Biografia

Pafnuutti Tšebyševin vanhemmat olivat Agrafena Ivanova Pozniakova ja Lev Pavlovitš Tšebyšev. Pafnuty syntyi Okatovossa, pikkukaupungissa Länsi-Venäjällä, Moskovan lounaispuolella. Hänen syntymänsä aikaan hänen isänsä oli jäänyt eläkkeelle armeijasta, mutta Lev Pavlovitš oli aiemmin sotilasurallaan taistellut upseerina Napoleonin hyökkääviä armeijoita vastaan. Pafnuty Lvovitš syntyi pienellä sukutilalla yläluokkaiseen perheeseen, jolla oli vaikuttava historia. Lev Pavlovitšilla ja Agrafena Ivanovalla oli yhdeksän lasta, joista osa seurasi isänsä sotilasperinnettä.
Kertokaamme hieman elämästä Venäjällä Pafnuutti Lvovitšin varttumisen aikaan. Maassa vallitsi suuri kansallinen ylpeys sen jälkeen, kun Venäjä oli kukistanut Napoleonin, ja Venäjän voitto johti siihen, että muut Euroopan maat suhtautuivat Venäjään pelon ja kunnioituksen sekoituksella. Toisaalta maassa oli niitä, jotka pitivät Venäjää muita maita ylempänä ja väittivät, että sen pitäisi eristäytyä niistä. Toisaalta armeijassa palvelleet koulutetut nuoret venäläiset olivat nähneet Eurooppaa, oppineet lukemaan ja puhumaan ranskaa ja saksaa, tunsivat jotakin eurooppalaisesta kulttuurista, kirjallisuudesta ja tieteestä, ja he kannattivat maan länsimaalaistamista.
Pafnuutti Lvovitš sai varhaiskasvatuksensa kotona, jossa hänen opettajinaan olivat hänen äitinsä ja hänen serkkunsa Avdotia Kvintillianova Souhareva. Äidiltä hän oppi lukemisen ja kirjoittamisen perustaidot, kun taas serkku toimi pojan kotiopettajana ja opetti hänelle ranskaa ja laskutaitoa. Myöhemmin elämässään Pafnutti Lvovitš hyötyi suuresti sujuvasta ranskan kielen taidostaan, sillä se teki Ranskasta luontevan matkakohteen, ranskasta luontevan kielen, jolla matematiikasta voitiin viestiä kansainvälisellä tasolla, ja tarjosi yhteyden Euroopan johtaviin matemaatikoihin. Kaikki ei kuitenkaan ollut helppoa nuorelle pojalle, sillä hänen toinen jalkansa oli toista pidempi ja hän ontui, mikä esti häntä osallistumasta moniin tavanomaisiin lapsuuden aktiviteetteihin.
Vuonna 1832, kun Pafnuutti Lvovitš oli yksitoistavuotias, perhe muutti Moskovaan. Siellä hän jatkoi kotiopetusta, mutta nyt häntä opetti matematiikassa P N Pogorelski, jota pidettiin Moskovan parhaana matematiikan alkeisopettajana. Pogorelski oli Venäjän suosituimpien matematiikan alkeistekstien kirjoittaja, ja hän varmasti inspiroi oppilastaan ja antoi hänelle vankan matemaattisen koulutuksen. Tšebyšev oli siis hyvin valmistautunut matemaattisten tieteiden opiskeluun, kun hän astui Moskovan yliopistoon vuonna 1837.

Venäläinen yliopistojärjestelmä, johon Tšebyšev astui, oli kokenut huomattavia muutoksia. Moskovan yliopisto, johon hän astui, oli perustettu vuonna 1755 ja sen esikuvana olivat olleet saksalaiset yliopistot. Venäjän voitettua Napoleonin oli maassa kuitenkin alkanut edellä mainittu länsimaistumisliike. Venäjän keisari Aleksanteri I näki, että yliopistot olivat hänen mielestään Länsi-Euroopasta tulevien vaarallisten oppien kasvualustoja, ja yliopistoja painostettiin 1820-luvulla erottamaan henkilökunta, joka opetti tällaisia oppeja. Vuonna 1825 Venäjän keisariksi tulleen Nikolai I:n alaisuudessa nimitettiin vuonna 1833 uusi opetusministeri, joka edisti vapaampaa älyllistä ilmapiiriä yliopistoissa, mutta toisaalta alempien luokkien lapset suljettiin pois.
Moskovan yliopistossa Tšebyševiin eniten vaikuttanut henkilö oli Nikolai Dmetrijevitš Brashman, joka oli toiminut yliopiston soveltavan matematiikan professorina vuodesta 1834. Brashman oli erityisen kiinnostunut mekaniikasta, mutta hänen kiinnostuksen kohteensa oli laaja-alainen, ja konetekniikan ja hydrauliikan kurssien lisäksi hän opetti opiskelijoilleen algebrallisten funktioiden integrointiteoriaa ja todennäköisyyslaskentaa. Tšebyšev tunnusti aina, että Brashmanilla oli ollut suuri vaikutus häneen yliopisto-opintojensa aikana, ja mainitsi hänet tärkeimmäksi vaikuttajaksi tutkimusintressiensä suuntaamisessa viitaten heidän ”arvokkaisiin henkilökohtaisiin keskusteluihinsa”.
Fysiikan ja matematiikan laitos, jossa Tšebyšev opiskeli, julisti palkintokilpailun vuodelle 1840-41. Tšebyšev jätti työn aiheesta Yhtälöiden juurien laskeminen, jossa hän ratkaisi yhtälön y=f(x)y = f (x)y=f(x) käyttämällä sarjalaajennusta fff:n käänteisfunktiolle. Tutkielmaa ei tuolloin julkaistu (vaikka se julkaistiinkin 1950-luvulla), ja se sai kilpailussa vain toisen palkinnon eikä kultamitalia, jonka se lähes varmasti olisi ansainnut. Tšebyšev suoritti ensimmäisen tutkintonsa vuonna 1841 ja jatkoi opintojaan maisterin tutkintoa varten Brashmanin valvonnassa.
Kerran, paljon myöhemmin uransa aikana, Tšebyšev vastusti sitä, että häntä kuvailtiin ”loistavaksi venäläiseksi matemaatikoksi”, ja sanoi, että hän oli varmasti pikemminkin ”maailmanlaajuinen matemaatikko” kuin venäläinen matemaatikko. On hyvin selvää, että Tšebyšev pyrki kansainväliseen tunnustukseen heti siitä lähtien, kun hän aloitti opinnot maisterin tutkintoa varten. Hänen ensimmäinen ranskankielinen tutkielmansa käsitteli moninkertaisia integraaleja. Hän toimitti artikkelin Liouvillelle vuoden 1842 lopulla, ja se ilmestyi Liouvillen lehdessä vuonna 1843. Se sisältää kaavan, joka ilmoitetaan ilman todistusta, ja seuraava artikkeli lehden niteen 8 ensimmäisessä osassa sisältää todistuksen Catalanin esittämästä kaavasta. Kirjoittajat viittaavat siihen, että Tšebyšev saattoi vierailla Pariisissa vuonna 1842 venäläisen maantieteilijän Tšithatševin seurassa, joka varmasti tapasi Catalanin (joka avusti Liouvillea lehden laatimisessa) saman vuoden joulukuussa. Ratkaisevia todisteita ei ole, mutta on erittäin todennäköistä, että jos Tšebyšev ei henkilökohtaisesti käynyt Pariisissa vuonna 1842, hän lähetti kirjoituksensa Liouvillelle Tšitšatševin välityksellä.

Tšebyšev jatkoi kansainvälisen tunnustuksen tavoittelua toisella kirjoituksellaan, joka oli jälleen kirjoitettu ranskaksi ja joka ilmestyi vuonna 1844 Crellen julkaisemassa lehdessä. Tämä artikkeli käsitteli Taylorin sarjojen konvergenssia. Kesällä 1846 Tšebyšev tenttasi maisterin tutkielmastaan ja julkaisi samana vuonna tutkielmaan perustuvan artikkelin, jälleen Crellen lehdessä. Väitöskirja käsitteli todennäköisyysteoriaa, ja siinä hän kehitti teorian päätuloksia tiukasti mutta alkeellisesti. Erityisesti väitöskirjan pohjalta julkaistussa artikkelissa hän tarkasteli Poissonin heikkoa suurten lukujen lakia.
Vuoden 1843 aikana Tšebyšev laati ensimmäisen luonnoksen väitöskirjaksi, jonka hän aikoi esittää saadakseen luento-oikeuden, kunhan löytäisi sopivan työpaikan. Ajat olivat kovat, eikä Moskovassa ollut Tšebyševille sopivia virkoja tarjolla, mutta vuonna 1847 hänet nimitettiin Pietarin yliopistoon, jossa hän esitti tutkielmansa Integroinnista logaritmien avulla. Siinä hän yleisti Ostrogradskin menetelmiä osoittaakseen, että Abelin vuonna 1826 esittämä arvelu f(x)/√R(x)f(x)/√R(x)f(x)/√R(x):n integraalista, jossa f(x)f(x)f(x)f(x) ja R(x)R(x)R(x) ovat polynomeja, piti paikkansa. Kertomuksessa, jonka hän kirjoitti Pariisin-vierailustaan vuonna 1852, Tšebyšev kuvasi, miten häntä pyydettiin kehittämään ajatuksia edelleen (ks. esim. ):-

Liouville ja Hermite ehdottivat ajatusta kehittää ajatuksia, joihin tutkielmani oli perustunut. … tutkielmassa tarkastelin tapausta, jossa integraalin alainen differentiaali sisältää rationaalifunktion neliöjuuren. Mutta oli monessa suhteessa mielenkiintoista laajentaa nämä periaatteet koskemaan minkä tahansa asteen juurta.”

Vaikka Tšebyševin väitöskirja julkaistiin vasta hänen kuolemansa jälkeen, hän julkaisi vuonna 1853 artikkelin, joka sisälsi joitakin sen tuloksia.
Pietariin saapumisen ja tämän vuoden 1853 julkaisun välisenä aikana Tšebyšev julkaisi joitain tunnetuimpia tuloksiaan numeroteoriasta. Hän kirjoitti tärkeän teoksen Teoria sravneny kongruenssiteoriasta, jonka hän jätti väitöskirjaksi ja puolusti sitä 27. toukokuuta 1849. Tämä teos sai myös Tiedeakatemian palkinnon. Hän teki yhteistyötä Bunjakovskin kanssa Eulerin 99 lukuteoreettisen tutkielman kokonaispainoksen laatimiseksi, jonka he julkaisivat kahtena niteenä vuonna 1849. Tšebyševin alkulukuja käsitteleviin töihin kuului vuonna 1848 julkaistu määritelmä niiden alkulukujen lukumäärästä, jotka eivät ylitä tiettyä lukua, sekä todistus Bertrandin arvelusta.
Bertrand arveli vuonna 1845, että on aina vähintään yksi alkuluku nnn:n ja 2n2n2n:n välillä, kun n>3n > 3n>3. Tšebyšev todisti Bertrandin arvelun vuonna 1850. Tšebyšev oli myös lähellä todistaa alkulukuteoremin, todistaen, että jos

(jossa π(n)\pi (n)π(n) on alkulukujen lukumäärä ≤ nnn) oli raja-arvo, kun n→∞n \to \inftyn→∞, niin tämä raja-arvo on 1. Hän ei kuitenkaan pystynyt todistamaan, että

on olemassa. Hadamard ja (itsenäisesti) de la Vallée Poussin saivat tämän tuloksen todistuksen valmiiksi vasta kaksi vuotta Tšebyševin kuoleman jälkeen.
Tšebyšev ylennettiin ylimääräiseksi professoriksi Pietariin vuonna 1850. Kaksi vuotta myöhemmin, heinäkuun ja marraskuun 1852 välisenä aikana, hän vieraili Ranskassa, Lontoossa ja Saksassa. Mainitsimme edellä hänen kertomuksensa tuosta matkasta, jonka aikana hänellä oli tilaisuus tutkia käytännössä erilaisia höyrykoneita ja niiden mekaniikkaa. Hänen kertomuksessaan käsitellään hänen sovellettua mekaniikkaa koskevia tutkimuksiaan sekä hänen keskustelujaan ranskalaisten matemaatikkojen, kuten Liouvillen, Bienaymén, Hermiten, Serretin ja Poncelet’n, sekä englantilaisten matemaatikkojen, kuten Cayleyn ja Sylvesterin, kanssa. Berliinissä hän tapasi Dirichlet’n:-

Minulle oli erittäin mielenkiintoista tutustua kuuluisaan geometriin Lejeune-Dirichlet’hen. … löysin joka päivä tilaisuuden keskustella tämän geometrin kanssa puhtaasta ja sovelletusta analyysistä sekä muista kysymyksistä. … erityisen mielihyvin erään hänen teoreettista mekaniikkaa käsittelevän luentonsa.

Itse asiassa Tšebyševin kiinnostus sekä mekaniikkateoriaa että approksimaatioteoriaa kohtaan juontaa juurensa vuoden 1852 matkalta. Tikhomirov tutki Tsebyshevin approksimaatioteoriaa koskevia töitä ja kirjoittaa:-

Chebyshev … loi perustan venäläiselle approksimaatioteorian koulukunnalle: osoitamme Tsebyshevin approksimaatioteorian ideoiden yhteyden sovellettuihin ongelmiin (mekanismien teoria ja laskennallinen matematiikka).

Matkan välittömänä seurauksena syntyneisiin artikkeleihin kuului muun muassa vuonna 1854 ilmestynyt teos Théorie des mécanismes connus niins sous le nom de parallélogrammes. Tässä teoksessa hänen kuuluisat Tšebyševin polynomit ilmestyivät ensimmäisen kerran, mutta myöhemmin hän kehitti yleisen teorian ortogonaalisista polynomeista. In Roy käsittelee hänen panostaan ortogonaalisiin polynomeihin ja asettaa työn historialliseen kontekstiinsa:-

Chebyshev oli luultavasti ensimmäinen matemaatikko, joka tunnisti ortogonaalisten polynomien yleisen käsitteen. Muutamia erityisiä ortogonaalisia polynomeja tunnettiin jo ennen hänen työtään. Legendre ja Laplace olivat törmänneet Legendren polynomeihin taivaanmekaniikkaa käsittelevässä työssään 1700-luvun lopulla. Laplace oli löytänyt ja tutkinut Hermiten polynomeja 1800-luvun alkupuolella todennäköisyysteorian alalla tekemiensä löytöjen yhteydessä. Myöhemmin mainitaan muita yksittäisiä tapauksia, joissa ortogonaaliset polynomit esiintyvät eri matemaatikkojen töissä. Tšebyšev oli se, joka näki yleisen teorian ja sen sovellusten mahdollisuuden. Hänen työnsä sai alkunsa pienimmän neliösumman approksimaation ja todennäköisyyden teoriasta; hän sovelsi tuloksiaan interpolointiin, likimääräiseen kvadratuuraan ja muihin aloihin. Hän löysi Jacobin polynomien diskreetin analogian, mutta niiden merkitys tunnustettiin vasta tällä vuosisadalla. Hahn löysi ne uudelleen ja nimesi ne hänen mukaansa, kun ne löydettiin uudelleen. Geronimus on huomauttanut, että ensimmäisessä ortogonaalisia polynomeja käsittelevässä artikkelissaan Tšebyševillä oli jo Christoffel-Darboux’n kaava.

Tšebyševin vuonna 1852 tekemä matka oli yksi monista. Mainitsemiemme matemaatikkojen lisäksi, jotka hän tapasi tuolla matkalla, hänellä oli yhteyksiä myös muihin eurooppalaisiin matemaatikoihin, kuten Lucasiin, Borchardtiin, Kroneckeriin ja Weierstrassiin (ks. esim ). Tšebyšev matkusti lähes joka kesä Länsi-Euroopassa, mutta silloin kun hän ei matkustanut, hän vietti kesän Catherinenthalissa lähellä Revalia (nykyisin Viron Tallinna). Meillä ei ole täydellisiä tietoja hänen lukuisista Länsi-Euroopan vierailuistaan, mutta tiedämme, että hän puhui vuosina 1873-1882 Ranskan tieteen edistämisyhdistyksen istunnoissa ja esitti kuusitoista raporttia; hän osallistui kokouksiin Lyonissa vuonna 1873, Clermont-Ferrandissa vuonna 1876, Pariisissa vuonna 1878 ja La Rochellessa vuonna 1882. Vuoden 1852 Ranskan-matkan ja edellä mainittujen vuosien 1873 ja 1882 välisten matkojen lisäksi meillä on tietoja hänen vierailuistaan vuosina 1856, 1864, 1884 ja 1893. Vuoden 1884 vierailu, jonka aikana hän todennäköisesti vieraili useissa eurooppalaisissa yliopistoissa, päättyi Liègen yliopistoon, jossa hän johti juhlallisuuksia Catalanin eläkkeelle jäämisen kunniaksi.
Olemme maininneet joitakin Tšebyševin panoksia todennäköisyysteoriaan. Vuonna 1867 hän julkaisi artikkelin On mean values, jossa hän käytti Bienaymén epätasa-arvoa antaakseen yleistetyn suurten lukujen lain. Hänen työnsä tuloksena epätasa-arvoa kutsutaan nykyään usein Bienaymé-Chebyshevin epätasa-arvoksi. Kaksikymmentä vuotta myöhemmin Tšebyšev julkaisi On two theorems concerning probability, joka antaa perustan todennäköisyysteorian soveltamiselle tilastollisiin tietoihin yleistämällä de Moivren ja Laplacen keskeisen raja-arvoteorian. Tästä Kolmogorov kirjoitti (ks. esim ):-

Tsebyshevin työn pääasiallinen merkitys on siinä, että hän pyrki sen kautta aina arvioimaan täsmällisesti epäyhtälöiden muodossa absoluuttisesti päteviä minkä tahansa määrän testeissä mahdollisia poikkeamia raja-arvojen säännönmukaisuuksista. Lisäksi Tšebyšev oli ensimmäinen, joka arvioi selkeästi ja käytti sellaisia käsitteitä kuin ”satunnainen suure” ja sen ”odotusarvo (keskiarvo)”.

Mainittakoon vielä muutamia muita Tšebyševin työn näkökohtia. Integraalien teoriassa hän yleisti beeta-funktion ja tutki integraaleja muodossa

Muut aiheet, joihin hän vaikutti, olivat karttojen rakentaminen, geometristen tilavuuksien laskeminen ja laskukoneiden rakentaminen 1870-luvulla. Mekaniikassa hän tutki ongelmia, jotka liittyvät pyörimisliikkeen muuntamiseen suoraviivaiseksi liikkeeksi mekaanisen kytkennän avulla. Tšebyševin rinnakkaisliike on kolme toisiinsa kytkettyä tankoa, jotka lähentelevät suoraviivaista liikettä. Hän kirjoitti monia artikkeleita mekaanisista keksinnöistään; Lucas esitteli joidenkin niistä malleja ja piirustuksia Pariisin Conservatoire National des Arts et Métiersissa. Vuonna 1893 seitsemän hänen mekaanista keksintöään oli esillä Chicagon maailmannäyttelyssä, joka järjestettiin Kristoffer Kolumbuksen Amerikan löytämisen 400-vuotispäivän kunniaksi, mukaan luettuna hänen keksintönsä naisille tarkoitetusta polkupyörästä.

Tsebyshev opetti useita kuuluisia matemaatikkoja ja antoi kuvauksia hänestä luennoitsijana. Ensimmäinen lainaus, jonka annamme, on Ljapunovilta, joka osallistui Tšebyševin luennoille 1870-luvulla. Lainaus on esitetty useissa paikoissa (ks. esim. tai ): –

Hänen kurssinsa eivät olleet laajoja, eikä hän ottanut huomioon välitettävän tiedon määrää, vaan pyrki pikemminkin selventämään joitakin tärkeimpiä näkökohtia ongelmista, joista hän puhui. Luennot olivat vilkkaita, mukaansatempaavia; uteliaita huomioita tiettyjen ongelmien ja tieteellisten menetelmien merkityksestä ja tärkeydestä oli aina runsaasti. Joskus hän esitti huomautuksen ohimennen jonkin konkreettisen tapauksen yhteydessä, jota he olivat käsitelleet, mutta osallistujat pitivät sen aina mielessään. Näin ollen hänen luentonsa olivat erittäin stimuloivia; opiskelijat saivat jokaisella luennolla jotakin uutta ja olennaista; hän opetti laajempia näkemyksiä ja epätavallisia näkökulmia.”

Toinen lainauksemme koskien Tšebyševiä opettajana on peräisin Tšebyševin luennoille 1880-luvulla osallistuneen Dmitri Graven kirjoituksista (ks. esim. ):-

Tšebyšev oli erinomainen luennoitsija. Hänen kurssinsa olivat hyvin lyhyitä. Heti kun kello soi, hän pudotti heti liidun ja poistui ontuen auditoriosta. Toisaalta hän oli aina täsmällinen eikä myöhästynyt tunneilta. Erityisen mielenkiintoisia olivat hänen harhautuksensa, kun hän kertoi meille siitä, mitä hän oli puhunut ulkomailla tai Hermiten tai muiden vastauksesta. Silloin koko auditorio jännitti, ettei sana jäänyt väliin.

Lainataanpa Tšebyševin vuonna 1856 pitämästä luennosta, jossa hän selitti, miten hän näki matematiikan puhtaan ja sovelletun puolen vuorovaikutuksen. Se on mielenkiintoinen lainaus, sillä suuri osa Tšebyševin työstä matematiikan alalla tehtiin näiden periaatteiden mukaisesti (ks. esim. tai ):-

Teorian ja käytännön näkökulmien läheisempi keskinäinen lähentyminen tuo mitä hyödyllisimpiä tuloksia, eikä yksinomaan käytännön puoli hyödy, vaan sen vaikutuksesta tieteet kehittyvät siinä mielessä, että tämä lähentyminen tuottaa uusia tutkimuskohteita tai uusia näkökohtia jo kauan sitten tutuissa aiheissa. Huolimatta siitä, että matemaattiset tieteet ovat edistyneet suuresti viimeisten kolmen vuosisadan merkittävien matemaatikkojen työn ansiosta, käytäntö paljastaa selvästi niiden epätäydellisyyden monessa suhteessa; se tuo esiin tieteen kannalta olennaisesti uusia ongelmia ja haastaa siten etsimään aivan uusia menetelmiä. Ja jos teoria hyötyy paljon, kun vanhojen menetelmien uudet sovellukset tai kehittelyt tulevat esiin, hyöty on vielä suurempi, kun uusia menetelmiä löydetään; ja tällöin tiede löytää luotettavan oppaan käytännöstä.

Tsebyshevin henkilökohtaisesta elämästä todettakoon, että hän ei koskaan mennyt naimisiin ja asui yksin suuressa talossa, jossa oli kymmenen huonetta. Hän oli rikas ja käytti vähän rahaa jokapäiväisiin mukavuuksiin, mutta hänellä oli yksi suuri rakkaus, nimittäin omaisuuden ostaminen. Siihen hän käytti suurimman osan rahoistaan, mutta hän tuki taloudellisesti tytärtä, jota hän kieltäytyi tunnustamasta virallisesti. Hän vietti aikaa tämän tyttären kanssa, erityisesti sen jälkeen, kun tämä meni naimisiin everstin kanssa. Tšebyšev tapasi tytärtä ja tämän aviomiestä usein Rudakovossa sisarensa Nadiejdan kotona.
Tšebyšev jäi eläkkeelle Pietarin yliopiston professuurista vuonna 1882; hän oli nimitetty kyseiseen virkaan 22 vuotta aiemmin. Hän oli saanut uransa aikana monia kunnianosoituksia, ja muutama uusi oli vielä tulossa hänen tielleen. Hänestä tuli Pietarin tiedeakatemian nuorempi akateemikko vuonna 1853 sovelletun matematiikan professuurilla, ylimääräinen akateemikko vuonna 1856 ja tavallinen akateemikko vuonna 1859, jälleen sovelletun matematiikan professuurilla. Hänet valittiin Institut de Francen kirjeenvaihtajajäseneksi vuonna 1860 ja instituutin ulkomaiseksi osakkaaksi vuonna 1874. Lisäksi jokainen venäläinen yliopisto valitsi hänet kunniajäseneksi, hänestä tuli Pietarin tykistöakatemian kunniajäsen ja hänelle myönnettiin Ranskan Légion d’Honneur.