Eine Funktion, die sich auf integrale Darstellungen von Lösungen von Randwertproblemen für Differentialgleichungen bezieht.

Die Green-Funktion eines Randwertproblems für eine lineare Differentialgleichung ist die fundamentale Lösung dieser Gleichung, die homogene Randbedingungen erfüllt. Die Green-Funktion ist der Kern des zum Differentialoperator inversen Integraloperators, der durch die gegebene Differentialgleichung und die homogenen Randbedingungen erzeugt wird (vgl. Kernel eines Integraloperators). Die Greensche Funktion liefert Lösungen der inhomogenen Gleichung, die die homogenen Randbedingungen erfüllen. Die Suche nach der Green-Funktion reduziert die Untersuchung der Eigenschaften des Differentialoperators auf die Untersuchung ähnlicher Eigenschaften des entsprechenden Integraloperators.

Green-Funktion für gewöhnliche Differentialgleichungen.

Lassen Sie $ L $den Differentialoperator sein, der durch das Differentialpolynom

$$ l = \sum _ {k = 0 } ^ { n } p _ {k} ( x)\frac{d ^ {k} y }{dx ^ {k} } ,\ \ a < x < b,$$

und die Randbedingungen $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \Punkte n $, wobei

$$ U _ {j} = \ \sum _ {k = 0 } ^ { n } \alpha _ {jk} y ^ {(} k) ( a) +\beta _ {jk} y ^ {(} k) ( b).$$

Die Green-Funktion von $ L $ist die Funktion $ G ( x, \xi ) $, die die folgenden Bedingungen erfüllt:

1) $ G ( x, \xi ) $ist stetig und hat stetige Ableitungen bezüglich $ x $bis zur Ordnung $ n – 2 $für alle Werte von $ x $und $ \xi $im Intervall $ $.

2) Für jedes gegebene $ \xi $in $ ( a, b) $hat die Funktion $ G ( x, \xi ) $gleichmäßig stetige Ableitungen der Ordnung $ n $nach $ x $in jedem der Halbintervalle $ und die Ableitung der Ordnung $ n – 1 $erfüllt die Bedingung

$$ \frac{\partial ^ {n – 1 } }{\partial x ^ {n – 1 } }G ( \xi + , \xi ) -\frac{\partial ^ {n – 1 } }{\partial x ^ {n – 1 } }G ( \xi – , \xi ) = \ \frac{1}{p _ {n} ( \xi ) }$$

wenn $ x = \xi $.

3) In jedem der Halbintervalle $ $ erfüllt die Funktion $ G ( x, \xi ) $, betrachtet als Funktion von $ x $, die Gleichung $ l = 0 $und die Randbedingungen $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \Punkte n $.

Wenn das Randwertproblem $ Ly = 0 $nur triviale Lösungen hat, dann hat $ L $eine und nur eine Green-Funktion . Für jede stetige Funktion $ f $ auf $ $ gibt es eine Lösung des Randwertproblems $ Ly = f $, und sie lässt sich durch die Formel

$$ y ( x) = ^ { a } ^ { b } G ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi .$$

Wenn der Operator $ L $ eine Green-Funktion $ G ( x, \xi ) $ hat, dann hat der adjungierte Operator $ L ^ {*} $ ebenfalls eine Green-Funktion, die gleich $ \overline{ {G ( \xi , x) }}\; $ ist. Insbesondere, wenn $ L $ selbstadjunkt ist ( $ L = L ^ {*} $), dann ist $ G ( x, \xi ) = \overline{ {G ( \xi , x) }}\; $, d.h. die Green-Funktion ist in diesem Fall ein hermitescher Kernel. Somit ist die Green-Funktion des selbstadjungierten Operators zweiter Ordnung $ L $, der durch den Differentialoperator mit reellen Koeffizienten

$$ l = \ \frac{d}{dx}\left ( p\frac{dy }{dx }\right ) +q ( x) y,\ \ a < x < b,$$

und die Randbedingungen $ y ( a) = 0 $, $ y ( b) = 0 $hat die Form:

$$ G ( x, \xi ) = \{\begin{array}{ll}Cy _ {1} ( x) y _ {2} ( \xi ) &\textrm{ if } x \leq \xi , \\\Cy _ {1} ( \xi ) y _ {2} ( x) &\textrm{ if } x > \xi . \\\\end{array} \right .$$

Hier $ y _ {1} ( x) $und $ y _ {2} ( x) $sind beliebige unabhängige Lösungen der Gleichung $ l = 0 $, die jeweils die Bedingungen $ y _ {1} ( a) = 0 $, $ y _ {2} ( b) = 0 $; $ C = ^ {-} 1 $, wobei $ W $ die Wronski-Determinante (Wronskian) von $ y _ {1} $ und $ y _ {2} $ ist. Es kann gezeigt werden, dass $ C $ unabhängig von $ \xi $ ist.

Wenn der Operator $ L $ eine Green-Funktion hat, dann ist das Randeigenwertproblem $ Ly = \lambda y $ äquivalent zu der Integralgleichung $ y ( x) = \lambda \int _ {a} ^ {b} G ( x, \xi ) y ( \xi ) d \xi $, auf die die Fredholm-Theorie anwendbar ist (vgl. auch Fredholm-Theoreme). Aus diesem Grund kann das Randwertproblem $ Ly = \lambda y $ höchstens eine abzählbare Anzahl von Eigenwerten $ \lambda _ {1} , \lambda _ {2} \dots $ohne endliche Grenzpunkte. Das konjugierte Problem hat komplex-konjugierte Eigenwerte der gleichen Multiplizität. Für jedes $ \lambda $, das kein Eigenwert von $ L $ ist, lässt sich die Green-Funktion $ G ( x, \xi , \lambda ) $ des Operators $ L – \lambda I $ konstruieren, wobei $ I $ der Identitätsoperator ist. Die Funktion $ G ( x, \xi , \lambda ) $ ist eine meromorphe Funktion des Parameters $ \lambda $; ihre Pole können nur Eigenwerte von $ L $ sein. Ist die Multiplizität des Eigenwerts $ \lambda _ {0} $ eins, dann

$$ G ( x, \xi , \lambda ) = \ \frac{u _ {0} ( x) \overline{ {v _ {0} ( \xi ) }}\; }{\lambda – \lambda _ {0} } +G _ {1} ( x, \xi , \lambda ),$$

wobei $ G _ {1} ( x, \xi , \lambda ) $in einer Nachbarschaft des Punktes $ \lambda _ {0} $ regulär ist, und $ u _ {0} ( x) $und $ v _ {0} ( x) $die Eigenfunktionen von $ L $und $ L ^ {*} $entsprechend den Eigenwerten $ \lambda _ {0} $und $ \overline{ {\lambda _ {0} }}; $und so normiert, dass

$$ \int\limits _ { a } ^ { b } u _ {0} ( x) \overline{ {v _ {0} ( x) }}; dx = 1.$$

Wenn $ G ( x, \xi , \lambda ) $unendlich viele Pole hat und wenn diese nur von erster Ordnung sind, dann existiert ein vollständiges biorthogonales System

$$ u _ {1} ( x),\ u _ {2} ( x) ,\dots ; \ v _ {1} ( x),\ v _ {2} ( x) \dots$$

von Eigenfunktionen von $ L $und $ L ^ {*} $. Werden die Eigenwerte in aufsteigender Reihenfolge ihrer Absolutwerte nummeriert, so ist das Integral

$$ I _ {R} ( x, f ) = \ \frac{1}{2 \pi i }\int\limits _ {| \lambda | = R } \ d \lambda\int\limits _ { a } ^ { b } G ( x, \xi , \lambda )f ( \xi ) d \xi$$

ist gleich der Teilsumme

$$ S _ {k} ( x, f ) = \ \sum _ {| \lambda _ {n} | < R }u _ {n} ( x)\int\limits _ { a } ^ { b } f ( \xi )\overline{ {v _ {n} ( \xi ) }}\; \ d \xi$$

der Ausdehnung von $ f $in Bezug auf die Eigenfunktionen von $ L $. Die positive Zahl $ R $ wird so gewählt, dass die Funktion $ G ( x, \xi , \lambda ) $auf dem Kreis $ | \lambda | = R $ regulär in $ \lambda $ ist. Für ein reguläres Randwertproblem und für eine beliebige stückweise glatte Funktion $ f $ im Intervall $ a < x < b $ gilt die Gleichung

$ $ \lim\limits _ {R \rightarrow \infty } \ I _ {R} ( x, f ) = \ {\frac{1}{2} } $$

gilt, d.h. eine Entwicklung in eine konvergente Reihe ist möglich.

Wenn die Green-Funktion $ G ( x, \xi , \lambda ) $des Operators $ L – \lambda I $mehrere Pole hat, dann wird ihr Hauptteil durch kanonische Systeme von Eigen- und Hilfsfunktionen der Operatoren $ L $und $ L ^ {*} $.

In dem oben betrachteten Fall hat das Randwertproblem $ Ly = 0 $ keine nichttrivialen Lösungen. Existieren hingegen solche nicht-trivialen Lösungen, so wird eine sogenannte verallgemeinerte Green-Funktion eingeführt. Es gebe z.B. genau $ m $linear unabhängige Lösungen des Problems $ Ly = 0 $. Dann sei eine verallgemeinerte Green-Funktion $ \widetilde{G} ( x, \xi ) $, die die Eigenschaften 1) und 2) einer gewöhnlichen Green-Funktion besitzt, die Randbedingungen als Funktion von $ x $ erfüllt, wenn $ a < \xi < b $ und außerdem eine Lösung der Gleichung

$$ l _ {x} = -\sum _ {k = 1 } ^ { m } \phi _ {k} ( x)\overline{ {v _ {k} ( \xi ) }}\; .$$

Hier $ \{ v _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ ein System von linear unabhängigen Lösungen des adjungierten Problems $ L ^ {*} y = 0 $, während $ \{ \phi _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ ein beliebiges System kontinuierlicher Funktionen ist, die biorthogonal dazu sind. Dann

$$ y ( x) = \ \int\limits _ { a } ^ { b } \widetilde{G} ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi$$

ist die Lösung des Randwertproblems $ Ly = f $, wenn die Funktion $ f $stetig ist und das Lösbarkeitskriterium erfüllt, d.h. orthogonal zu allen $ v _ {k} $.

Ist $ \widetilde{G} _ {0} $ eine der verallgemeinerten Green-Funktionen von $ L $ ist, dann kann jede andere verallgemeinerte Green-Funktion in der Form

$$ \widetilde{G} ( x, \xi ) = \ \widetilde{G} _ {0} ( x, \xi ) +\sum _ {k = 1 } ^ { m } u _ {k} ( x) \psi _ {k} ( \xi ),$$

wobei $ \{ u _ {k} ( x) \} $ein vollständiges System linear unabhängiger Lösungen des Problems $ Ly = 0 $ ist, und $ \psi _ {k} ( \xi ) $sind beliebige stetige Funktionen.

Grüne Funktion für partielle Differentialgleichungen.

1) Elliptische Gleichungen. Sei $ A $der elliptische Differentialoperator der Ordnung $ m $, der durch das Differentialpolynom

$$ a ( x, D) = \ \sum _ {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x) D ^ \alpha $$

in einem begrenzten Gebiet $ \Omega \Teilmenge \mathbf R ^ {N} $und den homogenen Randbedingungen $ B _ {j} u = 0 $, wobei $ B _ {j} $Randoperatoren sind, deren Koeffizienten auf dem Rand $ \partial \Omega $von $ \Omega $ definiert sind, der als hinreichend glatt angenommen wird. Eine Funktion $ G ( x, y) $ wird als Green-Funktion für $ A $ bezeichnet, wenn sie für jedes beliebige feste $ y \in \Omega $ die homogenen Randbedingungen $ B _ {j} G ( x, y) = 0 $und wenn sie, als verallgemeinerte Funktion betrachtet, die Gleichung

$$ a ( x, D)G ( x, y) = \ \delta ( x – y) erfüllt.$$

Im Falle von Operatoren mit glatten Koeffizienten und normalen Randbedingungen, die sicherstellen, dass die Lösung des homogenen Randwertproblems eindeutig ist, existiert eine Green-Funktion und die Lösung des Randwertproblems $ Au = f $kann in der Form dargestellt werden (vgl. )

$$ u ( x) = \ \int\limits _ \Omega G ( x, y)f ( y) dy.$$

In einem solchen Fall sind die einheitlichen Schätzungen für $ x , y \in \overline \Omega \; $,

$$ | G ( x, y) | \leq \ C | x – y | ^ {m – n } \ \textrm{ if } m < n,$$

$$ | G ( x, y) | \leq C + C | \mathop{\rm ln} | x – y | | \ \textrm{ if } m = n,$$

sind für die Green-Funktion gültig, und letztere ist gleichmäßig beschränkt, wenn $ m > n $.

Das Randeigenwertproblem $ Au = \lambda u $ ist äquivalent zur Integralgleichung

$$ u ( x) = \ \lambda \int\limits _ \Omega G ( x, y) u ( y) dy,$$

auf die die Fredholmsche Theorie (vgl. ) anwendbar ist (vgl. Fredholmsche Theoreme). Hier ist die Green-Funktion des adjungierten Randwertproblems $ \overline{ {G ( y, x) }}; $. Es folgt insbesondere, dass die Anzahl der Eigenwerte höchstens abzählbar ist und es keine endlichen Grenzpunkte gibt; das adjungierte Randwertproblem hat komplex-konjugierte Eigenwerte der gleichen Multiplizität.

Eine Green-Funktion ist für Gleichungen zweiter Ordnung gründlicher untersucht worden, da die Art der Singularität der fundamentalen Lösung explizit ausgeschrieben werden kann. So hat die Green-Funktion für den Laplace-Operator die Form

$$ G ( x, y) = \ – \frac{\Gamma ( n / 2) }{2 \pi ^ {n/2} ( n – 2) }| x – y | ^ {2 – n } +\gamma ( x, y) \ \textrm{ wenn } n > 2,$$

$$ G ( x, y) = + \frac{1}{2 \pi } \mathop{\rm ln} | x – y | + \gamma ( x, y) \ \textrm{ if } n = 2,$$

wobei $ \gamma ( x, y) $eine harmonische Funktion in $ \Omega $ist, die so gewählt ist, dass die Green-Funktion die Randbedingung erfüllt.

Die Green-Funktion $ G ( x, y) $des ersten Randwertproblems für einen elliptischen Operator zweiter Ordnung $ a ( x, D) $mit glatten Koeffizienten in einem Gebiet $ \Omega $mit Lyapunov-artigem Rand $ \partial \Omega $, ermöglicht es, die Lösung des Problems

$$ a ( x, D) u( x) = \ f ( x) \ \textrm{ if } \ \ x \in \Omega ,\ \ \ \ links . u \rechts | _ {\partial \Omega } = \phi ,$$

in der Form

$$ u ( x) = \ \int\limits _ \Omega G ( x, y) f ( y) dy +\int\limits _ {\partial \Omega }\frac \partial {\partial \nu _ {y} }G ( x, y) \phi ( y) d \sigma _ {y} ,$$

wobei $ \partial / \partial \nu _ {y} $die Ableitung entlang der äußeren Co-Normale des Operators $ a ( x, D) $ist und $ d \sigma _ {y} $das Flächenelement auf $ \partial \Omega $.

Wenn die homogene Randbedingung $ Au = 0 $nichttriviale Lösungen hat, wird wie bei gewöhnlichen Differentialgleichungen eine verallgemeinerte Green-Funktion eingeführt. Damit steht für den Laplace-Operator eine verallgemeinerte Green-Funktion, die sogenannte Neumann-Funktion , zur Verfügung.

2) Parabolische Gleichungen. Sei $ P $der parabolische Differentialoperator der Ordnung $ m $, erzeugt durch das Differentialpolynom

$$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\ \frac \partial {\partial t } \right ) = \ \frac \partial {\partial t } -\sum _ {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x, t) D _ {x} ^ \alpha ,$$

$$ x \in \Omega ,\ t > 0,$$

und die homogenen Anfangs- und Randbedingungen

$$ u ( x, 0) = 0,\ \ B _ {j} u ( x, t) = 0,$$

wobei $ B _ {j} $Randoperatoren sind, deren Koeffizienten für $ x \in \partial \Omega $und $ t \geq 0 $ definiert sind. Die Green-Funktion des Operators $ P $ ist eine Funktion $ G ( x, t, y, \tau ) $, die für beliebige feste $ ( y , \tau ) $mit $ t > \tau \geq 0 $und $ y \in \Omega $die homogenen Randbedingungen $ B _ {j} = 0 $erfüllt und auch die Gleichung

$$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\ \frac \partial {\partial t }\right )G ( x, t, y, \tau ) = \ \delta ( x – y , t – \tau ) .$$

Für Operatoren mit glatten Koeffizienten und normalen Randbedingungen, die die Eindeutigkeit der Lösung des Problems $ pu = 0 $ gewährleisten, existiert eine Green-Funktion, und die Lösung der Gleichung

$$ p \left (x, t, D _ {x} ,\ \frac \partial {\partial t }\right )u ( x, t) = \ f ( x, t)$$

unter Erfüllung der homogenen Randbedingungen und der Anfangsbedingungen $ u ( x, 0) = \phi ( x) $, hat die Form

$$ u ( x, t) = \ \int\limits _ { 0 } ^ { t } \ d \tau \int\limits _ \Omega G ( x, t, y, \tau )f ( y, \tau ) dy +$$

$$ + \int\limits _ \Omega G ( x, t, y, 0) \phi ( y) dy.$$

Bei der Untersuchung elliptischer oder parabolischer Systeme wird die Green-Funktion durch das Konzept einer Green-Matrix ersetzt, mit der Lösungen von Randwertproblemen mit homogenen Randbedingungen für diese Systeme als Integrale der Produkte einer Green-Matrix durch die Vektoren der rechten Seiten und die Anfangsbedingungen ausgedrückt werden.

Green-Funktionen sind nach G. Green (1828) benannt, der als erster einen Spezialfall solcher Funktionen in seinen Studien zur Potentialtheorie untersucht hat.

	M.A. Naimark, „Lineare Differentialoperatoren“, Akademie Verlag (1960) (aus dem Russischen übersetzt) MR0216049
	M.V. Keldysh, „On the characteristic values and characteristic functions of certain classes of non-self-adjoint equations“ Dokl. Akad. Nauk. SSSR , 77 : 1 (1951) pp. 11-14 (Auf Russisch)
	V.V. Sobolev, „Course in theoretical astrophysics“ , NASA , Washington, D.C. (1969) (Aus dem Russischen übersetzt)
	L. Bers, F. John, M. Schechter, „Partial differential equations“ , Interscience (1964) MR0163043 Zbl 0126.00207
	L. Gårding, „Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differential equations“ Math. Scand. , 1 : 1 (1953) pp. 55-72 MR64979
	A. Friedman, „Partial differential equations of parabolic type“ , Prentice-Hall (1964) MR0181836 Zbl 0144.34903
	S.D. Eidel’man, „Parabolic systems“ , North-Holland (1969) (aus dem Russischen übersetzt) Zbl 0181.37403

	J.K. Hale, „Ordinary differential equations“ , Wiley (1980) MR0587488 Zbl 0433.34003
	P.R. Garabedian, „Partial differential equations“ , Wiley (1964) MR0162045 Zbl 0124.30501

Green function in function theory.

In der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen versteht man unter einer (reellen) Green-Funktion eine Green-Funktion für das erste Randwertproblem des Laplace-Operators, d. h. eine Funktion vom Typ

$$ \tag{1 }G ( z, z _ {0} ) = \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| z – z _ {0} | } +\gamma ( z, z _ {0} ),\ \ z \in \Omega ,$$

wobei $ z = x + iy $die komplexe Variable ist, $ z _ {0} = x _ {0} + iy _ {0} $der Pol der Green-Funktion ist, $ z _ {0} \in \Omega $, und $ \gamma ( z, z _ {0} ) $ist eine harmonische Funktion von $ z $, die die Werte $ – \mathop{\rm ln} 1/ | z – z _ {0} | $an der Grenze $ \partial \Omega $ annimmt. Der Bereich $ \Omega $ sei einfach verbunden und $ w = f ( z, z _ {0} ) $ sei die analytische Funktion, die die konforme Abbildung von $ \Omega $ auf die Einheitsscheibe so realisiert, dass $ z _ {0} $ auf den Mittelpunkt der Scheibe abgebildet wird, und dass $ f ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, $ f ^ { \prime } ( z _ {0} , z _ {0} ) > 0 $.

Dann

$$ \tag{2 }G ( z, z _ {0} ) = \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| f ( z, z _ {0} ) | } .$$

Ist $ H ( z, z _ {0} ) $die zu $ G ( z, z _ {0} ) $ konjugierte harmonische Funktion, $ H ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, so gilt die analytische Funktion $ F ( z, z _ {0} ) = G ( z, z _ {0} ) + iH ( z, z _ {0} ) $ als komplexe Green-Funktion von $ \Omega $ mit dem Pol $ z _ {0} $. Die Inversion von Formel (2) ergibt

$$ \tag{3 }f ( z, z _ {0} ) = \ e ^ {- F ( z, z _ {0} ) } $$

Die Formeln (2) und (3) zeigen, dass die Probleme der Konstruktion einer konformen Abbildung von $ \Omega $ auf die Scheibe und der Suche nach einer Green-Funktion äquivalent sind. Die Green-Funktionen $ G ( z, z _ {0} ) $, $ F ( z, z _ {0} ) $ sind invariant unter konformen Abbildungen, was manchmal ihre Identifikation erleichtern kann (siehe Mapping-Methode).

In der Theorie der Riemannschen Flächen ist es bequemer, Green-Funktionen mit Hilfe einer Minimaleigenschaft zu definieren, die für eine Funktion (1) gilt: Von allen Funktionen $ U ( z, z _ {0} ) $auf einer Riemannschen Fläche $ \Omega $, die für $ z \neq z _ {0} $ positiv und harmonisch sind und in einer Nachbarschaft von $ z _ {0} $die Form

$$ \tag{4 }U ( z, z _ {0} ) = \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| z – z _ {0} | } +\gamma ( z, z _ {0} ),$$

wobei $ \gamma ( z, z _ {0} ) $eine harmonische Funktion ist, die auf der gesamten Fläche $ \Omega $ regulär ist, ist die Green-Funktion, falls sie existiert, die kleinste, d.h. $ G ( z, z _ {0} ) \leq U ( z, z _ {0} ) $. Dabei ist die Existenz einer Green-Funktion typisch für Riemannsche Flächen vom hyperbolischen Typ. Wenn eine Green-Funktion auf diese Weise definiert ist, verschwindet sie im Allgemeinen nicht mehr an irgendeiner Stelle des (idealen) Randes der Riemannschen Fläche. Ähnlich ist die Situation in der Potentialtheorie (siehe auch Potentialtheorie, abstrakt). Für eine beliebige offene Menge $ \Omega $, z. B. im euklidischen Raum $ \mathbf R ^ {n} $, $ n \geq 2 $, lässt sich die Green-Funktion $ G ( x, x _ {0} ) $ ebenfalls mit Hilfe der oben besprochenen Minimal-Eigenschaft definieren, aber für $ n \geq 3 $ ist der Ausdruck $ | x – x _ {0} | ^ {2 – n } $zu ersetzen durch $ \mathop{\rm ln} {1/ | x – x _ {0} | } $in Formel (4) ersetzen. Im Allgemeinen tendiert eine solche Green-Funktion nicht unbedingt gegen Null, wenn man sich dem Rand $ \partial \Omega $ nähert. Für Riemannsche Flächen vom parabolischen Typ oder für bestimmte Gebiete in $ \mathbf R ^ {2} $ (z.B. für $ \Omega = \mathbf R ^ {2} $) gibt es keine Greensche Funktion.

	S. Stoilov, „The theory of functions of a complex variable“ , 1-2 , Moskau (1962) (In Russisch; übersetzt aus dem Rumänischen)
	R. Nevanlinna, „Uniformisierung“ , Springer (1953) MR0057335 Zbl 0053.05003
	M. Brélot, „Eléments de la théorie classique du potentiel“ , Sorbonne Univ. Centre Doc. Univ. Paris (1959) MR0106366 Zbl 0084.30903

E.D. Solomentsev

Siehe auch und für Green-Funktionen in der klassischen Potentialtheorie und für Green-Funktionen in der axiomatischen Potentialtheorie.

In der Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Variablen, genauer gesagt in der Pluripotentialtheorie (vgl. auch Potentialtheorie), sind Green-Funktionen für die komplexe Monge-Ampère-Gleichung eingeführt worden. Idealerweise sollte eine solche Green-Funktion eine fundamentale Lösung für den komplexen Monge-Ampère-Operator $ M A = \mathop{\rm det} ( \partial ^ {2} / \partial z _ {i} \partial \overline{z}\; _ {j} ) $, mit Randwerten $ 0 $ und außerdem plurisubharmonisch (vgl. auch Plurisubharmonische Funktion). Eine gute Analogie zur klassischen eindimensionalen Theorie ist nur für pseudo-konvexe Gebiete möglich (vgl. Pseudo-konvex und pseudo-konkav). Für die Greensche Funktion sind verschiedene, nicht äquivalente Definitionen vorgeschlagen worden. Eine davon lautet wie folgt. Sei $ \Omega $ ein Gebiet in $ \mathbf C ^ {n} $, $ w \in \Omega $. Sei $ \mathop{\rm PSH} ( \Omega ) $die plurisubharmonischen Funktionen (vgl. Plurisubharmonische Funktion) auf $ \Omega $ bezeichnen. Die Green-Funktion für $ \Omega $mit Pol bei $ w $ist

$$ G ( z , w ) =$$

$$ = \ \sup \{ u ( z) : u \in \mathop{\rm PSH} ( \Omega ) , u \leq 0 ,\ u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} | \zeta – w | < C _ {u} \} ,$$

wobei $ C _ {u} $ eine von $ u $ abhängige Konstante ist. Für jedes feste $ w $ ist also $ G ( \cdot , w ) $ plurisubharmonisch. Für $ n = 1 $ ist $ – G $ gleich der üblichen Green-Funktion. Natürlich möchte man, dass $ G ( \cdot , w ) \mid _ {\partial \Omega } = 0 $ und auch $ G ( \cdot , w ) $ eine stetige Funktion für $ $ ist, aber dies ist äquivalent dazu, dass $ \Omega $ ein hyperkonvexer Bereich ist (d.h. ein pseudokonvexer Bereich, der eine stetige, beschränkte plurisubharmonische Erschöpfungsfunktion zulässt). Wenn dies der Fall ist, hat man auch:

1) $ M A ( G ( \cdot , w ) ) = ( 2 \pi ) ^ {n} \delta _ {w} $, wobei $ \delta _ {w} $ das Dirac-Maß an $ w $ ist,

2) $ G ( z , w ) \sim \mathop{\rm log} | z – w | $als $ z \aufrecht w $und $ G $ist stetig auf $ \Omega \; \mal \Omega $.

Wenn $ \Omega $streng konvex ist, dann ist $ G $symmetrisch: $ G ( z , w ) = G ( w , z ) $und $ C ^ \infty $auf $ \Omega \setminus \{ w \} $. Wenn $ \Omega $ nur streng pseudo-konvex ist, dann muss $ G $ nicht symmetrisch sein und auch nicht $ C ^ {2} $. Man kann eine Art Green-Funktion einführen, in der die Symmetrie enthalten ist, siehe , aber man kann 1) und 2) verlieren. Für $ \Omega $streng pseudo-konvex gilt die folgende Ungleichung (L. Lempert):

$$ \mathop{\rm log} \mathop{\rm tanh} C ( z , w ) \leq \ G ( z , w ) < \mathop{\rm log} \mathop{\rm tanh} K ( z , w ) ,$$

mit Gleichheit für konvexe Gebiete. Dabei bezeichnen $ C $und $ K $den Carathéodory- bzw. den Kobayashi-Abstand.

Ist $ E $eine begrenzte Menge in $ \mathbf C ^ {n} $, so ist die Green-Funktion mit Pol bei $ \infty $für $ E $

$$ L _ {E} ( z) =$$

$$ = \ \sup \{ u ( z) : u \in \mathop{\rm PSH} ( \Omega) , u \leq 0 \mathop{\rm on} E , u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} ( 1 + | \zeta | ) < C _ {u} \} ,$$

und analog zum einvariablen Fall gibt es eine Robin-Funktion

$$ R _ {E} ( z) = \lim\limits \sup _{\begin{array}{c}\lambda \in \mathbf C \\\ \lambda \rightarrow \infty \end{array} }( L _ {E} ( \lambda z ) – \mathop{\rm log} | \lambda z | )$$

und eine logarithmische Kapazität

$$ \mathop{\rm Cap} ( E) = \mathop{\rm exp} \{ – \sup R _ {E} \} .$$

Für allgemeine Mengen $ E $, $ \mathop{\rm Cap} ( E) = \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } \mathop{\rm cap} ( E \cap \{ | z | < n \} ) $. Diese Kapazität hat die Eigenschaft, dass die Mengen der Kapazität Null genau die pluri-polaren Mengen sind.

	L.L. Helms, „Introduction to potential theory“ , Wiley (Interscience) (1969)
	K. Janssen, „On the existence of a Green function for harmonic spaces“ Math. Annalen , 208 (1974) S. 295-303 MR0350045 Zbl 0265.31018
	N.S. Landkof, „Foundations of modern potential theory“ , Springer (1972) (Aus dem Russischen übersetzt) MR0350027 Zbl 0253.31001
	E. Bedford, „Survey of pluri-potential theory“ (in Vorbereitung) MR1207855 Zbl 0786.31001
	U. Cegrell, „Capacities in complex analysis“ , Vieweg (1988) MR0964469 Zbl 0655.32001
	J.P. Demailly, „Mesures de Monge-Ampère et mesures pluriharmoniques“ Math. Z. , 194 (1987) S. 519-564 MR881709 Zbl 0595.32006

Green’s function in statistical mechanics.

Eine zeitlich geordnete Linearkombination von Korrelationsfunktionen (vgl. Korrelationsfunktion in der statistischen Mechanik), die eine bequeme Zwischengröße bei Berechnungen von wechselwirkenden Teilchen ist.

Greensche Funktion in der statistischen Quantenmechanik.

Am häufigsten werden Green’sche Funktionen mit zweifacher Kommutatortemperatur verwendet: retardiert $ ( \mathop{\rm ret} , + ) $, fortgeschritten $ ( \mathop{\rm adv} , – ) $und kausal (c). Diese sind durch die Relationen definiert:

$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm ret} ) }( t – t ^ \prime ) = \ \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{\rm ret} ) } \equiv$$

$$ \equiv \ \theta ( t – t ^ \prime ) \langle _ \eta \rangle ,$$

$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm adv} ) } ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{\rm adv} ) } \equiv$$

$$ \equiv \ – \theta ( t ^ \prime – t) \langle _ \eta \rangle ,$$

$$ G _ {AB} ^ {(} c) ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {(} c) \equiv \langle T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) \rangle ,$$

wobei

$$ _ \eta = \ A ( t) B ( t ^ \prime ) – \eta B ( t ^ \prime ) A ( t),$$

$$ T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) = \theta ( t – t ^ \prime ) A ( t)B ( t ^ \prime ) + \eta \theta ( t ^ \prime – t) B ( t ^ \prime ) A ( t),$$

$$ \theta ( x) = \links \{ \begin{array}{ll}1, & x > 0 \\\\0, & x < 0 \\\\\end{array} ,\ \eta = \pm 1 . \right .$$

Hier sind $ A ( t) $und $ B ( t ^ \prime ) $zeitabhängige dynamische Variablen (Operatoren auf dem Zustandsraum des Systems in der Heisenberg-Darstellung); $ \langle \dots \rangle $bezeichnet den Durchschnitt über das statistische Gibbs-Aggregat; der Wert von $ \eta = \pm 1 $ ist der Einfachheit halber gewählt. Die Wirksamkeit der Verwendung von Green’schen Funktionen hängt weitgehend von der Verwendung von Spektraldarstellungen ihrer Fourier-Transformationen $ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) $, $ n = \mathop{\rm ret} , \mathop{\rm adv} , \textrm{ c } $. Für Temperaturen ungleich Null gilt also für die fortgeschrittenen und retardierten Green-Funktionen die folgende Darstellung:

$$ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) = \ \ll A \mid B \gg _ {E} ^ {(} n) =$$

$$ = \ \frac{i}{2 \pi } \int\limits _ {- \infty } ^ { {+ } \infty } \frac{(e ^ {\omega / \theta } – \eta ) J _ {AB} (\omega ) }{E – \omega + i \epsilon \alpha _ {n} } d \omega ,$$

$$ \epsilon \rightarrow + 0,\ \alpha _ {n} = \left \{ \begin{array}{rl}1, & n = \mathop{\rm ret} , \\\- 1, & n = \mathop{\rm adv} . \\\end{array} \right .$$

Hier $ J _ {AB} ( \omega ) $ die Spektraldichte, $ \theta = kT $, wobei $ T \neq 0 $ die absolute Temperatur und $ k $ die Boltzmann-Konstante ist. In dem verwendeten Einheitensystem ist $ \hbar = h/2 \pi = 1 $, wobei $ h $ die Planck-Konstante ist. Im Einzelnen gilt die folgende Formel:

$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm ret} ) } ( \omega ) -G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm adv} ) } ( \omega ) = \ \left ( e ^ {\omega / \theta } – \eta\right ) J _ {AB} ( \omega ) .$$

Diese Formel ermöglicht es, die Spektraldichte (und damit auch eine Reihe von physikalischen Eigenschaften des Systems) mit Hilfe einer Greenschen Funktion zu berechnen. Ähnliche Spektralformeln gibt es auch für die Nulltemperatur. Die Singularitäten (Pole in der komplexen Ebene) der Fourier-Transformation einer Green-Funktion charakterisieren das Spektrum und die Dämpfung der elementaren Störungen im System. Zu den wichtigsten Quellen für die Berechnung einer Green-Funktion gehören: a) die ungefähre Lösung einer unendlichen Kette von Verflechtungsgleichungen, die direkt aus der Definition der Green-Funktion abgeleitet wird, indem die Kette auf der Grundlage physikalischer Vorstellungen „aufgespalten“ wird; b) die Summation der physikalischen „fundamentalen“ Terme der Reihen der Störungstheorie (Summation von Diagrammen); diese Methode wird hauptsächlich bei der Berechnung von kausalen Green-Funktionen verwendet und ähnelt in vielerlei Hinsicht der Methode zur Berechnung einer Green-Funktion in der Quantenfeldtheorie.

Green-Funktionen in der klassischen statistischen Mechanik

sind zweifach retardierte (ret) und fortgeschrittene (adv) Green-Funktionen, die man erhält, indem man die Operatoren $ A ( t) $ und $ B ( t ^ \prime ) $ in den entsprechenden Quantenformeln, die für den Quantenfall (für $ \eta = \pm 1 $) aufgestellt wurden, durch die dynamischen Zustandsfunktionen des untersuchten klassischen Systems ersetzt, und Ersetzen des Kommutators $ A ( t) B ( t ^ \prime ) – B ( t ^ \prime ) A ( t) $ (die Quanten-Poisson-Klammern) durch die klassischen (gewöhnlichen) Poisson-Klammern; $ \langle \dots \rangle $ bezeichnet dementsprechend die Mittelung über das klassische Gibbs-Aggregat. Die Einführung einer kausalen Green’schen Funktion hat hier keine Bedeutung, da das Produkt der dynamischen Variablen kommutativ ist. In Analogie zum Quantenfall existieren Spektraldarstellungen der Fourier-Transformation einer Green’schen Funktion und können effektiv genutzt werden. Die wichtigste Quelle für die Berechnung einer klassischen Green-Funktion ist das Gleichungssystem, das man erhält, wenn man den Hamiltonian eines Gleichungssystems für die Korrelationsfunktionen infinitesimal variiert: die Bogoljubow-Gleichungskette, ein System hydrodynamischer Gleichungen usw.

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V.N. Plechko