair-yojana-shaTkam caturta-bhaaga-unam
Gacchati yaH purusho-asau dina-yuta-varsheNa kim kathaya
Traduction : L’homme (purusha) qui (asau) marche (gacchati) un quart (caturtha-bhaaga) moins (unam) que six (shaTka) yojanaas en trois (tribhi) et quart (paadai) jours (divasau), dites (kataya) combien (kim) il marche en un jour (dina) et (yuta) une année (varsha).
Bhaskaracharya
La Lilavati de Bhaskara, auteur aussi de Siddhanta Siromani, est célèbre même pour ceux qui ne sont pas familiers avec les mathématiques, comme un exemple de belle poésie, et a une légende populaire autour d’elle.
Comme Mahavira, Bhaskara a jeté plusieurs exemples de la vie quotidienne pour poser des problèmes de mathématiques, et comme Varahamihira, il s’est délecté de ses talents poétiques.
Lilavati est le livre de mathématiques généralement le seul que les dictionnaires sanskrits citent. Il a inspiré d’innombrables commentaires, au fil des siècles, des traductions en de multiples langues et est devenu le manuel standard des mathématiques indiennes.
Bhaskara a corrigé la formule erronée d’Aryabhata pour le volume d’une sphère, qui a échappé même à Brahmagupta (qui a corrigé la formule erronée d’Aryabhata pour le volume d’un tétraèdre).
Il a également donné des volumes corrects pour la surface d’une sphère. Sa métaphore d’un filet recouvrant une balle (kandukasya jaalam), pour le volume de la sphère laisse penser qu’il était tombé sur le germe de l’idée d’infinetisme et de calcul. Mais ces domaines ne se développeront que dans les siècles suivants, au Kerala.
Bhaskara a également introduit le concept de kha-hara (un nombre divisé par zéro) pour l’infini (et pas seulement l’ananta philosophique (sans fin).
Bhaskara a également été parmi les premiers à fournir des preuves de certaines de ses dérivations, et à ne pas les laisser aux commentateurs, ou à ne les enseigner qu’aux étudiants. Après de brèves explorations par Pingala et Varahamihira, Bhaskara a également exploré les permutations et les combinaisons.
A l’époque de Bhaskara, l’algèbre avait atteint un état avancé. Il reconnaît s’être appuyé sur les travaux de ses prédécesseurs Sridhara et Padmanabha.
Perspective historique
Les mathématiciens indiens utilisaient les racines carrées irrationnelles depuis mille ans et les sinus et cosinus depuis plusieurs siècles avant de découvrir les nombres négatifs. L’inspiration des nombres négatifs vient du commerce et de la notion de dette, et non d’une quelconque philosophie religieuse.
Il a fallu six siècles et un Bhaskara pour corriger l’erreur du volume de la sphère d’Aryabhata. Bhaskara avait compris que la division par zéro donnait l’infini, mais il n’en avait pas saisi toutes les conséquences.
Des séries finies d’Aryabhata aux séries infinies de Virasena n’ont pris que deux siècles. Ils ont découvert des séries infinies se résumant à un nombre fini pendant six siècles avant de le remettre en question.
De même que la machine à vapeur a été inventée un siècle avant la bicyclette, beaucoup plus simple, l’histoire des mathématiques regorge d’exemples de concepts complexes découverts avant des concepts beaucoup plus simples.
L’astronomie a inspiré des mathématiques extraordinaires, mais a aussi fréquemment trompé et induit en erreur les plus grands des mathématiciens.
L’histoire des mathématiques est une histoire d’amour et d’amitié.