QuantenelektrodynamikBearbeiten

Bis zum Aufkommen der Quantenmechanik war das einzige bekannte Beispiel für Eichtheorie der Elektromagnetismus, und die allgemeine Bedeutung des Konzepts wurde nicht vollständig verstanden. Zum Beispiel war nicht klar, ob die Felder E und B oder die Potentiale V und A die fundamentalen Größen waren; wenn ersteres der Fall war, konnten die Eichtransformationen als nichts weiter als ein mathematischer Trick betrachtet werden.

Aharonov-Bohm-ExperimentBearbeiten

In der Quantenmechanik wird ein Teilchen, wie z.B. ein Elektron, auch als Welle beschrieben. Wird zum Beispiel das Doppelspaltexperiment mit Elektronen durchgeführt, so beobachtet man ein wellenförmiges Interferenzmuster. Das Elektron wird mit größter Wahrscheinlichkeit dort entdeckt, wo die Teile der Welle, die durch die beiden Spaltöffnungen laufen, in Phase zueinander sind, was zu einer konstruktiven Interferenz führt. Die Frequenz der Elektronenwelle ist mit der kinetischen Energie eines einzelnen Elektronenteilchens über die quantenmechanische Beziehung E = hf verknüpft. Wenn in diesem Experiment keine elektrischen oder magnetischen Felder vorhanden sind, dann ist die Energie des Elektrons konstant, und es besteht zum Beispiel eine hohe Wahrscheinlichkeit, das Elektron entlang der zentralen Achse des Experiments zu entdecken, wo die beiden Teile der Welle aufgrund der Symmetrie in Phase sind.

Nun aber nehmen wir an, dass die Elektronen im Experiment elektrischen oder magnetischen Feldern ausgesetzt sind. Wenn zum Beispiel auf einer Seite der Achse ein elektrisches Feld angelegt würde, auf der anderen aber nicht, würden die Ergebnisse des Experiments beeinflusst werden. Der Teil der Elektronenwelle, der diese Seite durchläuft, schwingt mit einer anderen Geschwindigkeit, da zu seiner Energie -eV hinzugefügt wurde, wobei -e die Ladung des Elektrons und V das elektrische Potenzial ist. Die Ergebnisse des Experiments werden anders ausfallen, weil sich die Phasenbeziehungen zwischen den beiden Teilen der Elektronenwelle geändert haben und sich daher die Orte der konstruktiven und destruktiven Interferenz auf die eine oder andere Seite verschieben. Es ist das elektrische Potential, das hier auftritt, nicht das elektrische Feld, und dies ist eine Manifestation der Tatsache, dass es die Potentiale und nicht die Felder sind, die in der Quantenmechanik von fundamentaler Bedeutung sind.

Erklärung mit PotentialenEdit

Es sind sogar Fälle möglich, in denen sich die Ergebnisse eines Experiments unterscheiden, wenn die Potentiale geändert werden, auch wenn kein geladenes Teilchen jemals einem anderen Feld ausgesetzt ist. Ein solches Beispiel ist der Aharonov-Bohm-Effekt, der in der Abbildung dargestellt ist. In diesem Beispiel bewirkt das Einschalten der Magnetspule lediglich, dass innerhalb der Spule ein Magnetfeld B entsteht. Das Solenoid ist jedoch so angeordnet, dass das Elektron unmöglich durch sein Inneres dringen kann. Wenn man davon ausginge, dass die Felder die fundamentalen Größen sind, dann würde man erwarten, dass die Ergebnisse des Experiments unverändert bleiben würden. In Wirklichkeit sind die Ergebnisse anders, weil das Einschalten des Solenoids das Vektorpotential A in dem Bereich verändert hat, den die Elektronen durchqueren. Nachdem nun festgestellt wurde, dass die Potentiale V und A und nicht die Felder E und B von grundlegender Bedeutung sind, können wir sehen, dass die Eichtransformationen, die V und A verändern, eine echte physikalische Bedeutung haben und nicht nur mathematische Artefakte sind.

Eichtransformation: Die Ergebnisse der Experimente sind unabhängig von der Wahl der Eichung für die PotentialeEdit

Bei diesen Experimenten ist die einzige Größe, die das Ergebnis beeinflusst, die Phasendifferenz zwischen den beiden Teilen der Elektronenwelle. Stellen wir uns die beiden Teile der Elektronenwelle als winzige Uhren vor, von denen jede einen einzigen Zeiger hat, der sich im Kreis dreht und seine eigene Phase verfolgt. Obwohl diese Karikatur einige technische Details außer Acht lässt, bleiben die physikalischen Phänomene, die hier wichtig sind, erhalten. Wenn beide Uhren um den gleichen Betrag beschleunigt werden, bleibt die Phasenbeziehung zwischen ihnen unverändert, und die Ergebnisse der Experimente sind die gleichen. Darüber hinaus ist es nicht einmal notwendig, die Geschwindigkeit jeder Uhr um einen festen Betrag zu ändern. Wir könnten den Winkel des Zeigers an jeder Uhr um einen unterschiedlichen Betrag θ ändern, wobei θ sowohl von der Position im Raum als auch von der Zeit abhängen könnte. Dies hätte keine Auswirkungen auf das Ergebnis des Experiments, da die endgültige Beobachtung des Ortes des Elektrons an einem einzigen Ort und zu einer einzigen Zeit erfolgt, so dass die Phasenverschiebung in jeder „Uhr“ des Elektrons gleich wäre und sich die beiden Effekte aufheben würden. Dies ist ein weiteres Beispiel für eine Eichtransformation: Sie ist lokal und verändert die Ergebnisse von Experimenten nicht.

ZusammenfassungBearbeiten

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Eichtransformation ihre volle Bedeutung im Zusammenhang mit der Quantenmechanik erlangt. Bei der Anwendung der Quantenmechanik auf den Elektromagnetismus, d.h. der Quantenelektrodynamik, gilt die Eichsymmetrie sowohl für elektromagnetische Wellen als auch für Elektronenwellen. Diese beiden Eichsymmetrien sind in der Tat eng miteinander verbunden. Wenn man beispielsweise eine Eichtransformation θ auf die Elektronenwellen anwendet, dann muss man auch eine entsprechende Transformation auf die Potenziale anwenden, die die elektromagnetischen Wellen beschreiben. Die Eichsymmetrie ist erforderlich, um die Quantenelektrodynamik zu einer renormierbaren Theorie zu machen, d.h., eine, in der die berechneten Vorhersagen aller physikalisch messbaren Größen endlich sind.

Arten von EichsymmetrienEdit

Die Beschreibung der Elektronen im obigen Unterabschnitt als kleine Uhren ist in Wirklichkeit eine Erklärung der mathematischen Regeln, nach denen die Phasen der Elektronen zu addieren und zu subtrahieren sind: Sie sind wie gewöhnliche Zahlen zu behandeln, mit der Ausnahme, dass in dem Fall, in dem das Ergebnis der Berechnung außerhalb des Bereichs von 0≤θ<360° liegt, wir es zwingen, in den erlaubten Bereich zu „wrap around“, der einen Kreis umfasst. Anders ausgedrückt: Ein Phasenwinkel von z. B. 5° wird als völlig gleichwertig mit einem Winkel von 365° angesehen. Experimente haben diese überprüfbare Aussage über die Interferenzmuster von Elektronenwellen bestätigt. Die algebraischen Eigenschaften dieser mathematischen Struktur sind, abgesehen von der „Wrap-around“-Eigenschaft, genau dieselben wie die der gewöhnlichen reellen Zahlen.

In der mathematischen Terminologie bilden die Elektronenphasen eine abelsche Gruppe unter Addition, die Kreisgruppe oder U(1) genannt wird. „Abelsch“ bedeutet, dass die Addition kommutiert, also θ + φ = φ + θ. Gruppe bedeutet, dass die Addition assoziiert und ein Identitätselement hat, nämlich „0“. Außerdem gibt es für jede Phase ein Inverses, so dass die Summe einer Phase und ihres Inversen gleich 0 ist. Weitere Beispiele für abelsche Gruppen sind die ganzen Zahlen unter Addition, 0 und Negation und die Brüche ungleich Null unter Produkt, 1 und Kehrwert.

Um die Wahl einer Eichung zu veranschaulichen, überlege, ob es möglich ist zu erkennen, ob ein Zylinder verdreht wurde. Wenn der Zylinder keine Beulen, Markierungen oder Kratzer hat, können wir das nicht feststellen. Wir könnten jedoch eine beliebige Kurve entlang des Zylinders zeichnen, die durch eine Funktion θ(x) definiert ist, wobei x den Abstand entlang der Achse des Zylinders misst. Sobald diese willkürliche Wahl (die Wahl der Lehre) getroffen wurde, ist es möglich, sie zu erkennen, wenn jemand später den Zylinder verdreht.

Im Jahr 1954 schlugen Chen Ning Yang und Robert Mills vor, diese Ideen auf nichtkommutative Gruppen zu verallgemeinern. Eine nichtkommutative Eichgruppe kann ein Feld beschreiben, das, anders als das elektromagnetische Feld, mit sich selbst wechselwirkt. Die allgemeine Relativitätstheorie besagt zum Beispiel, dass Gravitationsfelder Energie haben, und die spezielle Relativitätstheorie kommt zu dem Schluss, dass Energie gleichbedeutend mit Masse ist. Daher induziert ein Gravitationsfeld ein weiteres Gravitationsfeld. Auch die Kernkräfte haben diese Eigenschaft der Selbstwechselwirkung.

EichbosonenEdit

Überraschenderweise kann die Eichsymmetrie eine tiefere Erklärung für die Existenz von Wechselwirkungen wie der elektrischen und der Kernwechselwirkung liefern. Dies ergibt sich aus einer Art von Eichsymmetrie, die sich auf die Tatsache bezieht, dass alle Teilchen eines bestimmten Typs experimentell nicht voneinander unterscheidbar sind. Stellen Sie sich vor, Alice und Betty sind eineiige Zwillinge, die bei der Geburt mit Armbändern mit der Aufschrift A und B versehen wurden. Da die Mädchen identisch sind, könnte niemand feststellen, ob sie bei der Geburt vertauscht wurden; die Etiketten A und B sind willkürlich und können vertauscht werden. Eine solche permanente Vertauschung ihrer Identitäten ist wie eine globale Eichsymmetrie. Es gibt auch eine entsprechende lokale Eichsymmetrie, die die Tatsache beschreibt, dass Alice und Betty von einem Moment auf den anderen die Rollen tauschen könnten, ohne dass jemand hinsieht, und niemand würde es merken. Wenn wir beobachten, dass Mamas Lieblingsvase zerbrochen ist, können wir nur darauf schließen, dass der eine oder der andere Zwilling daran schuld ist, aber wir können nicht sagen, ob die Schuld zu 100 % bei Alice und zu 0 % bei Betty liegt oder andersherum. Wenn Alice und Betty tatsächlich quantenmechanische Teilchen und keine Menschen sind, dann haben sie auch Welleneigenschaften, einschließlich der Eigenschaft der Superposition, die es erlaubt, Wellen beliebig zu addieren, zu subtrahieren und zu mischen. Daraus folgt, dass wir nicht einmal auf vollständige Vertauschungen der Identität beschränkt sind. Wenn wir zum Beispiel beobachten, dass an einem bestimmten Ort im Raum eine bestimmte Menge Energie vorhanden ist, kann uns kein Experiment sagen, ob diese Energie zu 100 % aus A und 0 % aus B, zu 0 % aus A und 100 % aus B oder zu 20 % aus A und 80 % aus B oder einer anderen Mischung besteht. Die Tatsache, dass die Symmetrie lokal ist, bedeutet, dass wir uns nicht einmal darauf verlassen können, dass diese Verhältnisse bei der Ausbreitung der Teilchen durch den Raum unverändert bleiben. Die Einzelheiten, wie dies mathematisch dargestellt wird, hängen von technischen Fragen in Bezug auf die Spins der Teilchen ab, aber für unsere Zwecke betrachten wir ein spinloses Teilchen, für das sich herausstellt, dass die Vermischung durch eine beliebige Wahl der Lehre θ(x) spezifiziert werden kann, wobei ein Winkel θ = 0° für 100% A und 0% B steht, θ = 90° bedeutet 0% A und 100% B, und dazwischen liegende Winkel stellen Mischungen dar.

Nach den Prinzipien der Quantenmechanik haben Teilchen eigentlich keine Flugbahnen durch den Raum. Bewegung kann nur in Form von Wellen beschrieben werden, und der Impuls p eines einzelnen Teilchens ist mit seiner Wellenlänge λ durch p = h/λ verbunden. Bei empirischen Messungen kann die Wellenlänge nur durch Beobachtung der Veränderung der Welle zwischen einem Punkt im Raum und einem anderen nahe gelegenen Punkt bestimmt werden (mathematisch durch Differenzierung). Eine Welle mit einer kürzeren Wellenlänge schwingt schneller und ändert sich daher auch schneller zwischen nahegelegenen Punkten. Nehmen wir nun an, wir legen willkürlich ein Messgerät an einem Punkt im Raum fest, indem wir sagen, dass die Energie an diesem Ort zu 20 % die von A und zu 80 % die von B ist. Dann messen wir die beiden Wellen an einem anderen, nahe gelegenen Punkt, um ihre Wellenlängen zu bestimmen. Aber es gibt zwei ganz andere Gründe, warum sich die Wellen verändert haben könnten. Sie könnten sich verändert haben, weil sie mit einer bestimmten Wellenlänge schwingen, oder sie könnten sich verändert haben, weil sich die Eichfunktion von einer 20-80-Mischung auf, sagen wir, 21-79 geändert hat. Wenn wir die zweite Möglichkeit außer Acht lassen, funktioniert die resultierende Theorie nicht; es treten seltsame Diskrepanzen im Impuls auf, die den Grundsatz der Impulserhaltung verletzen. Irgendetwas in der Theorie muss geändert werden.

Auch hier gibt es technische Probleme im Zusammenhang mit dem Spin, aber in mehreren wichtigen Fällen, einschließlich elektrisch geladener Teilchen und Teilchen, die über Kernkräfte wechselwirken, besteht die Lösung des Problems darin, der Eichfunktion θ(x) physikalische Realität zuzuschreiben. Wir sagen, dass die Funktion θ, wenn sie oszilliert, eine neue Art von quantenmechanischer Welle darstellt, und dass diese neue Welle ihren eigenen Impuls p = h/λ hat, der die Diskrepanzen ausgleicht, die sonst die Impulserhaltung gebrochen hätten. Im Kontext des Elektromagnetismus wären die Teilchen A und B geladene Teilchen wie Elektronen, und die quantenmechanische Welle, die durch θ dargestellt wird, wäre das elektromagnetische Feld. (Hier ignorieren wir die technischen Probleme, die durch die Tatsache aufgeworfen werden, dass Elektronen tatsächlich Spin 1/2 und nicht Spin Null haben. Diese grobe Vereinfachung ist der Grund dafür, dass das Eichfeld θ ein Skalar ist, während das elektromagnetische Feld tatsächlich durch einen Vektor dargestellt wird, der aus V und A besteht). Das Ergebnis ist, dass wir eine Erklärung für das Vorhandensein elektromagnetischer Wechselwirkungen haben: Wenn wir versuchen, eine eichsymmetrische Theorie identischer, nicht wechselwirkender Teilchen zu konstruieren, ist das Ergebnis nicht selbstkonsistent und kann nur durch Hinzufügen elektrischer und magnetischer Felder repariert werden, die die Teilchen zur Wechselwirkung veranlassen.

Obwohl die Funktion θ(x) eine Welle beschreibt, verlangen die Gesetze der Quantenmechanik, dass sie auch Teilcheneigenschaften hat. Im Fall des Elektromagnetismus ist das Teilchen, das den elektromagnetischen Wellen entspricht, das Photon. Im Allgemeinen werden solche Teilchen als Eichbosonen bezeichnet, wobei sich der Begriff „Boson“ auf ein Teilchen mit ganzzahligem Spin bezieht. In den einfachsten Versionen der Theorie sind die Eichbosonen masselos, aber es ist auch möglich, Versionen zu konstruieren, in denen sie Masse haben, wie es bei den Eichbosonen der Fall ist, die die Kernzerfallskräfte übertragen.