Puget Sound vu du ciel, tel que vu l’hiver dernier. (Photo : EcologyWA/Public Domain)

Imaginez un instant que votre ami et vous ayez reçu une tâche apparemment simple : mesurer le littoral de Puget Sound, dans l’État de Washington. Les ressources étant limitées, vous disposez d’un mètre, tandis que votre ami a une règle d’un pied de long. Vous marchez tous les deux, en posant votre mètre au bord de l’eau, en suivant du mieux que vous pouvez les tenants et aboutissants du rivage. Lorsque vous avez terminé, vous comparez vos notes et vous êtes choqués. Alors que vous avez fini avec un respectable 3 000 miles, votre ami et son pied-long ont obtenu un chiffre bien plus élevé, quelque part autour de 4 500 miles.

Vous n’êtes pas fous. Vous êtes victimes du paradoxe du trait de côte, un principe mathématique délicat qui embrouille les cartographes, déconcerte les bureaux gouvernementaux et rend impossible de savoir exactement quelle est la taille réelle de notre monde.

Le paradoxe du trait de côte, en un gif pratique. (Image : Branden Rishel)

Les gens sont déroutés par les côtes depuis au moins le cinquième siècle avant Jésus-Christ, lorsque des marins athéniens auraient été chargés de mesurer la côte de la Sardaigne et seraient revenus déconcertés. Mais le paradoxe s’est révélé pour la première fois de manière rigoureuse en 1951, lors d’une étude sur les conflits armés. Lewis Fry Richardson, pacifiste et mathématicien, essayait de déterminer si la longueur de la frontière partagée par deux pays donnés avait une incidence sur le fait qu’ils entreraient ou non en guerre.

Il a constaté des désaccords dès la phase de collecte des données – en cherchant la longueur de la frontière entre l’Espagne et le Portugal, il a constaté que l’Espagne l’avait tracée à 987 km, alors que le Portugal disait 1214 km. Fasciné par cette découverte, il s’est penché plus avant sur la question et a découvert que non seulement les longueurs des côtes et de certaines frontières sont extrêmement variables, mais que si l’on dispose d’un instrument de mesure suffisamment petit, chacune d’entre elles est effectivement infinie.

Cette ligne de pensée a rapidement été reprise par le mathématicien Benoit Mandelbrot, dans un article de 1967 intitulé « How long is the coast of Britain ? ». « Voici une question, un aliment de base de la géométrie de l’école primaire qui, si vous y réfléchissez, est impossible », a-t-il déclaré plus tard au New York Times. Afin de s’y attaquer – et de mesurer d’autres formes aussi bancales, comme les nuages, les flocons de neige et les montagnes – Mandelbrot a inventé le concept de fractale, une courbe qui devient de plus en plus complexe à mesure que vous l’observez de plus près.

L’ensemble de Mandelbrot, une fractale qui vous est probablement familière depuis le début d’un manuel de mathématiques. (Photo : Wolfgang Beyer/CC BY-SA 3.0)

Envisagé de manière abstraite, le paradoxe du littoral est une chose impressionnante, une preuve de l’impossibilité de tout cerner et de l’irréductibilité essentielle de notre monde. Sur le plan pratique, cependant, c’est un énorme problème, explique Branden Rishel, un cartographe qui travaille à la restauration du littoral de Puget Sound. Comme une grande partie de l’État de Washington, Puget Sound est rempli de fjords, des recoins sans fin creusés dans la terre par les glaciers il y a 15 000 ans. Les fjords ajoutent beaucoup de folie à un littoral – la Norvège, par exemple, qui est infiniment ridée, a environ 18 000 miles de côtes avec des fjords, et seulement 1573 miles si vous les laissez de côté.

En plus de la pure étrangeté mathématique, les côtes changent constamment, dit Rishel. Les falaises s’érodent, le niveau de la mer monte, les masses terrestres rebondissent lentement de là où les glaciers les ont poussées. Chaque jour, les marées montent, déplaçant la ligne de flottaison de trois mètres, puis la redescendent. « Les plages changent de forme à chaque vague », dit Rishel. « Comment pouvez-vous fixer cela ? »

Vous ne pouvez pas – même quand vous le voulez vraiment. En 2006, le Congressional Research Service a publié un mémo intitulé « U.S. International Borders : Brief Facts », destiné à s’assurer que tout le monde était sur la même longueur d’onde quant à l’étendue exacte de la frontière que nous devons penser à sécuriser. Mais une fois de plus, il n’y avait même pas de page commune. Les données relatives au « littoral général » figurant dans ce rapport sont basées sur des cartes marines à grande échelle, ce qui donne une mesure du littoral des 50 États totalisant 12 383 miles », indique le rapport. « Une autre mesure utilisant des cartes nautiques à plus petite échelle fait plus que doubler cette mesure à 29 093 miles… tandis que les chiffres utilisés par la NOAA dans l’administration du programme de gestion des zones côtières s’élèvent à 88 612 miles (sans compter les Grands Lacs). »

L’État de Washington vu de haut. (Photo : NASA/Public Domain)

Parfois, cependant, les gens doivent trouver un moyen de se mettre d’accord. Dans l’État de Washington, les experts comme Rishel utilisent ce qu’on appelle le « ShoreZone Shoreline », qui a été dessiné par le Département des ressources naturelles de Washington à la fin des années 1990, à partir de photos et de vidéos prises depuis des hélicoptères volant à basse altitude. La version ShoreZone du littoral de Puget Sound mesure environ 2 500 miles de long, selon Rishel – un chiffre gérable, ou du moins mieux que « l’infini ». En s’accordant sur cette approximation, les personnes qui travaillent à la restauration des plages, au suivi des lieux de frai des poissons ou à la construction de maisons en bord de mer peuvent s’assurer qu’elles parlent le même langage géographique.

Mais la tentative de normalisation a ses propres défauts. Le littoral de ShoreZone traite certaines structures artificielles, comme certaines jetées, comme si elles faisaient partie du littoral, et en laisse d’autres de côté. « Parfois, la ligne de rivage de ShoreZone se trouve à des dizaines de mètres de là où devrait se trouver toute ligne de rivage respectable », explique Rishel. « À un endroit, elle est à 800 pieds et il y a une piste d’atterrissage dans ce qui devrait être de l’eau. » Il a même réussi à manquer une île entière.

Rishel s’attend à ce que ShoreZone soit bientôt mis à jour avec des données LiDAR, qui remplacent les caméras et les yeux humains par des mesures laser plus précises, prises depuis des avions. Pourtant, tout ne sera pas parfait. « Pendant le mois ou les deux mois qu’a duré le vol, même le meilleur LiDAR ne capturait qu’un instantané flou du Sound », explique-t-il. « Les profils des plages d’hiver sont radicalement différents de ceux d’été. Les falaises continuent de s’éroder. Des glissements de terrain se produisent. »

C’est ce qui se passe lorsque nous essayons de travailler avec quelque chose qui est littéralement infini – nous devons simplement faire du mieux que nous pouvons.