Inhalt:

1. Was ist ein Exponent?
2. How to Eliminate Exponents.

See also: Die Potenzregel

Exponenten: Definition

Ein Exponent ist eine vereinfachte Art zu sagen, wie oft man eine Zahl mit sich selbst multipliziert. Wenn man mit Exponenten arbeitet, muss man wissen, welche Zahl die Basiszahl und welche der Exponent ist.

• Die Basiszahl ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird. Sie wird normalerweise in einer größeren Schrift geschrieben.
• Der Exponent sagt uns, wie oft die Basiszahl mit sich selbst multipliziert wird. Er wird normalerweise in einer kleineren Schrift (als hochgestellte Zahl) geschrieben.

Beides wird im folgenden Beispiel dargestellt:

Wie oben gezeigt, ist 4 die Basiszahl. Der Exponent ist 3. Das bedeutet, dass Sie 4 dreimal mit sich selbst multiplizieren müssen. Multiplizieren Sie zunächst 4 x 4, um 16 zu erhalten. Dann multiplizieren Sie diese Zahl mit 4 . Daher ist 43 gleich 64.

Anhand dieses Beispiels können Sie zwei wichtige Beobachtungen machen. Erstens fällt auf, wie viel einfacher es ist, einen Exponenten zu verwenden, anstatt die Multiplikation in Langform auszuschreiben. Sie können sich vorstellen, wie kompliziert es wäre, die Multiplikation auszuschreiben, wenn es sich um viel größere Exponenten handelt. Zweitens: Mit steigendem Exponenten steigt die Basiszahl exponentiell an. Es gibt keine Grenze dafür, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert werden kann.

Wenn der Exponent 1 oder 0 ist

Wenn du siehst, dass der Exponent 1 ist, dann ist die Antwort die Zahl selbst (eine andere Art, darüber nachzudenken, ist, dass jede Zahl, die mit 1 multipliziert wird, dieselbe bleibt).

Wenn man sieht, dass der Exponent 0 ist, dann ist die Antwort 1, egal welchen Wert die Basiszahl hat.

Negative Exponenten

Ein negativer Exponent bedeutet, dass man die Zahl 1 durch die Basiszahl dividiert. Das kann man sich leicht merken, denn ein negativer Exponent ist das Gegenteil eines positiven Exponenten und eine Division ist das Gegenteil einer Multiplikation. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Ausgeschrieben ist 8 zur negativen 4. Potenz: 1/8/8/8/8

1. Teilen Sie 1 durch 8, was 0,125 entspricht
2. Nächstens teilen Sie 0,125 durch 8, was 0,015625 entspricht
3. Teilen Sie 0,015625 durch 8, was 0 entspricht.001953125
4. Schließlich dividiere 0,001953125 durch 8 und erhalte 0,0002441406

Wie man Exponenten eliminiert

Exponenten können beim Umgang mit Gleichungen ein schwieriger Faktor sein, und wenn Exponenten Variablen enthalten, wird es noch komplizierter. Es ist möglich, einige Exponenten mit der Potenzregel zu eliminieren, aber das funktioniert nicht bei Exponenten über 2. Eine andere Möglichkeit, Exponenten zu eliminieren, besteht darin, sie mit der Logarithmusfunktion in eine handlichere Form umzuwandeln.

Grafik des gewöhnlichen Logarithmus.

Wenn Sie mit Logarithmen nicht vertraut sind, sollten Sie die Definition von Logarithmen lesen, bevor Sie weiter lesen. Im Grunde genommen sind Logarithmen einfach ein Exponent in einer anderen Form, und deshalb kann man sie verwenden, um Exponenten zu eliminieren. Zum Beispiel ist log10100 = 2 das Gleiche wie 102 = 100. Allgemeiner ausgedrückt heißt das:

Der Logarithmus kann auch in der Form ln(x) erscheinen, was ein Logarithmus zur Basis von e, der natürlichen Zahl, ist.

Wie man Exponenten in der Mathematik eliminiert: Beispiel

Beispielproblem: Lösen Sie den Wert von x, wenn 10 hoch 5x plus 10 gleich 20 ist.

Schritt 1: Stellen Sie die Gleichung anhand der Angaben in der Frage auf.
105x + 10 = 20

Schritt 2: Ziehen Sie 10 von beiden Seiten ab, um die 10 neben der Variablen zu eliminieren. Dies ist ein grundlegender Algebra-Schritt, aber dennoch ein wichtiger.
105x + 10 – 10 = 20 – 10
gibt:
105x = 10

Schritt 3: Nimm den Logarithmus von beiden Seiten.
log(105x) = log(10)

Schritt 4: Wende die Logarithmenregel an, die besagt, dass log_b(ac) = c * log_b(a).1

Damit können wir die Variable aus dem Exponenten herausnehmen und in einer Form belassen, die wir vereinfachen können. Wenn du dich daran erinnerst, dass ein Logarithmus ohne tiefgestellten Index als Basis 10 betrachtet wird, kannst du log_10(10) = y leicht als 1 vereinfachen, da by = x 101 = 10 ist.
5x * 1 = 1

Schritt 5: Teile beide Seiten durch 5, um die Variable zu isolieren. So erhältst du eine endgültige Antwort von 1/5 oder 0,2.
5x/5 = 1/5 -> x = 1/5 = 0,2

Hinweise

1: Wenn du eine Auffrischung der Logarithmenregeln benötigst, siehe Mathematische Voraussetzungen – scrolle nach unten zu 5. Exponenten und Logarithmen.

York University Course Archive. Mathematical Prerequisites. Abgerufen am 1. Januar 2019 von: https://www.eecs.yorku.ca/course_archive/2011-12/W/3101/prereq.pdf

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