Bernoulli-Gesetz
Bislang haben wir uns mit ruhenden Fluiden beschäftigt. In diesem Abschnitt geht es um Fluide, die sich gleichmäßig bewegen, so dass sich die Geschwindigkeit des Fluids an einem bestimmten Punkt im Raum nicht mit der Zeit ändert. Jedes Strömungsmuster, das in diesem Sinne stetig ist, kann in Form einer Reihe von Stromlinien dargestellt werden, den Bahnen imaginärer Teilchen, die in der Flüssigkeit schweben und von ihr mitgenommen werden. Bei einer stetigen Strömung ist die Flüssigkeit in Bewegung, aber die Stromlinien sind fest. Wo sich die Stromlinien zusammendrängen, ist die Flüssigkeitsgeschwindigkeit relativ hoch; wo sie sich öffnen, stagniert die Flüssigkeit relativ stark.
Als Euler und Bernoulli die Grundlagen der Hydrodynamik legten, behandelten sie die Flüssigkeit als idealisierte, nicht viskose Substanz, in der, wie in einer ruhenden Flüssigkeit im Gleichgewicht, die mit der Viskosität verbundenen Schubspannungen null sind und der Druck p isotrop ist. Sie gelangten zu einem einfachen Gesetz, das die Veränderung von p entlang einer Stromlinie mit der Veränderung von v in Beziehung setzt (das Prinzip wird Bernoulli zugeschrieben, aber Euler scheint es zuerst gefunden zu haben), was viele der Phänomene erklärt, die reale Flüssigkeiten in gleichmäßiger Bewegung zeigen. Auf die unvermeidliche Frage, wann und warum es gerechtfertigt ist, die Viskosität zu vernachlässigen, gibt es keine eindeutige Antwort. Einige Antworten werden später in diesem Artikel gegeben, aber zunächst sollen andere Fragen aufgegriffen werden.
Betrachten wir ein kleines Flüssigkeitselement der Masse m, auf das – abgesehen von der Kraft, die durch die Schwerkraft auf es einwirkt – nur ein Druck p wirkt. Letzterer ist isotrop und ändert sich nicht mit der Zeit, kann aber von Punkt zu Punkt im Raum variieren. Es ist eine bekannte Folge der Newtonschen Bewegungsgesetze, dass, wenn sich ein Teilchen der Masse m unter dem Einfluss seines Gewichts mg und einer zusätzlichen Kraft F von einem Punkt P, an dem seine Geschwindigkeit vP und seine Höhe zP ist, zu einem Punkt Q bewegt, an dem seine Geschwindigkeit vQ und seine Höhe zQ ist, die von der zusätzlichen Kraft verrichtete Arbeit gleich der Zunahme der kinetischen und potentiellen Energie des Teilchens ist, d.h., dass
Im Fall des betrachteten Fluidelements kann F auf einfache Weise mit dem Druckgradienten in Beziehung gesetzt werden, und man findet
Wenn die Schwankungen der Fluiddichte entlang der Stromlinie von P nach Q vernachlässigbar klein sind, kann der Faktor ρ-1 aus dem Integral auf der rechten Seite von (131) herausgenommen werden, das sich daraufhin auf ρ-1(pQ – pP) reduziert. Dann können (130) und (131) kombiniert werden, um
Da dies für zwei beliebige Punkte gilt, die von einem einzigen Element des Fluids besucht werden können, kann man sofort das wichtige Ergebnis von Bernoulli (oder Euler) ableiten, dass entlang jeder Stromlinie in der stetigen Strömung eines nichtviskosen Fluids die Menge
ist konstant.
Unter welchen Umständen sind Schwankungen der Dichte vernachlässigbar klein? Wenn sie im Vergleich zur Dichte selbst sehr klein sind, d.h. wenn
wobei das Symbol Δ verwendet wird, um das Ausmaß der Änderung der Menge entlang einer Stromlinie darzustellen, die ihr folgt, und wobei Vs die Schallgeschwindigkeit ist (siehe unten Komprimierbare Strömung in Gasen). Diese Bedingung ist bei allen Strömungsproblemen im Zusammenhang mit Wasser, die im Folgenden behandelt werden, erfüllt. Handelt es sich bei dem Fluid um Luft, so ist sie ausreichend erfüllt, sofern die größte Auslenkung von z in der Größenordnung von Metern und nicht von Kilometern liegt und die Geschwindigkeit des Fluids überall weniger als etwa 100 Meter pro Sekunde beträgt.
Das Bernoulli-Gesetz besagt, dass, wenn ein nichtviskoses Fluid durch ein Rohr mit variablem Querschnitt strömt, der Druck an Verengungen, an denen die Geschwindigkeit hoch ist, relativ niedrig ist und an Stellen, an denen sich das Rohr öffnet und das Fluid stagniert, relativ hoch. Viele Menschen finden diese Situation paradox, wenn sie ihr zum ersten Mal begegnen. Eine Verengung sollte doch den lokalen Druck erhöhen und nicht verringern, sagen sie. Das Paradox löst sich auf, wenn man lernt, die Druckveränderungen entlang des Rohrs als Ursache und die Geschwindigkeitsveränderungen als Wirkung zu betrachten und nicht umgekehrt; nur weil der Druck an einer Verengung abnimmt, hat das Druckgefälle stromaufwärts der Verengung das richtige Vorzeichen, um die Flüssigkeit zu beschleunigen.
Paradox oder nicht, Vorhersagen, die auf dem Bernoulli-Gesetz beruhen, sind durch Experimente gut verifiziert. Versuchen Sie, zwei Blätter Papier so zu halten, dass sie senkrecht etwa zwei Zentimeter auseinander hängen, und blasen Sie nach unten, so dass ein Luftstrom zwischen ihnen entsteht. Die Blätter werden durch den Druckabfall, der mit dieser Strömung einhergeht, zusammengezogen. Schiffe werden aus demselben Grund zusammengezogen, wenn sie sich in der gleichen Richtung und mit der gleichen Geschwindigkeit durch das Wasser bewegen und der Abstand zwischen ihnen gering ist. In diesem Fall resultiert die Strömung aus der Verdrängung des Wassers durch den Bug jedes Schiffes, das zurückfließen muss, um den Raum zu füllen, der durch die Vorwärtsbewegung des Hecks entsteht, und die Strömung zwischen den Schiffen, zu der beide beitragen, ist stärker als die Strömung, die an ihren Außenseiten vorbeifließt. Ein weiteres einfaches Experiment ist das zischende Geräusch eines Wasserhahns, der fast, aber nicht ganz zugedreht ist. In diesem Fall ist die Strömung so verengt und die Geschwindigkeit innerhalb der Verengung so hoch, dass der Druck in der Verengung tatsächlich negativ ist. Unterstützt durch die gelösten Gase, die normalerweise vorhanden sind, kavitiert das Wasser beim Durchfließen, und das Geräusch, das man hört, ist das Geräusch winziger Blasen, die zusammenfallen, wenn das Wasser langsamer wird und der Druck auf der anderen Seite wieder ansteigt.
Zwei praktische Geräte, die von Wasserbauingenieuren verwendet werden, um den Fluss von Flüssigkeiten durch Rohre zu überwachen, basieren auf dem Bernoulli-Gesetz. Das eine ist das Venturi-Rohr, ein kurzes Stück mit einer Einschnürung in Standardform (siehe Abbildung 5A), das in das eigentliche Rohr eingeführt werden kann. Wenn die Geschwindigkeit im Punkt P, wo das Rohr eine Querschnittsfläche AP hat, vP und die Geschwindigkeit in der Verengung, wo die Fläche AQ ist, vQ ist, besagt die Kontinuitätsbedingung – die Bedingung, dass die pro Zeiteinheit durch das Rohr fließende Masse an allen Punkten entlang seiner Länge gleich sein muss -, dass ρPAPvP = ρQAQvQ ist, oder dass APvP = AQvQ, wenn der Unterschied zwischen ρP und ρQ vernachlässigbar ist. Dann besagt das Bernoulli-Gesetz 
Encyclopædia Britannica, Inc.
Auf diese Weise sollte man in der Lage sein, vP und damit die Größe Q (= APvP) zu ermitteln, die von den Ingenieuren als Abflussrate bezeichnet wird, indem man den Höhenunterschied h der Flüssigkeit in den beiden im Diagramm dargestellten Seitenrohren misst. Bei niedrigen Geschwindigkeiten wird die Druckdifferenz (pP – pQ) stark von der Viskosität beeinflusst (siehe unten Viskosität), und Gleichung (135) ist daher unzuverlässig. Das Venturirohr wird jedoch normalerweise verwendet, wenn die Geschwindigkeit groß genug ist, um eine turbulente Strömung zu erzeugen (siehe unten Turbulenz). In einem solchen Fall sagt Gleichung (135) Werte für Q voraus, die mit den auf direkterem Wege gemessenen Werten bis auf wenige Prozent übereinstimmen, obwohl das Strömungsmuster nicht wirklich gleichmäßig ist.
Das andere Gerät ist das Staurohr, das in Abbildung 5B dargestellt ist. Die Stromlinien des Fluids teilen sich, wenn sie sich dem stumpfen Ende dieses Rohrs nähern, und an dem im Diagramm mit Q gekennzeichneten Punkt herrscht völlige Stagnation, da sich das Fluid an diesem Punkt weder nach oben noch nach unten noch nach rechts bewegt. Aus dem Bernoulli-Gesetz folgt unmittelbar, dass
Wie beim Venturi-Rohr sollte man daher vP aus dem Höhenunterschied h finden können.
Ein weiteres einfaches Ergebnis verdient hier Erwähnung. Es betrifft einen Flüssigkeitsstrahl, der durch ein Loch in der Wand eines Gefäßes austritt, das mit einer unter Druck stehenden Flüssigkeit gefüllt ist. Die Beobachtung von Strahlen zeigt, dass sie sich nach dem Austritt leicht verengen, bevor sie sich auf einen mehr oder weniger gleichmäßigen Querschnitt, die sogenannte Vena contracta, einpendeln. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Stromlinien im Inneren des Gefäßes auf das Loch zulaufen und außerhalb des Gefäßes noch eine kurze Zeit lang weiter konvergieren müssen. Es war Torricelli, der als Erster vorschlug, dass, wenn der Überdruck im Inneren des Gefäßes durch eine Flüssigkeitshöhe h erzeugt wird, die Geschwindigkeit v an der Vena contracta der Geschwindigkeit entspricht, die ein freies Teilchen beim Fall durch eine Höhe h erreichen würde, d. h., dass
Dieses Ergebnis ist für eine nicht viskose Flüssigkeit eine unmittelbare Folge des Energieerhaltungssatzes, der im Bernoulli-Gesetz verankert ist.
Im folgenden Abschnitt wird das Bernoulli-Gesetz auf indirekte Weise verwendet, um eine Formel für die Geschwindigkeit aufzustellen, mit der sich Störungen über die Oberfläche eines flachen Wassers bewegen. In dieser Formel verbirgt sich die Erklärung mehrerer interessanter Phänomene, die mit Wasserwellen zu tun haben. Analoge Phänomene, die mit Schallwellen in Gasen zu tun haben, werden weiter unten in Komprimierbare Strömung in Gasen erörtert, wo eine alternative Form des Bernoulli-Gesetzes eingeführt wird. Diese Form des Gesetzes ist auf Gase in gleichmäßiger Strömung beschränkt, gilt aber nicht für Strömungsgeschwindigkeiten, die weit unter der Schallgeschwindigkeit liegen. Die Komplikation, die die Viskosität darstellt, wird auch in diesen beiden Abschnitten ignoriert.