Electrodynamique quantiqueEdit
Jusqu’à l’avènement de la mécanique quantique, le seul exemple bien connu de symétrie de jauge se trouvait en électromagnétisme, et la signification générale du concept n’était pas entièrement comprise. Par exemple, on ne savait pas si c’était les champs E et B ou les potentiels V et A qui étaient les quantités fondamentales ; si c’était les premiers, alors les transformations de jauge pouvaient être considérées comme rien de plus qu’une astuce mathématique.
Expérience d’Aharonov-BohmEdit
Diffraction à double fente et figure d’interférence
En mécanique quantique, une particule telle qu’un électron est également décrite comme une onde. Par exemple, si l’expérience de la double fente est réalisée avec des électrons, on observe alors une figure d’interférence semblable à une onde. L’électron a la plus forte probabilité d’être détecté aux endroits où les parties de l’onde passant par les deux fentes sont en phase l’une avec l’autre, ce qui entraîne une interférence constructive. La fréquence de l’onde électronique est liée à l’énergie cinétique d’une particule électronique individuelle par la relation quantique-mécanique E = hf. Si aucun champ électrique ou magnétique n’est présent dans cette expérience, alors l’énergie de l’électron est constante et, par exemple, il y aura une forte probabilité de détecter l’électron le long de l’axe central de l’expérience, où par symétrie les deux parties de l’onde sont en phase.
Mais supposons maintenant que les électrons dans l’expérience soient soumis à des champs électriques ou magnétiques. Par exemple, si un champ électrique était imposé d’un côté de l’axe mais pas de l’autre, les résultats de l’expérience seraient affectés. La partie de l’onde électronique qui passe par ce côté oscille à une vitesse différente, car on lui a ajouté une énergie de -eV, où -e est la charge de l’électron et V le potentiel électrique. Les résultats de l’expérience seront différents, car les relations de phase entre les deux parties de l’onde électronique ont changé et, par conséquent, les emplacements des interférences constructives et destructives seront déplacés d’un côté ou de l’autre. C’est le potentiel électrique qui se produit ici, pas le champ électrique, et c’est une manifestation du fait que ce sont les potentiels et non les champs qui ont une signification fondamentale en mécanique quantique.
Schéma de l’expérience de la double fente dans laquelle l’effet Aharonov-Bohm peut être observé : des électrons passent par deux fentes, interférant sur un écran d’observation, la figure d’interférence étant décalée lorsqu’un champ magnétique B est activé dans le solénoïde cylindrique, marqué en bleu sur le schéma.
Explication avec les potentielsModifié
Il est même possible d’avoir des cas où les résultats d’une expérience diffèrent lorsque les potentiels sont modifiés, même si aucune particule chargée n’est jamais exposée à un champ différent. Un tel exemple est l’effet Aharonov-Bohm, illustré sur la figure. Dans cet exemple, la mise en marche du solénoïde ne fait que créer un champ magnétique B à l’intérieur du solénoïde. Mais le solénoïde a été positionné de telle sorte que l’électron ne puisse pas passer à l’intérieur. Si l’on croyait que les champs étaient les quantités fondamentales, on s’attendrait à ce que les résultats de l’expérience soient inchangés. En réalité, les résultats sont différents, car la mise en marche du solénoïde a modifié le potentiel vectoriel A dans la région que les électrons traversent. Maintenant qu’il est établi que ce sont les potentiels V et A qui sont fondamentaux, et non les champs E et B, nous pouvons voir que les transformations de jauge, qui changent V et A, ont une réelle signification physique, plutôt que d’être de simples artefacts mathématiques.
Invariance de jauge : les résultats des expériences sont indépendants du choix de la jauge pour les potentielsEdit
Notez que dans ces expériences, la seule quantité qui affecte le résultat est la différence de phase entre les deux parties de l’onde électronique. Supposons que nous imaginions les deux parties de l’onde électronique comme de minuscules horloges, chacune avec une seule aiguille qui balaie un cercle, en gardant la trace de sa propre phase. Bien que cette caricature ignore certains détails techniques, elle conserve les phénomènes physiques qui sont importants ici. Si les deux horloges sont accélérées de la même manière, la relation de phase entre elles reste inchangée, et les résultats des expériences sont les mêmes. De plus, il n’est même pas nécessaire de modifier la vitesse de chaque horloge d’une quantité fixe. Nous pourrions modifier l’angle de l’aiguille de chaque horloge d’une quantité variable θ, où θ pourrait dépendre à la fois de la position dans l’espace et du temps. Cela n’aurait aucun effet sur le résultat de l’expérience, puisque l’observation finale de l’emplacement de l’électron se produit à un seul endroit et à un seul moment, de sorte que le déphasage de l' »horloge » de chaque électron serait le même, et les deux effets s’annuleraient. C’est un autre exemple de transformation de jauge : elle est locale, et elle ne change pas les résultats des expériences.
RésuméEdit
En résumé, la symétrie de jauge atteint toute son importance dans le contexte de la mécanique quantique. Dans l’application de la mécanique quantique à l’électromagnétisme, c’est-à-dire l’électrodynamique quantique, la symétrie de jauge s’applique à la fois aux ondes électromagnétiques et aux ondes électroniques. Ces deux symétries de jauge sont en fait intimement liées. Si une transformation de jauge θ est appliquée aux ondes électroniques, par exemple, il faut également appliquer une transformation correspondante aux potentiels qui décrivent les ondes électromagnétiques. La symétrie de jauge est nécessaire pour faire de l’électrodynamique quantique une théorie renormalisable, c’est-à-dire, une théorie dans laquelle les prédictions calculées de toutes les quantités physiquement mesurables sont finies.
Types de symétries de jaugeEdit
La description des électrons dans la sous-section ci-dessus comme de petites horloges est en fait un énoncé des règles mathématiques selon lesquelles les phases des électrons doivent être additionnées et soustraites : elles doivent être traitées comme des nombres ordinaires, sauf que dans le cas où le résultat du calcul tombe en dehors de la plage de 0≤θ<360°, nous le forçons à « s’enrouler » dans la plage autorisée, qui couvre un cercle. Une autre façon d’exprimer cela est qu’un angle de phase de, disons, 5° est considéré comme complètement équivalent à un angle de 365°. Des expériences ont vérifié cette affirmation vérifiable concernant les motifs d’interférence formés par les ondes électroniques. À l’exception de la propriété « enveloppante », les propriétés algébriques de cette structure mathématique sont exactement les mêmes que celles des nombres réels ordinaires.
Dans la terminologie mathématique, les phases des électrons forment un groupe abélien sous addition, appelé groupe du cercle ou U(1). « Abélien » signifie que l’addition commute, de sorte que θ + φ = φ + θ. Groupe signifie que l’addition s’associe et possède un élément d’identité, à savoir « 0 ». De plus, pour toute phase, il existe un inverse tel que la somme d’une phase et de son inverse est 0. D’autres exemples de groupes abéliens sont les entiers sous addition, 0 et négation, et les fractions non nulles sous produit, 1 et réciproque.
Fixation de la jauge d’un cylindre tordu.
Pour visualiser le choix d’une jauge, on peut se demander s’il est possible de savoir si un cylindre a été tordu. Si le cylindre n’a pas de bosses, de marques ou de rayures, nous ne pouvons pas le savoir. Nous pouvons cependant tracer une courbe arbitraire le long du cylindre, définie par une fonction θ(x), où x mesure la distance le long de l’axe du cylindre. Une fois que ce choix arbitraire (le choix de la jauge) a été fait, il devient possible de le détecter si quelqu’un tord le cylindre plus tard.
En 1954, Chen Ning Yang et Robert Mills ont proposé de généraliser ces idées aux groupes non commutatifs. Un groupe de jauge non commutatif peut décrire un champ qui, contrairement au champ électromagnétique, interagit avec lui-même. Par exemple, la relativité générale affirme que les champs gravitationnels ont de l’énergie, et la relativité restreinte conclut que l’énergie est équivalente à la masse. Par conséquent, un champ gravitationnel induit un autre champ gravitationnel. Les forces nucléaires ont également cette propriété d’auto-interaction.
Bosons de jaugeEdit
De manière surprenante, la symétrie de jauge peut donner une explication plus profonde de l’existence d’interactions, telles que les interactions électriques et nucléaires. Cela découle d’un type de symétrie de jauge lié au fait que toutes les particules d’un type donné sont expérimentalement indiscernables les unes des autres. Imaginez qu’Alice et Betty soient de vraies jumelles, étiquetées à la naissance par des bracelets portant la mention A et B. Comme les filles sont identiques, personne ne pourrait dire si elles ont été échangées à la naissance ; les étiquettes A et B sont arbitraires et peuvent être interchangées. Une telle permutation permanente de leurs identités est comme une symétrie de jauge globale. Il existe également une symétrie de jauge locale correspondante, qui décrit le fait que, d’un moment à l’autre, Alice et Betty peuvent échanger leurs rôles pendant que personne ne regarde, sans que personne ne puisse le dire. Si nous observons que le vase préféré de maman est cassé, nous ne pouvons qu’en déduire que la faute revient à l’une ou l’autre jumelle, mais nous ne pouvons pas dire si la faute revient à 100 % à Alice et à 0 % à Betty, ou vice versa. Si Alice et Betty sont en fait des particules de mécanique quantique plutôt que des personnes, elles ont également des propriétés ondulatoires, notamment la propriété de superposition, qui permet d’ajouter, de soustraire et de mélanger des ondes de manière arbitraire. Il s’ensuit que nous ne sommes même pas limités à des échanges complets d’identité. Par exemple, si nous observons qu’une certaine quantité d’énergie existe à un certain endroit dans l’espace, aucune expérience ne peut nous dire si cette énergie est composée de 100 % de A et de 0 % de B, de 0 % de A et de 100 % de B, de 20 % de A et de 80 % de B, ou d’un autre mélange. Le fait que la symétrie soit locale signifie que nous ne pouvons même pas compter sur le fait que ces proportions restent fixes lorsque les particules se propagent dans l’espace. Les détails de la façon dont cela est représenté mathématiquement dépendent de questions techniques relatives aux spins des particules, mais pour nos besoins actuels, nous considérons une particule sans spin, pour laquelle il s’avère que le mélange peut être spécifié par un certain choix arbitraire de la jauge θ(x), où un angle θ = 0° représente 100% A et 0% B, θ = 90° signifie 0% A et 100% B, et les angles intermédiaires représentent des mélanges.
Selon les principes de la mécanique quantique, les particules n’ont pas réellement de trajectoires dans l’espace. Le mouvement ne peut être décrit qu’en termes d’ondes, et le momentum p d’une particule individuelle est lié à sa longueur d’onde λ par p = h/λ. En termes de mesures empiriques, la longueur d’onde ne peut être déterminée qu’en observant un changement de l’onde entre un point de l’espace et un autre point proche (mathématiquement, par différenciation). Une onde de longueur d’onde plus courte oscille plus rapidement, et change donc plus rapidement entre des points proches. Supposons maintenant que nous fixions arbitrairement une jauge en un point de l’espace, en disant que l’énergie à cet endroit est composée de 20% de A et de 80% de B. Nous mesurons ensuite les deux ondes en un autre point proche, afin de déterminer leurs longueurs d’onde. Mais il existe deux raisons totalement différentes pour lesquelles les ondes ont pu changer. Elles ont pu changer parce qu’elles oscillaient avec une certaine longueur d’onde, ou parce que la fonction de jauge est passée d’un mélange 20-80 à, disons, 21-79. Si nous ignorons la deuxième possibilité, la théorie qui en résulte ne fonctionne pas ; d’étranges écarts de quantité de mouvement apparaîtront, violant le principe de conservation de la quantité de mouvement. Quelque chose dans la théorie doit être changé.
De nouveau, il y a des questions techniques relatives au spin, mais dans plusieurs cas importants, y compris les particules chargées électriquement et les particules interagissant via les forces nucléaires, la solution au problème est d’imputer une réalité physique à la fonction de jauge θ(x). Nous disons que si la fonction θ oscille, elle représente un nouveau type d’onde quantique-mécanique, et cette nouvelle onde a sa propre quantité de mouvement p = h/λ, ce qui permet de combler les écarts qui, autrement, auraient rompu la conservation de la quantité de mouvement. Dans le contexte de l’électromagnétisme, les particules A et B seraient des particules chargées telles que des électrons, et l’onde mécanique quantique représentée par θ serait le champ électromagnétique. (Nous ignorons ici les problèmes techniques soulevés par le fait que les électrons ont en réalité un spin 1/2, et non un spin zéro. Cette simplification excessive est la raison pour laquelle le champ de jauge θ s’avère être un scalaire, alors que le champ électromagnétique est en fait représenté par un vecteur composé de V et A). Le résultat est que nous avons une explication pour la présence des interactions électromagnétiques : si nous essayons de construire une théorie symétrique de jauge de particules identiques, sans interaction, le résultat n’est pas auto-consistant, et ne peut être réparé qu’en ajoutant des champs électriques et magnétiques qui font interagir les particules.
Bien que la fonction θ(x) décrive une onde, les lois de la mécanique quantique exigent qu’elle ait aussi des propriétés de particule. Dans le cas de l’électromagnétisme, la particule correspondant aux ondes électromagnétiques est le photon. En général, ces particules sont appelées bosons de jauge, le terme « boson » désignant une particule de spin entier. Dans les versions les plus simples de la théorie, les bosons de jauge sont sans masse, mais il est également possible de construire des versions dans lesquelles ils ont une masse, comme c’est le cas pour les bosons de jauge qui transmettent les forces de désintégration nucléaire.