La loi de Bernoulli
Jusqu’à présent, on s’est intéressé aux fluides au repos. Cette section traite des fluides qui sont en mouvement de façon régulière, de telle sorte que la vitesse du fluide en chaque point donné de l’espace ne change pas avec le temps. Tout modèle d’écoulement qui est stable dans ce sens peut être vu en termes d’un ensemble de lignes de courant, les trajectoires de particules imaginaires suspendues dans le fluide et entraînées avec lui. Dans un écoulement stable, le fluide est en mouvement mais les lignes de courant sont fixes. Là où les lignes de courant se serrent, la vitesse du fluide est relativement élevée ; là où elles s’ouvrent, le fluide devient relativement stagnant.
Lorsqu’Euler et Bernoulli posaient les bases de l’hydrodynamique, ils traitaient le fluide comme une substance inviscide idéalisée dans laquelle, comme dans un fluide au repos en équilibre, les contraintes de cisaillement associées à la viscosité sont nulles et la pression p est isotrope. Ils sont arrivés à une loi simple reliant la variation de p le long d’une ligne de courant à la variation de v (le principe est attribué à Bernoulli, mais Euler semble y être arrivé le premier), qui sert à expliquer de nombreux phénomènes que présentent les fluides réels en mouvement régulier. A la question inévitable de savoir quand et pourquoi il est justifié de négliger la viscosité, il n’y a pas de réponse unique. Certaines réponses seront fournies plus loin dans cet article, mais d’autres questions seront abordées en premier lieu.
Considérons un petit élément de fluide de masse m, qui – hormis la force qui s’exerce sur lui du fait de la gravité – n’est actionné que par une pression p. Cette dernière est isotrope et ne varie pas avec le temps, mais peut varier d’un point à l’autre de l’espace. C’est une conséquence bien connue des lois du mouvement de Newton que, lorsqu’une particule de masse m se déplace sous l’influence de son poids mg et d’une force supplémentaire F d’un point P où sa vitesse est vP et sa hauteur est zP à un point Q où sa vitesse est vQ et sa hauteur est zQ, le travail effectué par la force supplémentaire est égal à l’augmentation de l’énergie cinétique et potentielle de la particule – c’est-à-dire, que
Dans le cas de l’élément fluide considéré, F peut être relié d’une manière simple au gradient de la pression, et on trouve
Si les variations de la densité du fluide le long de la ligne de courant de P à Q sont négligeablement petites, le facteur ρ-1 peut être pris en dehors de l’intégrale du côté droit de (131), qui se réduit alors à ρ-1(pQ – pP). Alors (130) et (131) peuvent être combinés pour obtenir
Puisque ceci s’applique à deux points quelconques qui peuvent être visités par un seul élément du fluide, on peut immédiatement déduire l’important résultat de Bernoulli (ou d’Euler) que le long de chaque ligne de courant dans l’écoulement régulier d’un fluide inviscide, la quantité
est constante.
Dans quelles circonstances les variations de la densité sont-elles négligeables ? Lorsqu’elles sont très faibles par rapport à la densité elle-même – c’est-à-dire lorsque
où le symbole Δ est utilisé pour représenter l’étendue de la variation le long d’une ligne de courant de la quantité qui la suit, et où Vs est la vitesse du son (voir ci-dessous Écoulement compressible dans les gaz). Cette condition est satisfaite pour tous les problèmes d’écoulement liés à l’eau qui sont traités ci-dessous. Si le fluide est de l’air, elle est adéquatement satisfaite à condition que la plus grande excursion en z soit de l’ordre du mètre plutôt que du kilomètre et que la vitesse du fluide soit partout inférieure à environ 100 mètres par seconde.
La loi de Bernoulli indique que, si un fluide inviscide s’écoule le long d’un tuyau de section variable, alors la pression est relativement faible aux étranglements où la vitesse est élevée et relativement élevée là où le tuyau s’ouvre et où le fluide stagne. De nombreuses personnes trouvent cette situation paradoxale lorsqu’elles la rencontrent pour la première fois. Une constriction ne devrait-elle pas augmenter la pression locale plutôt que de la diminuer ? Le paradoxe s’évapore à mesure que l’on apprend à considérer les changements de pression le long du tuyau comme une cause et les changements de vitesse comme un effet, au lieu de l’inverse ; c’est seulement parce que la pression diminue à un étranglement que le gradient de pression en amont de l’étranglement a le bon signe pour faire accélérer le fluide.
Paradoxal ou non, les prédictions basées sur la loi de Bernoulli sont bien vérifiées par l’expérience. Essayez de tenir deux feuilles de papier de façon à ce qu’elles pendent verticalement à environ deux centimètres de distance et soufflez vers le bas de façon à ce qu’il y ait un courant d’air entre elles. Les feuilles seront rapprochées par la réduction de la pression associée à ce courant. Les navires sont rapprochés pour la même raison s’ils se déplacent dans l’eau dans la même direction, à la même vitesse et avec une petite distance entre eux. Dans ce cas, le courant résulte du déplacement de l’eau par la proue de chaque navire, qui doit reculer pour remplir l’espace créé par la poupe qui avance, et le courant entre les navires, auquel ils contribuent tous deux, est plus fort que le courant qui passe devant leurs côtés extérieurs. Une autre expérience simple consiste à écouter le sifflement produit par un robinet qui est presque, mais pas tout à fait, fermé. Ce qui se passe dans ce cas, c’est que le flux est tellement restreint et la vitesse à l’intérieur de la constriction tellement élevée que la pression dans la constriction est en fait négative. Aidée par les gaz dissous qui sont normalement présents, l’eau cavite en passant à travers, et le bruit que l’on entend est celui de minuscules bulles qui s’effondrent alors que l’eau ralentit et que la pression remonte de l’autre côté.
Deux dispositifs pratiques qui sont utilisés par les ingénieurs hydrauliques pour surveiller l’écoulement des liquides dans les tuyaux sont basés sur la loi de Bernoulli. L’un d’eux est le tube venturi, une courte longueur avec un étranglement de forme standard (voir figure 5A), qui peut être inséré dans le tuyau proprement dit. Si la vitesse au point P, où le tube a une section transversale AP, est vP et la vitesse dans le rétrécissement, où la section est AQ, est vQ, la condition de continuité – la condition selon laquelle la masse qui s’écoule dans le tuyau par unité de temps doit être la même en tout point de sa longueur – suggère que ρPAPvP = ρQAQvQ, ou que APvP = AQvQ si la différence entre ρP et ρQ est négligeable. Alors la loi de Bernoulli indique 
Encyclopædia Britannica, Inc.
On devrait donc pouvoir trouver vP, et donc la quantité Q (= APvP) que les ingénieurs appellent le taux de décharge, en mesurant la différence de niveau h du fluide dans les deux tubes latéraux représentés sur le schéma. A faible vitesse, la différence de pression (pP – pQ) est fortement affectée par la viscosité (voir ci-dessous Viscosité), et l’équation (135) n’est donc pas fiable. Le tube venturi est normalement utilisé lorsque la vitesse est suffisamment importante pour que l’écoulement soit turbulent (voir ci-dessous Turbulence). Dans une telle circonstance, l’équation (135) prédit des valeurs de Q qui concordent avec les valeurs mesurées par des moyens plus directs à quelques parties pour cent près, même si le modèle d’écoulement n’est pas vraiment régulier du tout.
L’autre dispositif est le tube de Pitot, qui est illustré à la figure 5B. Les lignes d’écoulement du fluide se divisent en s’approchant de l’extrémité émoussée de ce tube, et au point marqué Q sur le schéma, il y a une stagnation complète, puisque le fluide en ce point ne se déplace ni vers le haut, ni vers le bas, ni vers la droite. Il découle immédiatement de la loi de Bernoulli que
Comme pour le tube venturi, on devrait donc pouvoir trouver vP à partir de la différence de niveau h.
Un autre résultat simple mérite d’être mentionné ici. Il concerne un jet de fluide sortant par un trou dans la paroi d’un récipient rempli de liquide sous pression. L’observation des jets montre qu’après leur émergence, ils se rétrécissent légèrement avant de se stabiliser à une section transversale plus ou moins uniforme connue sous le nom de vena contracta. Ce rétrécissement est dû au fait que les lignes de courant convergent vers le trou à l’intérieur du récipient et sont obligées de continuer à converger pendant un court moment à l’extérieur. C’est Torricelli qui a été le premier à suggérer que, si l’excès de pression à l’intérieur du vaisseau est généré par une hauteur de liquide h, alors la vitesse v à la vena contracta est la vitesse qu’une particule libre atteindrait en tombant d’une hauteur h-i, que
Ce résultat est une conséquence immédiate, pour un fluide inviscide, du principe de conservation de l’énergie que consacre la loi de Bernoulli.
Dans la section suivante, la loi de Bernoulli est utilisée d’une manière indirecte pour établir une formule de la vitesse à laquelle les perturbations se déplacent à la surface des eaux peu profondes. L’explication de plusieurs phénomènes intéressants ayant trait aux vagues d’eau est enfouie dans cette formule. Des phénomènes analogues concernant les ondes sonores dans les gaz sont abordés plus loin dans le chapitre « Écoulement compressible dans les gaz », où une autre forme de la loi de Bernoulli est présentée. Cette forme de la loi est limitée aux gaz en écoulement constant mais n’est pas limitée aux vitesses d’écoulement qui sont bien inférieures à la vitesse du son. La complication que représente la viscosité est à nouveau ignorée tout au long de ces deux sections.