Harmonische Funktion, mathematische Funktion zweier Variablen, die die Eigenschaft hat, dass ihr Wert an jedem Punkt gleich dem Durchschnitt ihrer Werte entlang eines beliebigen Kreises um diesen Punkt ist, sofern die Funktion innerhalb des Kreises definiert ist. An diesem Mittelwert ist eine unendliche Anzahl von Punkten beteiligt, so dass er durch ein Integral, das eine unendliche Summe darstellt, ermittelt werden muss. In physikalischen Situationen beschreiben harmonische Funktionen jene Gleichgewichtsbedingungen wie die Temperatur oder die elektrische Ladungsverteilung in einem Gebiet, in dem der Wert an jedem Punkt konstant bleibt.

Harmonische Funktionen können auch als Funktionen definiert werden, die die Laplace-Gleichung erfüllen, eine Bedingung, die nachweislich der ersten Definition entspricht. Die durch eine harmonische Funktion definierte Fläche hat die Konvexität Null, und diese Funktionen haben somit die wichtige Eigenschaft, dass sie innerhalb der Region, in der sie definiert sind, keine Maximal- oder Minimalwerte haben. Harmonische Funktionen sind auch analytisch, d. h. sie besitzen alle Ableitungen (sind vollkommen „glatt“) und können als Polynome mit einer unendlichen Anzahl von Termen dargestellt werden, die als Potenzreihen bezeichnet werden.

Kugelharmonische Funktionen entstehen, wenn das sphärische Koordinatensystem verwendet wird. (In diesem System wird ein Punkt im Raum durch drei Koordinaten geortet, von denen eine die Entfernung vom Ursprung und zwei weitere die Winkel von Elevation und Azimut darstellen, wie in der Astronomie.) Sphärisch-harmonische Funktionen werden häufig verwendet, um dreidimensionale Felder zu beschreiben, wie z. B. Gravitations-, Magnet- und elektrische Felder und solche, die durch bestimmte Arten von Flüssigkeitsbewegungen entstehen.