Homotopie, en mathématiques, une façon de classer les régions géométriques en étudiant les différents types de chemins qui peuvent être tracés dans la région. Deux chemins ayant des points d’extrémité communs sont dits homotopiques si l’un peut être déformé de façon continue en l’autre en laissant les points d’extrémité fixes et en restant dans sa région définie. Dans la partie A de la figure, la région ombrée est percée d’un trou ; f et g sont des chemins homotopiques, mais g′ n’est pas homotopique à f ou à g puisque g′ ne peut pas être déformé en f ou en g sans passer par le trou et quitter la région.
Plus formellement, l’homotopie consiste à définir un chemin en faisant correspondre des points de l’intervalle de 0 à 1 à des points de la région de façon continue – c’est-à-dire de façon à ce que les points voisins de l’intervalle correspondent à des points voisins du chemin. Une carte d’homotopie h(x, t) est une carte continue qui associe à deux chemins appropriés, f(x) et g(x), une fonction de deux variables x et t qui est égale à f(x) lorsque t = 0 et égale à g(x) lorsque t = 1. Cette carte correspond à l’idée intuitive d’une déformation progressive sans sortie de la région lorsque t passe de 0 à 1. Par exemple, h(x, t) = (1 – t)f(x) + tg(x) est une fonction homotopique pour les chemins f et g dans la partie A de la figure ; les points f(x) et g(x) sont joints par un segment de droite, et pour chaque valeur fixe de t, h(x, t) définit un chemin joignant les deux mêmes points d’extrémité.
Les chemins homotopiques commençant et finissant en un seul point sont particulièrement intéressants (voir la partie B de la figure). La classe de tous ces chemins homotopiques les uns aux autres dans une région géométrique donnée est appelée classe d’homotopie. On peut donner à l’ensemble de toutes ces classes une structure algébrique appelée groupe, le groupe fondamental de la région, dont la structure varie selon le type de région. Dans une région sans trous, tous les chemins fermés sont homotopiques et le groupe fondamental est constitué d’un seul élément. Dans une région avec un seul trou, tous les chemins sont homotopiques et s’enroulent autour du trou le même nombre de fois. Dans la figure, les chemins a et b sont homotopiques, de même que les chemins c et d, mais le chemin e n’est homotopique à aucun des autres chemins.
On définit de la même manière les chemins homotopiques et le groupe fondamental des régions en trois dimensions ou plus, ainsi que sur des collecteurs généraux. En dimensions supérieures, on peut aussi définir des groupes d’homotopie de dimension supérieure.