Eine funktionale Gleichung ist, grob gesagt, eine Gleichung, bei der einige der zu lösenden Unbekannten Funktionen sind. Zum Beispiel sind die folgenden Gleichungen funktionale Gleichungen:

Einführungsthemen

Die Umkehrung einer Funktion

Die Umkehrung einer Funktion ist eine Funktion, die eine Funktion „rückgängig“ macht. Betrachten wir als Beispiel die Funktion: . Die Funktion hat die Eigenschaft, dass . In diesem Fall nennt man die (rechte) Umkehrfunktion. (In ähnlicher Weise wird eine Funktion , so dass die linke Umkehrfunktion genannt. Normalerweise fallen die rechte und die linke Umkehrfunktion auf einem geeigneten Gebiet zusammen, und in diesem Fall nennen wir die rechte und die linke Umkehrfunktion einfach die Umkehrfunktion). Oft wird die Inverse einer Funktion mit bezeichnet.

Zwischenthemen

Zyklische Funktionen

Eine zyklische Funktion ist eine Funktion , die die Eigenschaft hat, dass:

Ein klassisches Beispiel für eine solche Funktion ist , denn . Zyklische Funktionen können beim Lösen von funktionalen Identitäten sehr hilfreich sein. Betrachte folgende Aufgabe:

Finde so, dass . In dieser Funktionsgleichung sei und . Daraus ergeben sich zwei neue Gleichungen:

Wenn wir nun die erste Gleichung mit 3 und die zweite Gleichung mit 4 multiplizieren und die beiden Gleichungen addieren, erhalten wir:

So, klar,

Problembeispiele

• 2006 AMC 12A Problem 18
• 2007 AIME II Problem 14

Siehe auch

• Funktionen
• Polynome
• Cauchy-Funktionsgleichung