Idee

Ein Banach-Raum â¬\mathcal{B} ist sowohl ein Vektorraum (über einem normierten Feld wie â\mathbb{R}) als auch ein vollständiger metrischer Raum, und zwar auf kompatible Weise. Daher ein vollständiger normierter Vektorraum.

Eine Quelle für einfache Banachräume ergibt sich aus der Betrachtung eines kartesischen Raumes â n\mathbb{R}^n (oder K nK^n, wobei KK das normierte Feld ist) mit der Norm:

wobei 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \infty (dies macht nicht unbedingt Sinn für p=âp = \infty, aber wenn wir den Grenzwert als pââp \zu \infty nehmen und â â=limⶠnâ n\mathbb{R}^\infty = \underset{\longrightarrow}{\lim}_n \mathbb{R}^n als den direkten Grenzwert (im Gegensatz zum inversen Grenzwert) lesen, erhalten wir die Formel â(x 1,â¦,x n)â ââmax i|x i|{\|(x_1,\ldots,x_n)\|_\infty} \coloneqq \max_i {|x_i|}).

Die Theorie dieser Räume ist jedoch nicht viel komplizierter als die der endlich-dimensionalen Vektorräume, da sie alle die gleiche zugrundeliegende Topologie haben. Wenn wir jedoch unendlich-dimensionale Beispiele betrachten, werden die Dinge komplizierter. Gängige Beispiele sind Lebesgue-Räume, Hilbert-Räume und Sequenzräume.

In der Literatur sieht man am häufigsten Banach-Räume über dem Feld â\mathbb{R} der reellen Zahlen; Banach-Räume über dem Feld â\mathbb{C} der komplexen Zahlen sind nicht viel anders, da sie auch über â\mathbb{R} sind. Aber man untersucht sie auch über p-adischen Zahlen. Wenn nicht anders angegeben, nehmen wir im Folgenden â\mathbb{R} an.

Definitionen

Sei VV ein Vektorraum über dem Feld der reellen Zahlen. (Man kann die Wahl des Feldes etwas verallgemeinern.) Eine Pseudonorm (oder Seminorm) auf VV ist eine Funktion

so dass:

1. â0ââ¤0 {\|0\|} \leq 0 ;
2. ârvâ=|r|âvâ {\|r v\|} = {|r|} {\|v\|} (für rr ein Skalar und vv ein Vektor);
3. âv+wââ¤âvâ+âwâ {\|v + w\|} \leq {\|v\|} + {\|w\|} .

Aus dem Gesagten folgt, dass âvââ¥0{\|v\|} \geq 0; insbesondere ist â0â=0{\|0\|} = 0. Eine Norm ist eine Pseudonorm, die eine Umkehrung davon erfüllt: v=0v = 0, wenn âvâ=0{\|v\|} = 0.

Eine Norm auf VV ist vollständig, wenn für eine beliebige unendliche Folge (v 1,v 2,â¦) (v_1, v_2, \ldots) gilt, dass

es existiert eine (notwendigerweise eindeutige) Summe SS, so dass

wir schreiben

(wobei die rechte Seite undefiniert ist, wenn keine solche Summe existiert).

Dann ist ein Banachraum einfach ein Vektorraum, der mit einer vollständigen Norm ausgestattet ist. Wie in der reellen Linie haben wir in einem Banachraum, dass

wobei die linke Seite garantiert existiert, wenn die rechte Seite als endliche reelle Zahl existiert (aber die linke Seite kann auch existieren, wenn die rechte Seite divergiert, die übliche Unterscheidung zwischen absoluter und bedingter Konvergenz).

Wenn wir nicht darauf bestehen, dass der Raum vollständig ist, nennen wir ihn einen normierten (Vektor-)Raum. Wenn wir einen topologischen Vektorraum haben, bei dem die Topologie von einer Norm herrührt, wir aber keine tatsächliche Wahl einer solchen Norm treffen, dann sprechen wir von einem normierbaren Raum.

Banachräume als metrische Räume

Die drei Axiome für eine Pseudonorm sind den drei Axiomen für eine Pseudometrik sehr ähnlich.

In jedem pseudonormierten Vektorraum sei der Abstand d(v,w)d(v,w)

Dann ist dd eine Pseudometrik, die insofern translationsinvariant ist, als

stets gilt. Umgekehrt gilt für jede translationsinvariante Pseudometrie dd auf einem Vektorraum VV: âvâ{\|v\|} sei

Dann erfüllt âââ{\|-\|} die Axiome (1â3) für eine Pseudonorm, außer dass sie (2) nur für r=0,±1r = 0, \pm 1 erfüllen kann. (Mit anderen Worten, sie ist nur eine G-Pseudonorm.) Sie ist tatsächlich eine Pseudonorm, wenn die Pseudometrie eine Homogenitätsregel erfüllt:

Damit entsprechen Pseudonormen genau homogenen translationsinvarianten Pseudometrien.

Also entsprechen Normen homogenen translationsinvarianten Metriken und vollständige Normen entsprechen vollständigen homogenen translationsinvarianten Metriken. Tatsächlich besagt (1), dass die Folge der Partialsummen eine Cauchy-Folge ist, während (2) besagt, dass die Folge der Partialsummen gegen SS konvergiert.

Daher kann ein Banach-Raum auch als ein Vektorraum definiert werden, der mit einer vollständigen homogenen translationsinvarianten Metrik ausgestattet ist. Tatsächlich sieht man gewöhnlich eine Art hybriden Ansatz: ein Banach-Raum ist ein normierter Vektorraum, dessen entsprechende Metrik vollständig ist.

Abbildungen zwischen Banach-Räumen

Wenn VV und WW pseudonormierte Vektorräume sind, dann kann die Norm einer linearen Funktion f:VâWf\colon V \zu W auf eine der folgenden äquivalenten Weisen definiert werden:

• âfâ=sup{âfvâ|âvââ¤1} {\|f\|} = \sup \{ {\|f v\|} \;|\; {\|v\|} \leq 1 \} ;
• âfâ=inf{r|âv,âfvââ¤râvâ} {\|f\|} = \inf \{ r \;|\; \forall{v},\; {\|f v\|} \leq r {\|v\|} \}.

(Manchmal sieht man auch andere Formen, aber diese können in entarteten Fällen zusammenbrechen.)

Für endlich-dimensionale Räume hat jede lineare Abbildung eine wohldefinierte endliche Norm. Im Allgemeinen sind die folgenden äquivalent:

• ff ist stetig (gemessen an den Pseudometrien auf VV und WW) bei 00;
• ff ist stetig (überall);
• ff ist gleichmäßig stetig;
• ff ist Lipschitz-kontinuierlich;
• âfâ{\|f\|} ist endlich (und in der konstruktiven Mathematik lokalisiert);
• ff ist begrenzt (gemessen an den durch die Pseudometrien auf VV und WW gegebenen Bornologien).

In diesem Fall sagen wir, dass ff begrenzt ist. Wenn f:VâWf\colon V \to W nicht als linear angenommen wird, dann sind die obigen Bedingungen nicht mehr äquivalent.

Die beschränkten linearen Abbildungen von VV nach WW bilden selbst einen pseudonormierten Vektorraum â¬(V,W)\mathcal{B}(V,W). Dieser ist ein Banachraum, wenn (und, außer in entarteten Fällen von VV, nur wenn) WW ein Banachraum ist. Auf diese Weise ist die Kategorie BanBan der Banachräume eine geschlossene Kategorie mit â\mathbb{R} als Einheit.

Der aufmerksame Leser wird feststellen, dass wir Ban\mathbf{Ban} noch nicht als Kategorie definiert haben! (überraschenderweise im nLab) Es gibt viele (nicht-äquivalente) Möglichkeiten, dies zu tun.

In der Funktionalanalysis ist der übliche Begriff des âIsomorphismusâ für Banach-Räume eine beschränkte bijektive lineare Karte f:VâWf\colon V \nach W, so dass die inverse Funktion f â1:WâVf^{-1}\colon W \nach V (die notwendigerweise linear ist) ebenfalls beschränkt ist. In diesem Fall kann man alle begrenzten linearen Abbildungen zwischen Banach-Räumen als Morphismen akzeptieren. Analytiker bezeichnen dies manchmal als âisomorphe Kategorieâ.

Ein anderer natürlicher Begriff des Isomorphismus ist eine surjektive lineare Isometrie. In diesem Fall nehmen wir einen Morphismus als eine kurze lineare Karte oder lineare Kontraktion: eine lineare Karte ff, so dass âfââ¤1{\|f\|} \leq 1. Diese Kategorie, die von Kategorientheoretikern allgemein als Ban\mathbf{Ban} bezeichnet wird, wird von Analytikern manchmal als âisometrische Kategorieâ bezeichnet. Man beachte, dass dies die âunterliegende Mengeâ (im Sinne von Ban\mathbf{Ban} als konkrete Kategorie wie jede geschlossene Kategorie) eines Banach-Raums zu seiner (geschlossenen) Einheitskugel

anstelle der Menge aller Vektoren in VV (der zugrunde liegenden Menge von VV als Vektorraum).

Aus der Sicht eines Kategorientheoretikers ist die isomorphe Kategorie wirklich das vollständige Bild des Inklusionsfaktors von BanBan zu TVSTVS (die Kategorie der topologischen Vektorräume), die mit Ban TVSBan_{TVS} bezeichnet werden kann. Wenn man in Ban TVSBan_{TVS} arbeitet, dann kümmert man sich nur um die topologische lineare Struktur des Raumes (obwohl man sich auch darum kümmert, dass er von einer Metrik abgeleitet werden kann); wenn man in BanBan arbeitet, dann kümmert man sich um die gesamte Struktur des Raumes.

Beispiele

Viele Beispiele von Banach-Räumen werden durch einen Exponenten 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq \infty parametrisiert. (Manchmal kann man auch 0â¤p<10 \leq p \lt 1 versuchen, aber diese ergeben im Allgemeinen keine Banachräume.)

• Der kartesische Raum â n\mathbb{R}^n ist ein Banachraum mit

  â(x 1,â¦,x n)â p=â i|x i| pp. {\|(x_1,\ldots,x_n)\|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}} .

  (Wir können p=âp = \infty erlauben, indem wir einen Grenzwert nehmen; das Ergebnis ist, dass âxâ â=max i|x i|{\|x\|_\infty} = \max_i {|x_i|}.) Jeder endlich-dimensionale Banach-Raum ist isomorph zu diesem für einige nn und pp; tatsächlich ist der Wert von pp bis zur Isomorphie irrelevant, sobald man nn festlegt.

• Der Folgenraum l pl^p ist die Menge der unendlichen Folgen (x 1,x 2,â¦)(x_1,x_2,\Punkte) der reellen Zahlen, so dass

  â(x 1,x 2,â¦)â p=â i|x i| pp {\|(x_1,x_2,\ldots)\|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}}

  existiert als endliche reelle Zahl. (Die Frage ist nur, ob die Summe konvergiert. Wieder ist p=âp = \infty ein Grenzwert, mit dem Ergebnis, dass âxâ â=sup i|x i|{\|x\|_\infty} = \sup_i {|x_i|}.) Dann ist l pl^p ein Banachraum mit dieser Norm. Diese sind alle Versionen von â â\mathbb{R}^\infty, aber sie sind nicht mehr isomorph für verschiedene Werte von pp. (Siehe Isomorphieklassen von Banachräumen.)

• Allerdings sei AA eine beliebige Menge und l p(A)l^p(A) sei die Menge der Funktionen ff von AA nach â\mathbb{R}, so dass

  âfâ p=â x:A|f(x)| pp {\|f\|_p} = \root p {\sum_{x: A} {|f(x)|^p}}

  gibt es als endliche reelle Zahl. (Wiederum gilt: âfâ â=sup x:A|f(x)|{\|f\|_\infty} = \sup_{x\colon A} {|f(x)|}.) Dann ist l p(A)l^p(A) ein Banach-Raum. (Dieses Beispiel schließt die vorherigen Beispiele ein, für AA eine abzählbare Menge.)

• Auf einem beliebigen Maßraum XX ist der Lebesgue-Raum â p(X)\mathcal{L}^p(X) die Menge der messbaren fast-überall-definierten reell-wertigen Funktionen auf XX, so dass

  âfâ p=â“|f| pp {\|f\|_p} = \root p {\int {|f|^p}}

  existiert als endliche reelle Zahl. (Auch hier ist die einzige Frage, ob das Integral konvergiert. Und wieder ist p=âp = \infty ein Grenzwert, mit der Folge, dass âfâ â{\|f\|_\infty} das wesentliche Supremum von |f|{|f|} ist.) Als solches ist â p(X)\mathcal{L}^p(X) ein vollständiger pseudonormierter Vektorraum; aber wir identifizieren Funktionen, die fast überall gleich sind, um ihn zu einem Banachraum zu machen. (Dieses Beispiel schließt die vorherigen Beispiele für XX eine Menge mit Zählmaß ein.)

• Jeder Hilbert-Raum ist ein Banach-Raum; dies schließt alle obigen Beispiele für p=2p = 2 ein.

Operationen auf Banach-Räumen

Die Kategorie BanBan der Banach-Räume ist klein vollständig, klein kokomplett und symmetrisch monoidal geschlossen in Bezug auf ihre Standard-interne hom (beschrieben unter interne hom). Es folgen einige Details.

• Die Kategorie der Banachräume lässt kleine Produkte zu. Gegeben eine kleine Familie von Banachräumen {X α} αâA\{X_\alpha\}_{\alpha \in A}, ist ihr Produkt in BanBan der Unterraum des Vektorraumproduktes

  â αâAX α\prod_{\alpha \in A} X_\alpha

  bestehend aus AA-Tupeln â¨x αâ©\langle x_\alpha \rangle, die gleichmäßig begrenzt sind (d.h. es existiert CC, so dass âαâA:âx αââ¤C\für alle \alpha \in A: {\|x_\alpha\|} \leq C), wobei die kleinste derartige obere Schranke als Norm des â¨x αâ©\Winkels x_\alpha \rangle gilt. Diese Norm wird als â\infty-Norm bezeichnet; insbesondere ist das Produkt einer AA-indizierten Familie von Kopien von â\mathbb{R} oder â\mathbb{C} das, was normalerweise als l â(A)l^{\infty}(A) bezeichnet wird.

• Die Kategorie der Banachräume lässt Equalizer zu. In der Tat ist der Equalizer eines Paares von Karten f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y in BanBan der Kernel von fâgf-g unter der von XX geerbten Norm (der Kernel ist geschlossen, da fâgf-g stetig ist, und ist daher vollständig). Tatsächlich ist jeder Equalizer nach dem Hahn-Banach-Theorem sogar ein Abschnitt. Jeder extreme Monomorphismus ist sogar schon ein Equalizer (und ein Abschnitt): Sei f:XâYf\Kolon X \nach Y ein extremer Monomorphismus, ι:â(f)âY\iota\Kolon \Im(f) \nach Y die Einbettung von Im(f)Im(f) in den Codomain von ff und fâ²:XâIm(f)f\prime \Kolon X \nach Im(f) ff mit eingeschränktem Codomain. Da fâ²f\prime ein Epimorphismus ist, f=ιfâ²f=\iota f\prime, und ff extrem ist, ist fâ²f\prime ein Isomorphismus, also ist ff eine Einbettung.

• Die Kategorie der Banachräume lässt kleine Koprodukte zu. Gegeben eine kleine Familie von Banachräumen {X α} αâA\{X_\alpha\}_{\alpha \in A}, so ist ihr Koprodukt in BanBan die Vervollständigung des Koprodukts der Vektorräume

  ⨠αâAX α\bigoplus_{\alpha \in A} X_\alpha

  unter Berücksichtigung der Norm gegeben durch

  â⨠sâSx sâ=â sâSâx sâ, {\left\| \bigoplus_{s \in S} x_s \right\|} = \sum_{s \in S} {\|x_s\|} ,

  wobei SâAS \subseteq A endlich ist und âx sâ{\|x_s\|} die Norm eines Elements in X sX_s bezeichnet. Diese Norm wird als 11-Norm bezeichnet; insbesondere ist das Koprodukt einer AA-indizierten Familie von Kopien von â\mathbb{R} oder â\mathbb{C} das, was normalerweise als l 1(A)l^1(A) bezeichnet wird.

• Die Kategorie der Banach-Räume lässt Koequalizer zu. In der Tat ist der Koequalizer eines Paares von Karten f,g:XâYf, g: X \rightarrows Y das Kokernel von fâgf-g unter der Quotientennorm (wobei die Norm einer Coset y+Cy + C die minimale Norm ist, die von Elementen von y+Cy + C erreicht wird; hier ist CC das Bild (fâg)(X)(f-g)(X), das geschlossen ist). Es ist Standard, dass die Quotientennorm auf Y/CY/C vollständig ist, wenn die Norm auf YY vollständig ist.

• Um das Tensorprodukt Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y zweier Banachräume zu beschreiben (wodurch BanBan symmetrisch monoidal geschlossen wird in Bezug auf sein übliches internes hom), sei F(XÃY)F(X \times Y) der freie Vektorraum, der durch die Menge XÃYX \times Y erzeugt wird, mit der Norm auf einem typischen Element, definiert durch

  â 1â¤iâ¤na i(x iây i)â=â 1â¤iâ¤n|a i|âx iââ ây iâ. {\sum_{1 \leq i \leq n} a_i (x_i \otimes y_i) \right\|} = \sum_{1 \leq i \leq n} {|a_i|} {\|x_i\|} \cdot {\|y_i\|}.

  Bezeichnen wir F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y) als seine Vervollständigung in Bezug auf diese Norm. Dann nehme man den Kern von F¯(XÃY)\overline{F}(X \mal Y) durch den Abschluss des Unterraums, der von den offensichtlichen bilinearen Beziehungen aufgespannt wird. Dieser Quotient ist Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y.

In der Literatur über Banachräume wird das obige Tensorprodukt gewöhnlich als projektives Tensorprodukt von Banachräumen bezeichnet; siehe anderes Tensorprodukt von Banachräumen. Produkt und Koprodukt werden als direkte Summen betrachtet; siehe andere direkte Summen von Banachräumen.

Zu beschreiben:

• Duale (p+q=pqp + q = p q);
• Vervollständigung (BanBan ist eine reflektive Unterkategorie von PsNVectPsNVect (pseudonormierte Vektorräume)).
• BanBan als eine (etwas größere) Kategorie mit Dualen.

Integration in Banachräumen

Dieser Abschnitt beschreibt einige Aspekte der Integrationstheorie in Banachräumen, die für das Verständnis der Literatur über AQFT relevant sind. Im gegebenen Zusammenhang werden Elemente eines Banach-Raums â¬\mathcal{B} manchmal als Vektoren bezeichnet, eine Funktion oder ein Maß, das Werte in â¬\mathcal{B} annimmt, werden daher Vektorfunktionen und Vektormaße genannt. Funktionen und Maße, die Werte in dem Feld annehmen, auf dem der Banach-Raum als Vektorraum definiert ist, werden Skalarfunktionen und Skalarmaße genannt.

Wir werden zwei Arten von Integralen betrachten:

• Integrale von Vektorfunktionen bezüglich eines Skalarmaßes, insbesondere das Bochner-Integral,

• Integrale von Skalarfunktionen bezüglich eines Vektormaßes, insbesondere das Spektralintegral eines Normaloperators auf einem Hilbert-Raum.

Bochner-Integral

Das Bochner-Integral ist eine direkte Verallgemeinerung des Lesbegue-Integrals auf Funktionen, die Werte in einem Banach-Raum annehmen. Wann immer man in der AQFT-Literatur auf ein Integral einer Funktion trifft, die Werte in einem Banach-Raum annimmt, kann man davon ausgehen, dass es sich um ein Bochner-Integral handelt. Zwei Punkte, die Wikipedia bereits erläutert hat, sind von Interesse:

1. Eine Version des Satzes der dominierten Konvergenz gilt für das Bochner-Integral.
2. Es gibt Theoreme, die für das Bochner-Integral nicht gültig sind, insbesondere der Satz von Radon-Nikodym gilt nicht allgemein.

• Wikipedia

Referenz: Joseph Diestel: âSequences and Series in Banach Spacesâ (ZMATH-Eintrag), Kapitel IV.

Das Spektralintegral

Das Integral bezüglich des Spektralmaßes eines beschränkten Normaloperators auf einem Hilbert-Raum ist ein Beispiel für ein Banach-Raum-Integral bezüglich eines Vektormaßes. In diesem Abschnitt stellen wir ein wohlbekanntes, aber etwas weniger oft zitiertes Ergebnis vor, das in einigen Beweisen in einigen Ansätzen zur AQFT von Nutzen ist, es ist die Version des Theorems der dominierten Konvergenz für die gegebene Umgebung.

Lassen Sie A ein beschränkter normaler Operator auf einem Hilbert-Raum sein und E sei sein Spektralmaß (die âAuflösung der Identitätâ in den Begriffen von Dunford und Schwartz). Sei Ï(A)\sigma(A) das Spektrum von A. Für eine beschränkte komplexe Borel-Funktion f haben wir dann

Eigenschaften

Beziehung zu bornologischen Räumen

Jeder induktive Grenzwert von Banachräumen ist ein bornologischer Vektorraum. (Alpay-Salomon 13, prop. 2.3)

Umgekehrt ist jeder bornologische Vektorraum ein induktiver Grenzwert von normierten Räumen, und von Banachräumen, wenn er quasi-vollständig ist (Schaefer-Wolff 99)

• reflexiver Banachraum

• projektiver Banachraum

• Banach analytic space

Benannt nach Stefan Banach.

• Walter Rudin, Funktionalanalysis

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.: âLinear operators. Part I: General theory.â (ZMATH entry), âLinear operators. Part II: Spectral theory, self adjoint operators in Hilbert space.â (ZMATH entry)

• Z. Semadeni, Banach spaces of continuous functions, vol. I, Polish scientific publishers. Warszawa 1971

• Daniel Alpay, Guy Salomon, On algebras which are inductive limits of Banach spaces (arXiv:1302.3372)

• H. H. Schaefer mit M. P. Wolff, Topologische Vektorräume, Springer 1999