Der Zwang der Mathematiker, die Dinge immer komplexer zu machen, ist sowohl ein Segen als auch ein Fluch. Ihr Drang, eine Idee so weit wie möglich auszudehnen, kann zu faszinierenden neuen Erkenntnissen führen. Die Kehrseite der Medaille ist, dass es immer schwieriger wird, die Mathematik in Worte zu fassen, je abstrakter sie wird und je mehr sie die Macht erlangt, riesige Bereiche des begrifflichen Wissens zu beschreiben.
Mit schwerem Herzen wende ich mich daher in dieser Serie über die Millenniumspreisprobleme der Hodge-Vermutung zu. Es ist eine erstaunliche Kreuzung verschiedener Bereiche der Mathematik, aber eine Qual, sie zusammenzufassen. Da heute Welt-Mathe-Tag ist, beginne ich mit einem Versprechen: Sobald es zu komplex wird, höre ich auf, solange es noch geht.
Die Menschen haben die Mathematik der Formen studiert, lange bevor Pythagoras um 500 v. Chr. zum ersten Mal ein Dreieck ins Auge fiel. Im Laufe der Generationen wurden immer kompliziertere Formen untersucht, bis es etwa zweitausend Jahre später so aussah, als ginge ihnen die Luft aus. Die Mathematiker hatten alles getan, was ihnen in Bezug auf Formen einfiel, und damit die Grundlage für alles von der Technik bis zur perspektivischen Malerei geschaffen. Dann, im Jahr 1637, erkannte ein kluger junger Mathematiker und Philosoph, dass die Geometrie, wenn man sie einen Schritt weiter abstrahiert, eigentlich dasselbe ist wie die Algebra.
Descartes hat mit Hilfe des kartesischen Koordinatensystems, das heute seinen Namen trägt, viel darüber nachgedacht, dass eine geometrische Linie nur eine Menge von Zahlen ist. Gleichungen können auch eine Reihe von Zahlen als ihre Lösungen erzeugen. Wenn diese beiden Zahlenmengen genau gleich wären, dann könnte man eine auf ein Stück Papier gezeichnete Linie als die Lösung einer Gleichung betrachten.
Dies war ein Wendepunkt in der Mathematik, der es ermöglichte, alle in der Algebra entwickelten Werkzeuge auf die Geometrie anzuwenden. Deshalb war Ihr Mathematiklehrer in der Schule so begeistert davon, lineare Graphen in Gleichungen umzuwandeln: Jede beliebige Linie kann als Lösungsmenge einer Gleichung wie y = mx + c betrachtet werden. Jeder Kreis ist die Lösungsmenge von (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Wenn du nun sehen willst, wo eine bestimmte Linie einen bestimmten Kreis schneidet, kannst du entweder die Formen geometrisch zeichnen oder die Gleichungen algebraisch vergleichen. Beide Methoden ergeben die gleiche Antwort.
Mathematiker begnügten sich nicht mit Linien und fanden schnell heraus, dass kompliziertere Gleichungen oder sogar Gruppen von Gleichungen, die alle zusammenarbeiten, erstaunliche Formen in allen möglichen Dimensionen ergeben können. Einige konnten noch als Formen visualisiert werden – wie die Gleichungen, deren Lösungsmenge die Oberfläche eines Rings, eines so genannten Torus, abbildet -, aber viele von ihnen lagen jenseits dessen, was wir uns vorstellen können, und waren nur durch Algebra und eine sehr ausgedehnte Vorstellungskraft zugänglich.
Da die Mathematiker nun mit Objekten zu tun hatten, die jenseits dessen lagen, was wir uns vorstellen können, wurden diese „Formen“ allgemein als „algebraische Zyklen“ bekannt. Wenn ein algebraischer Zyklus eine schöne glatte und im Allgemeinen wohlbehaltene Form war, verdiente er auch den Titel „Mannigfaltigkeit“.
Dann geschahen zwei Dinge auf einmal. Erstens: Eine Gruppe von Mathematikern, die Topologen genannt werden, begann zu untersuchen, was passiert, wenn man Formen auf eine Mannigfaltigkeit zeichnet. Man könnte sich vorstellen, dass man einen Ring-Doughnut hat und ein Dreieck um die Spitze herum zeichnet (siehe Bild oben). Oder vielleicht ein Fünfeck.
Braucht man eigentlich beides? Wenn die Form gleiten und sich dehnen könnte, dann könnte das Dreieck in ein Fünfeck verzerrt werden. Topologen haben alle Formen, die sich von der einen in die andere verformen lassen (ohne von der Oberfläche der Mannigfaltigkeit abgehoben zu werden), in einer „Homologieklasse“ zusammengefasst – einer Art verallgemeinerten Form. Alle Formen, die durch das „Loch“ des Doughnuts gehen, würden eine andere Homologieklasse bilden.
Zweitens begann eine Gruppe von Mathematikern, die sich selbst Algebraisten nannten, Gleichungssätze zu nehmen, die bereits schöne, ordentliche Mannigfaltigkeiten ergaben, und weitere Gleichungen hinzuzufügen. Diese zusätzlichen Gleichungen erzeugten neue algebraische Zyklen innerhalb dieser Mannigfaltigkeiten.
Es dauerte nicht lange, bis man erkannte, dass Topologen, die Homologieklassen auf Mannigfaltigkeiten zeichnen, und Algebraiker, die algebraische Zyklen in Mannigfaltigkeiten einbetten, eigentlich dasselbe sind. Es war wie damals, als geometrische Formen erstmals auf algebraische Gleichungen trafen. Die Schwierigkeit bestand darin, dass niemand mit Sicherheit wusste, wann eine Homologieklasse auf einer Mannigfaltigkeit mindestens eine Form enthielt, die auch als algebraischer Zyklus beschreibbar war.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass eine Mannigfaltigkeit eine seltsame (möglicherweise hochdimensionale) Form ist, die durch einen Satz von Gleichungen beschrieben werden kann. Wenn man zusätzliche Gleichungen hinzufügt, erhält man kleinere Formen, die als algebraische Zyklen bekannt sind, innerhalb dieser Mannigfaltigkeit.
Das Problem ist: Wenn man irgendeine zufällige – möglicherweise unangenehme – Form auf eine Mannigfaltigkeit zeichnet, wie kann man wissen, ob sie in eine andere Form gestreckt werden kann, die als ein schöner algebraischer Zyklus beschrieben werden kann?
Der schottische Mathematiker William Hodge hatte eine großartige Idee, wie man feststellen kann, welche Homologieklassen auf einer beliebigen Mannigfaltigkeit einem algebraischen Zyklus entsprechen. Nur konnte er es nicht beweisen. Wenn Sie beweisen können, dass seine Methode immer funktioniert, dann gehört der Preis von 1 Million Dollar Ihnen.
Mein Problem ist, dass ich bis jetzt in Begriffen von schönen gewöhnlichen numerischen Koordinaten und normalen räumlichen Dimensionen gesprochen habe. Die Hodge-Vermutung verwendet jedoch so genannte komplexe Zahlenkoordinaten und komplexe Raumdimensionen. So gerne ich Ihnen auch die ganze Vermutung beschreiben würde, ist dies genau der Punkt, an dem ich versprochen habe, aufzuhören.
Matt Parker arbeitet in der Mathematikabteilung der Queen Mary, University of London, und ist online unter standupmaths zu finden.com
Um mehr über die Hodge-Vermutung zu erfahren, ist dieses Video eines Vortrags von Dan Freed von der University of Texas in Austin sehr zu empfehlen
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