Cela fait partie d’une série sur les idées fausses courantes.

Vrai ou faux ?

L’infini est le nombre qui se trouve à la fin de la ligne des nombres réels.

Pourquoi certaines personnes disent que c’est vrai : parce que l’infini est le nombre qui est plus grand que tous les autres nombres.

Pourquoi certains disent que c’est faux : parce que l’infini n’est pas un nombre et que la droite numérique n’a pas de fin.

L’affirmation est fausse :

Preuve:

L’idée fausse à l’œuvre ici est que « si vous continuez à monter le long de la ligne des nombres en passant devant des nombres à compter de plus en plus grands, alors finalement les nombres à compter finissent par s’arrêter (quelque part après le point où votre professeur est fatigué de faire des tic marks), et il y aura un signe d’infini (∞\infty∞) là pour marquer la fin de la ligne des nombres. » Alternativement, certains disent que « l’infini est à l’extrémité de la droite numérique, mais il y a encore une infinité de nombres inférieurs à l’infini et entre l’infini et tout autre point de la droite. » Ces deux notions ont des racines dans des concepts liés au calcul ; cependant, elles sont toutes deux fondamentalement incorrectes.

Lorsque votre professeur « termine la ligne des nombres » par ∞\infty∞, il s’agit en fait d’un raccourci trompeur pour représenter que la ligne des nombres continue à l’infini. Une façon moins trompeuse de représenter cette notion pourrait être de prolonger la ligne des nombres à l’aide d’une flèche. Nous pouvons également indiquer que les nombres entiers continuent après que nous ayons décidé d’arrêter de les enregistrer en utilisant la notation commune des séries générales : « …n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,… » pour décrire, dans ce cas, l’ensemble de tous les nombres entiers non négatifs. Cet ensemble est aussi communément appelé les « nombres naturels (N\mathbb{N}N) » ou les « entiers non négatifs ».

L’idée fausse consiste à choisir de traiter ∞\infty∞ comme un entier ou un nombre entier ou comme un des nombres réels. Ce n’est pas la même chose que de croire que ∞\infty∞ est « réel » ou « irréel » au sens anglais du terme. L’infini est un concept « réel » et utile. Cependant, l’infini n’est pas un membre de l’ensemble mathématiquement défini des « nombres réels » et, par conséquent, ce n’est pas un nombre sur la ligne des nombres réels.

L’ensemble des nombres réels, R\mathbb{R}R, est expliqué au lieu d’être défini dans la plupart des écoles pré-collégiales. Et, même dans ce cas, il n’est généralement expliqué que brièvement, avec une description à l’effet de « tous les points sur une ligne de nombres », et avec le suivi supplémentaire que « les nombres réels négatifs sont à gauche de 0 et les nombres positifs sont ceux à droite de 0. »

La plupart des étudiants ne se voient pas enseigner une définition rigoureuse des nombres réels à moins qu’ils ne deviennent des majors en mathématiques dans une université. L’une des définitions les plus courantes à apprendre alors est que les nombres réels sont l’ensemble des coupes de Dedekind des nombres rationnels. Étant donné toute définition rigoureuse des nombres réels, il est immédiatement évident que « l’infini » n’est pas un membre de l’ensemble des nombres réels.

Réfutation : Dans l’étude des limites, l’infini (∞\infty∞) est traité comme n’importe quel autre nombre. Pourquoi faisons-nous cela en calcul si l’infini n’est pas réellement un nombre ?

Réponse : Beaucoup sont enseignés sur les limites en pré-calcul ou en calcul exactement comme vous le décrivez, et la façon dont l’infini est traité suggère effectivement, de façon trompeuse, que l’infini est juste un autre nombre. Par exemple, étant donné une fonction avec une asymptote horizontale à 5, nous pourrions dire que la limite de f(x)f(x)f(x) lorsque xxx s’approche de l’infini est cinq : f(x)x→∞=5f(x)_{x\rightarrow \infty} = 5f(x)x→∞=5, et si f(x)f(x)f(x) a une asymptote verticale à 171717, on nous apprend à dire que f(x)x→17=∞f(x)_{x\rightarrow 17} = \inftyf(x)x→17=∞. Il s’agit de la première exposition de nombreux étudiants à ∞\infty∞, et c’est une introduction très trompeuse car elle implique que ∞\infty∞ peut être traité comme un nombre qui est simplement « plus grand que tous les autres nombres. »

Cependant, dans ce contexte, l’infini est juste un raccourci pour une notion bien définie d’une fonction n’ayant pas de limite d’une quelconque valeur réelle, mais au contraire, augmentant à jamais sans limite. Voir le wiki sur les limites des fonctions pour plus de détails !

Réfutation : J’ai définitivement vu l’infini dans les manuels de mathématiques, et parfois il est défini comme un nombre plus grand que tous les nombres non-infinis. Pourquoi est-il présent si ce n’est pas un vrai concept mathématique ?

Réponse : Il existe effectivement des ensembles de nombres mathématiques, comme les nombres cardinaux et les nombres ordinaux, dans lesquels de nombreuses versions différemment définies de ∞\infty∞ sont des nombres. Et les systèmes de nombres rigoureusement définis qui incluent ∞\infty∞ ont de nombreuses applications précieuses. Par exemple, dans l’ensemble des nombres cardinaux, l’infini est en fait une mesure du nombre de nombres réels. Cependant, l’ensemble des nombres réels R\mathbb{R}R est défini de telle sorte qu’il omet toute version de l’infini.

De plus, en considérant les nombres cardinaux, nous devons changer notre intuition sur l’infini : ce n’est pas un nombre au sens de la « ligne des nombres », comme on applique les réels. Il s’agit plutôt d’un concept permettant de mesurer et de comparer les tailles des ensembles.

Voir aussi

• Nombres réels
• Représentation sur la ligne des nombres réels
• Coupes de Dedekind
• Les limites des fonctions
• Liste des idées fausses courantes

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