Homotopie, in der Mathematik, eine Methode zur Klassifizierung geometrischer Regionen durch Untersuchung der verschiedenen Arten von Pfaden, die in der Region gezogen werden können. Zwei Pfade mit gemeinsamen Endpunkten werden als homotop bezeichnet, wenn der eine kontinuierlich in den anderen verformt werden kann, wobei die Endpunkte fixiert bleiben und der Pfad innerhalb der definierten Region bleibt. In Teil A der Abbildung hat die schattierte Region ein Loch; f und g sind homotopische Pfade, aber g′ ist nicht homotop zu f oder g, da g′ nicht in f oder g verformt werden kann, ohne durch das Loch zu gehen und die Region zu verlassen.

Formaler ausgedrückt bedeutet Homotopie, dass man einen Pfad definiert, indem man Punkte im Intervall von 0 bis 1 auf Punkte in der Region auf kontinuierliche Weise abbildet, d.h. dass benachbarte Punkte im Intervall benachbarten Punkten auf dem Pfad entsprechen. Eine Homotopiekarte h(x, t) ist eine kontinuierliche Karte, die zwei geeigneten Pfaden, f(x) und g(x), eine Funktion der beiden Variablen x und t zuordnet, die gleich f(x) ist, wenn t = 0, und gleich g(x), wenn t = 1. Die Abbildung entspricht der intuitiven Vorstellung einer allmählichen Verformung ohne Verlassen der Region, wenn t von 0 auf 1 wechselt. Zum Beispiel ist h(x, t) = (1 – t)f(x) + tg(x) eine homotope Funktion für die Pfade f und g in Teil A der Abbildung; die Punkte f(x) und g(x) sind durch ein gerades Segment verbunden, und für jeden festen Wert von t definiert h(x, t) einen Pfad, der dieselben beiden Endpunkte verbindet.

Von besonderem Interesse sind die homotope Pfade, die an einem einzigen Punkt beginnen und enden (siehe Teil B der Abbildung). Die Klasse aller solcher Wege, die in einem gegebenen geometrischen Gebiet zueinander homotop sind, wird Homotopieklasse genannt. Der Menge aller dieser Klassen kann eine algebraische Struktur gegeben werden, die als Gruppe bezeichnet wird, die Fundamentalgruppe der Region, deren Struktur je nach Art der Region variiert. In einer Region ohne Löcher sind alle geschlossenen Pfade homotop und die Fundamentalgruppe besteht aus einem einzigen Element. In einer Region mit einem einzigen Loch sind alle Pfade homotop, die sich gleich oft um das Loch winden. In der Abbildung sind die Pfade a und b homotop, ebenso die Pfade c und d, aber der Pfad e ist zu keinem der anderen Pfade homotop.

Auf dieselbe Weise definiert man homotopische Pfade und die Fundamentalgruppe von Regionen in drei oder mehr Dimensionen sowie auf allgemeinen Mannigfaltigkeiten. In höheren Dimensionen kann man auch höherdimensionale Homotopiegruppen definieren.