Fonction harmonique, fonction mathématique de deux variables ayant la propriété que sa valeur en tout point est égale à la moyenne de ses valeurs le long d’un cercle quelconque autour de ce point, à condition que la fonction soit définie dans le cercle. Un nombre infini de points sont impliqués dans cette moyenne, de sorte qu’elle doit être trouvée au moyen d’une intégrale, qui représente une somme infinie. Dans des situations physiques, les fonctions harmoniques décrivent les conditions d’équilibre telles que la température ou la distribution des charges électriques sur une région dans laquelle la valeur en chaque point reste constante.

Les fonctions harmoniques peuvent aussi être définies comme des fonctions qui satisfont l’équation de Laplace, condition dont on peut montrer qu’elle est équivalente à la première définition. La surface définie par une fonction harmonique a une convexité nulle, et ces fonctions ont donc la propriété importante de n’avoir aucune valeur maximale ou minimale à l’intérieur de la région dans laquelle elles sont définies. Les fonctions harmoniques sont également analytiques, ce qui signifie qu’elles possèdent toutes les dérivées (sont parfaitement « lisses ») et peuvent être représentées comme des polynômes avec un nombre infini de termes, appelés séries de puissance.

Les fonctions harmoniques sphériques apparaissent lorsque le système de coordonnées sphériques est utilisé. (Dans ce système, un point dans l’espace est localisé par trois coordonnées, l’une représentant la distance à l’origine et deux autres représentant les angles d’élévation et d’azimut, comme en astronomie). Les fonctions harmoniques sphériques sont couramment utilisées pour décrire les champs tridimensionnels, tels que les champs gravitationnels, magnétiques et électriques, ainsi que ceux résultant de certains types de mouvements de fluides.