Kaksi topologista avaruutta (X, TX) ja (Y, TY) ovat homeomorfisia, jos on olemassa bijektio f : X → Y, joka on jatkuva ja jonka käänteisfunktio f-1 on niin ikään jatkuva annettujen topologioiden suhteen; tällaista funktiota f kutsutaan homeomorfismiksi. Topologisten avaruuksien välinen relaatio ”on homeomorfinen” on topologian perustavin relaatio, koska kaksi topologista avaruutta, jotka ovat homeomorfisia, ovat topologisesta näkökulmasta erottamattomia – ne ovat topologisesti ekvivalentteja. Vaihtoehtoinen homeomorfismin määritelmä on, että bijektio f : X → Y on homeomorfismi, jos ja vain jos sekä f että f-1 kuvaavat avoimia joukkoja avoimiin joukkoihin. Jos siis (X, TX) ja (Y, TY) ovat homeomorfisia, niin X:n ja Y:n alkiot eivät ole yksikäsitteisessä vastaavuudessa, vaan myös niiden avoimet joukot ovat. Voidaan siis katsoa, että (Y, TY) on puhtaasti topologisilta ominaisuuksiltaan olennaisesti sama avaruus kuin (X, TX): (X, TX) ja (Y, TY) ovat vain kaksi eri tapaa esittää sama avaruus.
On siis hyödyllistä pystyä määrittämään, ovatko kaksi tiettyä topologista avaruutta homeomorfisia. Jos löydämme niiden väliltä tietyn homeomorfismin, kysymys on tietysti vastattu; mutta jos emme löydä homeomorfismia, emme voi päätellä, että sellaista ei ole. Tietyn homeomorfismin etsiminen ei siis välttämättä ole paras lähestymistapa. Haluamme kriteerit, joiden avulla voimme sanoa, ovatko kaksi tiettyä pintaa homeomorfisia ilman, että meidän tarvitsee yrittää konstruoida niiden välille tiettyä homeomorfismia.
Yhtäläinen tilanne, joka saattaa auttaa selventämään, mistä on kyse, on seuraava. Metristen avaruuksien välistä karttaa, joka säilyttää etäisyydet, kutsutaan isometriaksi, ja kaksi metrisen avaruuden osajoukkoa, jotka liittyvät toisiinsa isometrian avulla, ovat olennaisesti samoja, sikäli kuin niiden metriset ominaisuudet ovat kyseessä. Tarkastellaan esimerkiksi ellipsikokoelmaa 
2, jonka metriikka on euklidinen. Kaksi ellipsiä on isometrisiä, jos ja vain jos niiden pääakselien pituudet ovat samat ja niiden sivuakselien pituudet ovat samat (ks. kuva 1). Näiden kahden kriteerin avulla voidaan määrittää, ovatko kaksi tiettyä ellipsiä isometrisiä, ilman että niiden välille tarvitsee rakentaa erityistä isometriaa: verrataan yksinkertaisesti niiden akselien pituuksia. Sanomme, että pää- ja sivuakselien pituudet luokittelevat ellipsit 2:een isometriaan asti.
Huomaa, että lauseessa ”luokittelevat ellipsit 2:een isometriaan asti” olemme täsmentäneet tarkasteltavien kuvioiden luokan (ellipsit 2:een): kriteerimme pätevät vain näihin tiettyihin kuvioihin tasossa, emmekä esitä mitään väitettä siitä, että muutkin kuviot voidaan luokitella isometriaan asti samalla tavalla. Huomaa myös, että on tärkeää sisällyttää määritelmä ”isometriaan asti”, sillä kaikki ellipsit ovat homeomorfisia.
Tällä kurssilla päätehtävämme on määritellä tietty pintojen luokka, jota kutsutaan kompaktipinnoiksi, ja sen jälkeen määritellä kriteerit, joiden avulla voimme määritellä, ovatko kaksi tiettyä kompaktipintaa homeomorfisia. Nämä pinnat voidaan luokitella vain kolmella kriteerillä, kuten näytämme. Aivan kuten voimme luokitella ellipsit 2:ssa isometriaan asti määrittelemällä vain kaksi lukua (pää- ja sivuakselin pituudet), voimme luokitella kaikki kompaktit pinnat homeomorfismiin asti määrittelemällä vain kolme lukua. Asianmukainen lause – luokitteluteoreema – esitetään myöhemmin tällä kurssilla. Ennen kuin lausumme luokittelulauseen, annamme esimerkkejä pinnoista, näytämme, miten niitä voidaan käsitellä, määritellä ja esittää, ja tarkastelemme joitakin niiden tärkeitä ominaisuuksia.
Henki, jossa tarkastelemme pintoja tällä kurssilla, syntyy tavasta, jolla pintojen teoria liittyy muuhun topologiaan, ja tämä puolestaan heijastuu näiden oppiaineiden historiaan. Pintoja tutkiessamme voimme edetä pitkälle intuitiivisilla käsitteillä, ja aihetta opiskellaan usein sillä tavalla. Nykyään voimme vedota näihin intuitioihin varmoina siitä, että intuitiivisesti miellyttävät teoreemat voidaan todistaa tiukasti. Kirjallisuudessa esiintyvät tarkat määritelmät ja tiukat todistukset sisältävät usein hienovaraisia ja vaikeita väitteitä, jotka eivät muuten sovi geometriseen topologiaan ja jotka saattavat lisätä vain vähän ymmärrystämme taustalla olevista käsitteistä.
Esimerkki on niin sanottu Jordanin käyräteoreema, joka väittää, että mikä tahansa tasossa oleva käyrä, joka on homeomorfinen ympyrälle, jakaa tason kahteen alueeseen, joista toinen on rajattu (käyrän ”sisäpuoli”) ja toinen rajoittamaton (ulkopuoli); kuvassa 2 on esitetty tällainen käyrä C tasossa, jonka sisäpuoli on varjostettu. Vaikka Jordanin käyräteoremin väite on täysin uskottava – ja se onkin perustavanlaatuinen monille matematiikan osa-alueille – teoreemaa on vaikea todistaa. Itse asiassa on todennäköistä, että harva matemaatikko on koskaan nähnyt todistusta, koska tällaiset todistukset vain vahvistavat sen, mitä me jo uskomme. Todistus on tietysti hyvä olla olemassa, mutta emme pidä välttämättömänä kaikkien tämän kurssin tulosten todistamista. Jordanin käyräteoremin todistuksen tarkastelu ei paljasta mitään erityisen intuitionvastaisia komplikaatioita, joten jätämme todistuksen pois.
Tällä kurssilla ilmoitamme, milloin käsitteet on ymmärrettävä intuitiivisella tasolla ja milloin tarvitaan tarkempia määritelmiä, teoreemoja ja todistuksia. Mahdollisuuksien mukaan annamme tiukkoja määritelmiä ja todistuksia.