Ce texte présente une introduction de niveau supérieur à la géométrie différentielle pour les étudiants en mathématiques et en physique. L’exposition suit le développement historique des concepts de connexion et de courbure dans le but d’expliquer la théorie de Chern-Weil des classes caractéristiques sur un faisceau principal. En cours de route, nous rencontrons certains des points culminants de l’histoire de la géométrie différentielle, par exemple, le théorème de l’égrégore de Gauss et le théorème de Gauss-Bonnet. Tout au long du livre, des exercices permettent de tester la compréhension du lecteur et illustrent parfois des extensions de la théorie. Au départ, les prérequis pour le lecteur incluent une familiarité passagère avec les manifolds. Après le premier chapitre, il devient nécessaire de comprendre et de manipuler les formes différentielles. Une connaissance de la cohomologie de de Rham est requise pour le dernier tiers du texte.
Le matériel prérequis est contenu dans le texte de l’auteur Une introduction aux manifolds, et peut être appris en un semestre. Pour le bénéfice du lecteur et pour établir des notations communes, l’annexe A rappelle les bases de la théorie des manifolds. En outre, dans une tentative de rendre l’exposition plus autonome, des sections sur les constructions algébriques telles que le produit tensoriel et la puissance extérieure sont incluses.
La géométrie différentielle, comme son nom l’indique, est l’étude de la géométrie en utilisant le calcul différentiel. Elle remonte à Newton et Leibniz au XVIIe siècle, mais ce n’est qu’au XIXe siècle, avec les travaux de Gauss sur les surfaces et de Riemann sur le tenseur de courbure, que la géométrie différentielle s’épanouit et que ses bases modernes sont posées. Au cours des cent dernières années, la géométrie différentielle s’est avérée indispensable à la compréhension du monde physique, dans la théorie générale de la relativité d’Einstein, dans la théorie de la gravitation, dans la théorie de la jauge, et maintenant dans la théorie des cordes. La géométrie différentielle est également utile en topologie, en plusieurs variables complexes, en géométrie algébrique, dans les variétés complexes et les systèmes dynamiques, entre autres domaines. Le domaine a même trouvé des applications à la théorie des groupes comme dans les travaux de Gromov et à la théorie des probabilités comme dans les travaux de Diaconis. Il n’est pas exagéré d’affirmer que la géométrie différentielle devrait faire partie de l’arsenal de tout mathématicien.