La compulsion des mathématiciens à rendre les choses de plus en plus complexes est à la fois une bénédiction et une malédiction. Leur envie de prendre une idée et de l’étirer aussi loin que possible peut donner de nouvelles perspectives fascinantes. L’inconvénient, c’est qu’à mesure que les mathématiques deviennent plus abstraites et gagnent en puissance pour décrire d’énormes pans de connaissances conceptuelles, elles deviennent de plus en plus difficiles à décrire avec des mots.

C’est donc la tête lourde que je tourne l’attention de cette série sur les problèmes du prix du millénaire vers la conjecture de Hodge. C’est une intersection étonnante de divers domaines des mathématiques, mais une douleur dans le torus à résumer. Alors comme c’est la journée mondiale des mathématiques, je vais commencer par une promesse : dès que les choses deviendront trop complexes, j’arrêterai pendant que je suis en avance.

Les humains étudient les mathématiques des formes depuis bien avant qu’un triangle n’attire l’œil de Pythagore vers 500 avant JC. Au fil des générations, des formes de plus en plus compliquées ont été étudiées jusqu’à ce que, environ deux mille ans plus tard, il semble qu’elles s’essoufflent. Les mathématiciens avaient fait tout ce qu’ils pouvaient imaginer avec les formes et, ce faisant, ils avaient jeté les bases de tout, de l’ingénierie à la peinture en perspective. Puis, en 1637, un jeune mathématicien-philosophe brillant s’est rendu compte qu’en l’abstrayant un peu plus, la géométrie était en fait la même chose que l’algèbre.

Utilisant le système de coordonnées cartésiennes qui porte désormais son nom, Descartes a beaucoup réfléchi à la façon dont une ligne géométrique n’était qu’un ensemble de nombres. Les équations peuvent également produire un ensemble de nombres comme leurs solutions. Si ces deux ensembles de nombres étaient exactement les mêmes, alors une ligne tracée sur une feuille de papier pourrait être considérée comme la même chose que la solution d’une équation.

Ce fut un moment décisif dans les mathématiques qui permit d’appliquer à la géométrie tous les outils développés en algèbre. C’est pourquoi votre professeur de mathématiques à l’école était si enthousiaste à l’idée de convertir les graphiques linéaires en équations : toute ligne aléatoire peut être considérée comme l’ensemble des solutions d’une équation comme y = mx + c. Tout cercle est l’ensemble des solutions de (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Maintenant, si vous voulez voir où une certaine ligne croise un certain cercle, vous pouvez soit dessiner les formes géométriques, soit comparer les équations algébriques. Les deux méthodes donneront la même réponse.

Les mathématiciens ne se sont pas contentés de lignes et ils ont rapidement découvert que des équations plus compliquées, ou même des ensembles d’équations fonctionnant toutes ensemble, pouvaient produire des formes étonnantes dans toutes sortes de dimensions. Certaines pouvaient encore être visualisées comme des formes – telles que les équations dont l’ensemble des solutions dessine la surface d’un anneau, connu sous le nom de tore – mais beaucoup d’entre elles étaient au-delà de ce que nous pouvons imaginer et seulement accessibles par l’algèbre et une imagination très étirée.

Comme les mathématiciens avaient maintenant affaire à des objets au-delà de ce que nous pouvons visualiser, ces « formes » sont devenues connues en général comme des « cycles algébriques ». Si un cycle algébrique était une belle forme lisse et généralement bien conduite, il gagnait aussi le titre de « collecteur ».

Deux choses se sont alors produites en même temps. Premièrement : un groupe de mathématiciens connus sous le nom de topologues a commencé à regarder ce qui se passe si vous dessinez des formes sur un collecteur. Vous pourriez imaginer que vous avez un beignet circulaire et que vous dessinez un triangle tout autour du sommet (voir l’image ci-dessus). Ou peut-être un pentagone.

En fait, avez-vous besoin des deux ? Si la forme pouvait glisser et s’étirer, alors le triangle pourrait être déformé en pentagone. Les topologues ont regroupé toutes les formes qui pouvaient être déformées de l’une à l’autre (sans être soulevées de la surface du collecteur) dans une « classe d’homologie » – une sorte de forme généralisée. Toutes les formes qui passent par le « trou » du beignet formeraient une classe d’homologie différente.

Deuxièmement, un groupe de mathématiciens qui s’appelaient algébristes a commencé à prendre des ensembles d’équations qui produisaient déjà de jolis collecteurs bien rangés et à ajouter d’autres équations. Ces équations supplémentaires produisaient de nouveaux cycles algébriques au sein de ces collecteurs.

Il n’a pas fallu longtemps pour que les gens réalisent que les topologues dessinant des classes d’homologie sur des collecteurs et les algébristes intégrant des cycles algébriques dans des collecteurs était en fait la même chose. C’était une répétition du moment où les formes géométriques ont rencontré pour la première fois les équations algébriques. La difficulté était que personne ne savait avec certitude quand une classe d’homologie sur un collecteur contenait au moins une forme qui était également descriptible comme un cycle algébrique.

Pour résumer, un collecteur est une forme étrange (éventuellement de haute dimension) qui peut être décrite par un ensemble d’équations. L’ajout d’équations supplémentaires vous donnerait des formes plus petites, connues sous le nom de cycles algébriques, au sein de ce collecteur.

Le problème est le suivant : si vous dessinez n’importe quelle forme aléatoire – éventuellement méchante – sur un collecteur, comment sauriez-vous si elle peut être étirée en une forme différente qui peut être décrite comme un beau cycle algébrique ?

Le mathématicien écossais William Hodge avait une grande idée sur la façon dont vous pouviez dire quelles classes d’homologie sur un collecteur donné étaient équivalentes à un cycle algébrique. Seulement, il ne pouvait pas le prouver. Si vous pouvez prouver que sa méthode fonctionne toujours, alors le prix d’un million de dollars est à vous.

Mon problème est que jusqu’à présent, j’ai parlé en termes de belles coordonnées numériques ordinaires et de dimensions spatiales normales. La conjecture de Hodge utilise en fait ce que l’on appelle des coordonnées en nombre complexe et des dimensions spatiales complexes. Donc, même si j’adorerais vous décrire toute la conjecture, c’est exactement le point où j’ai promis de m’arrêter.

Matt Parker est basé au département de mathématiques de Queen Mary, Université de Londres, et peut être trouvé en ligne à standupmaths.com
Pour en savoir plus sur la conjecture de Hodge, cette vidéo d’une conférence de Dan Freed de l’Université du Texas à Austin est fortement recommandée

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