Turbulente Strömungen bestehen aus Wirbeln unterschiedlicher Größe, die mit zunehmender Reynoldszahl an Größe zunehmen. Die kinetische Energie wird durch Wechselwirkungskräfte zwischen den Wirbeln von großen zu kleinen Wirbeln kaskadenartig abgebaut. Auf einer sehr kleinen Skala wird die Energie der Wirbel aufgrund der viskosen Kräfte in Wärme umgewandelt. Die Energiedissipationsrate ist der Parameter zur Bestimmung der Energiemenge, die durch die viskosen Kräfte in der turbulenten Strömung verloren geht. Zur Berechnung der Energiedissipationsrate werden je nach Art der Beschränkungen, die das Fluid durchläuft, unterschiedliche Ansätze verwendet.

Turbulente Strömung

Turbulente Strömung ist ein komplexes Phänomen, das sehr unvorhersehbar erscheinen kann. Turbulenz hat jedoch einige gemeinsame Merkmale wie Nichtlinearität, Wirbelstärke, Diffusivität und Energiedissipation. Auf der Grundlage dieser Merkmale der Strömung kann Turbulenz als ein dissipativer Strömungszustand definiert werden, der durch eine nichtlineare, fluktuierende dreidimensionale Wirbelstärke gekennzeichnet ist.

Die Dissipationseigenschaft der turbulenten Strömung beschreibt die Umwandlung von kinetischer Energie in Wärme aufgrund großer Geschwindigkeitsgradienten, die durch Wirbel unterschiedlicher Größenordnung entstehen. Die kinetische Energie erfährt einen Kaskadeneffekt, bei dem sie von Wirbeln großer Skala auf Wirbel kleinerer Skala übertragen wird, bis sie durch viskose Dissipation in Wärme umgewandelt wird. Wenn also der turbulenten Strömung keine externe Energie zugeführt wird, nimmt die Intensität der Strömung mit der Zeit ab und sie verliert ihre turbulenten Eigenschaften.

Die Bernoulli-Gleichung kann verwendet werden, um eine praktische Gleichung für die Berechnung der turbulenten Energiedissipationsrate abzuleiten. Die Bernoulli-Gleichung modelliert eine Flüssigkeit, die sich von Ort (1) zu Ort (2) bewegt. Für eine gegebene Strömung kann sie geschrieben werden als

,…………..(1)

wobei

ρ = Dichte des Fluids (kg/m3)

P1 = Druck am stromaufwärtigen Ort (N/m2)

P2 = Druck am stromabwärtigen Ort (N/m2)

u1 = Oberflächengeschwindigkeit des Fluids an der stromaufwärtigen Stelle (m/s)

u2 = Oberflächengeschwindigkeit des Fluids an der stromabwärtigen Stelle (m/s)

z1,z2 = Höhe des Fluids relativ zu den Bezugspunkten stromaufwärts und stromabwärts (m)

h = Energiedissipation von Punkt (1) zu Punkt (2) (J/kg)

g = Erdbeschleunigungskonstante (m/s2)

Die Gleichung zeigt, dass die Energie erhalten bleibt, wenn das Fluid von Punkt (1) zu Punkt (2) fließt. Jegliche Umwandlung von mechanischer Energie in thermische Energie wird durch den Energiedissipations-Term h berücksichtigt.

Die Energiedissipationsrate ist die Rate des Energieverlustes aufgrund des Flüssigkeitsflusses von Ort (1) zu Ort (2). Die Energieverlustrate ist gegeben durch

,…………..(2)

wobei ε = Energieverlustrate pro Masseneinheit (m2/s3 oder W/kg)

= Zeit, die das Fluid benötigt, um von (1) nach (2) zu gelangen (Sekunden)

Die Eigenschaft der Wirbelstärke beschreibt die Turbulenz als eine Vielzahl von Strukturen, die in der Strömung in Form von Schlieren, Dehnungsbereichen und Wirbeln unterschiedlicher Größe auftreten. Die charakteristischsten Strukturen in einer turbulenten Strömung werden als Wirbel bezeichnet. Die großräumigen Wirbel erzeugen ein anisotropes Verhalten der turbulenten Strömung. Aufgrund des Kaskadeneffekts wird die Abhängigkeit von der mittleren Strömung mit abnehmender Wirbelgröße geringer. In sehr kleinem Maßstab kann die Turbulenz als isotrop angesehen werden. Kolmogorow schlug vor, dass die Größe der kleinräumigen Wirbel, die zur viskosen Dissipation beitragen, nur von den Parametern abhängt, die für die kleinsten Wirbel relevant sind. Diese Parameter sind die Energiedissipationsrate und die kinematische Viskosität. Mit Hilfe der Dimensionsanalyse und der Reynoldszahl zeigte Kolmogorov, dass Energie durch Wirbel von mikroskopischer Größe dissipiert wird, bei denen sich Trägheits- und viskose Effekte gegenseitig ausgleichen.

Energiedissipationsrate in der Kanalströmung

Für die Abschätzung der Energiedissipationsrate in der turbulenten Rohrströmung kann die bekannte empirische Beziehung verwendet werden

,…………….(3)

wobei

D = Rohrdurchmesser (m)

f = Fanning-Reibungsfaktor

Die turbulente Energiedissipation tritt unabhängig davon auf, ob es sich um eine einphasige Flüssigkeit, eine Dispersion von Öltröpfchen in Wasser oder eine mehrphasige Strömung handelt. Im Fall von in Wasser dispergierten Öltröpfchen wird nicht die gesamte turbulente Energie in Wärme umgewandelt. Die Flüssigkeitsreibung wird von Wirbeln erfahren, die in allen Größenordnungen auftreten, aber die größte Dissipation findet bei den kleinräumigen Wirbeln statt. Diese Wirbel brechen die Tröpfchen der dispergierten Phase auf, was allgemein als Scherung bezeichnet wird. Gleichzeitig wird auch der Koaleszenzprozess durch die Energie der turbulenten Strömung beeinflusst. Die Tröpfchen werden von Wirbeln transportiert, die gleich groß oder größer sind als sie selbst. Die Energie dieser Wirbel trägt zum Prozess der Tröpfchenkollision und Koaleszenz bei.

Koaleszenz und Aufbrechen von Tröpfchen bestimmen die Tröpfchengrößenverteilung in einem Öl-Wasser-Gemisch. Van der Zande weist allerdings darauf hin, dass unter bestimmten Bedingungen, z.B. bei geringer Ölkonzentration und hoher Energiedissipationsrate, die Koaleszenz vernachlässigt werden kann.

Energiedissipationsrate beim Durchfluss durch eine Drosselstelle

Wenn eine Flüssigkeit durch eine Drosselstelle fließt, erfährt sie einen Druckabfall. Dies ist auf die Energiedissipation zurückzuführen, die stattfindet, wenn große Geschwindigkeitsgradienten in der Strömung vorhanden sind.

Durch Anwendung der Erhaltungssätze im Integralformat auf ein geeignetes Kontrollvolumen leitete Kundu ab, dass in einer Kanalströmung die Energiedissipationsrate

,…………. ist.(4)

wobei

E = Energiedissipationsrate (W)

ΔPperm = permanenter Druckabfall (N/m2)

Q = Volumenstrom (m3/s)

Da der größte Teil der Energiedissipation dort stattfindet, wo große Geschwindigkeitsgradienten vorhanden sind, wird die Beschreibung der turbulenten Strömung oft durch die Verwendung der mittleren Energiedissipationsrate pro Masseneinheit vereinfacht. Der größte Teil der Dissipation findet in dem Bereich unmittelbar stromabwärts der Verengung statt, die den Druckabfall verursacht. Dieser Bereich wird oft als Dissipationszone bezeichnet. Die Masse des Fluids in der Dissipationszone ist gegeben durch Folglich ist die mittlere Energiedissipationsrate pro Masseneinheit gleich

,………………(5)

wobei

ρc = Dichte der kontinuierlichen Phase (kg/m3)

Vdis = für die Energiedissipation verwendetes Volumen (m3)

In Fällen, in denen die Durchflussrate ein gegebener Parameter ist, kann die Energiedissipationsrate pro Masseneinheit durch den Zeitraum definiert werden, in dem der größte Teil der Dissipation stattfindet

,……………(6)

wobei

tres = mittlere Verweilzeit der Flüssigkeit in der Dissipationszone (Sekunden)

Nomenklatur

D	=	Rohrdurchmesser,
E	=	Energiedissipationsrate
f	=	Fanning-Reibungsfaktor Faktor
g	=	Schwerkraftbeschleunigungskonstante
h	=	Energie Dissipationsrate
Q	=	Volumendurchsatz
t	=	Weg Zeit
tres	=	Aufenthaltszeit
u	=	Fließgeschwindigkeit
Vdis	=	Volumen für Energiedissipation
ΔPperm	=	permanenter Druckabfall
z	=	Höhenpunkt über einer Bezugsebene
ε	=	Energiedissipationsrate pro Masseneinheit
ρ	=	Fluiddichte
ρc	=	Dichte der kontinuierlichen Phase