Dies ist eine kurze Einführung in die Galoistheorie. Das Niveau dieses Artikels ist notwendigerweise recht hoch im Vergleich zu einigen NRICH-Artikeln, da die Galoistheorie ein sehr schwieriges Thema ist, das normalerweise erst im letzten Jahr eines Mathematikstudiums eingeführt wird. Dieser Artikel streift nur die Oberfläche der Galois-Theorie und sollte wahrscheinlich für einen 17- oder 18-jährigen Schüler mit einem starken Interesse an Mathematik zugänglich sein. Einen kurzen und sehr vagen Überblick über zwei wichtige Anwendungen der Galoistheorie finden Sie in der folgenden Einleitung. Wenn du mehr über die Galois-Theorie wissen willst, ist der Rest des Artikels ausführlicher, aber auch schwieriger.
Die beiden wichtigsten Dinge, über die du Bescheid wissen musst, um den ausführlichen Teil des Artikels zu verstehen, sind komplexe Zahlen und Gruppentheorie. Wenn du noch nie mit komplexen Zahlen zu tun hattest, kannst du An Introduction to Complex Numbers lesen, das für 15- oder 16-jährige Schüler zugänglich sein sollte. Wenn Sie noch nie mit der Gruppentheorie in Berührung gekommen sind, machen Sie sich keine Sorgen. Ich führe im Folgenden den Begriff der Gruppe ein, obwohl es vielleicht besser ist, ein Buch oder eine Website zu finden, die mehr ins Detail gehen.
1.1 Motivation
Die Galoistheorie ist ein sehr umfangreiches Thema, und solange man nicht so tief in mathematische Studien vertieft ist, wie es für ein Mathematikstudium ungewöhnlich ist, kann sie ziemlich sinnlos erscheinen. Es gibt jedoch zwei Probleme, die eine gewisse Motivation für das Studium der Galoistheorie liefern – die Existenz von Polynomen, die nicht durch Radikale lösbar sind, und einige Ergebnisse über die klassische euklidische Geometrie, z. B. dass man einen Winkel nicht mit Lineal und Zirkel dreiteilen kann und dass bestimmte regelmäßige Polygone nicht mit Lineal und Zirkel konstruiert werden können.
Definition Wenn man die Lösungen für ein Polynom mit rationalen Koeffizienten nur mit rationalen Zahlen und den Operationen Addition, Subtraktion, Division, Multiplikation und Finden der n-ten Wurzel finden kann, sagt man, dass $p(x)$ durch Radikale lösbar ist.
1.2 Geschichte
Warum heißt die Galoistheorie eigentlich Galoistheorie? Die Antwort ist, dass sie nach dem französischen Mathematiker Evariste Galois (1811-1832) benannt ist, der einige sehr wichtige Arbeiten auf diesem Gebiet geleistet hat. Er hatte ein sehr dramatisches und schwieriges Leben, da ein Großteil seiner Arbeit nicht anerkannt wurde, weil er sich nur schwer verständlich ausdrücken konnte. So wurde er beispielsweise nicht an der führenden Pariser Universität, der Ecole Polytechnique, zugelassen und musste sich mit der Ecole Normale begnügen. Auch seine politischen Sympathien, er war Republikaner, machten ihm zu schaffen. Dies führte dazu, dass er von der Ecole Normale verwiesen wurde, als er einen Brief an eine Zeitung schrieb, in dem er den Direktor der Schule kritisierte. Er schloss sich einer republikanischen Miliz an und wurde später wegen seiner Mitgliedschaft (zweimal) inhaftiert. Beim zweiten Mal verliebte er sich in die Tochter des Gefängnisarztes, Stephanie-Felice du Motel, und starb nach seiner Entlassung bei einem Duell mit Perscheux d’Herbinville. Die Gründe für das Duell sind nicht ganz klar, aber es scheint, dass es etwas mit Stephanie zu tun hatte. Sein Tod löste republikanische Unruhen und Kundgebungen aus, die mehrere Tage andauerten.
Obwohl Galois oft als Erfinder der Gruppentheorie und der Galois-Theorie gilt, scheint es, dass ein italienischer Mathematiker namens Paolo Ruffini (1765-1822) viele der Ideen zuerst entwickelt hat. Leider wurden seine Ideen von der übrigen mathematischen Gemeinschaft zu jener Zeit nicht ernst genommen. Am Ende dieses Dokuments finden sich einige Links für alle, die mehr über die Geschichte der Gruppentheorie und der Galoistheorie erfahren möchten.
1.3 Überblick
Die Art und Weise, wie das obige Ergebnis über die Löslichkeit von Radikalen (unter Verwendung der Galoistheorie) bewiesen wird, besteht darin, ein Ergebnis über die Sammlung von Symmetrien unter den Wurzeln eines Polynoms zu beweisen, wenn die Wurzeln nur unter Verwendung der oben genannten speziellen Operationen aufgebaut werden. (Es stellt sich heraus, dass die Sammlung der Symmetrien eine so genannte lösliche Gruppe bilden muss. Mehr dazu am Ende dieses Artikels.) Dann findet man ein Polynom, für das die Symmetrien der Wurzeln diese spezielle Eigenschaft nicht haben, so dass man weiß, dass die Wurzeln nicht mit den speziellen Operationen aufgebaut werden können.
Im weiteren Verlauf dieses Artikels geht es darum, zu präzisieren, was wir unter einer Symmetrie der Wurzeln verstehen, und um die Struktur der Sammlung dieser Symmetrien.
1.4 Notation
1.5 Hinweise zum Lesen dieses Artikels
Der weitere Verlauf dieses Artikels ist recht schwierig. Es werden viele neue Begriffe eingeführt und immer wieder verwendet, und es gibt viele unbekannte Wörter. Am Ende des Artikels werde ich Ausdrücke wie $Q$ ist eine radikale Felderweiterung von $Q$ verwenden, weil sie auf jeder Stufe nur mit zyklotomischen Felderweiterungen aufgebaut werden kann. Lassen Sie sich von dieser scheinbar fremden Sprache nicht zu sehr abschrecken, jedes Wort wird erklärt, wenn es eingeführt wird. Die beste Strategie beim Lesen ist, langsam vorzugehen und sicherzustellen, dass Sie genau verstehen, was jedes Wort bedeutet, bevor Sie zum nächsten Abschnitt übergehen, denn dieses Wort wird immer wieder verwendet, und wenn Sie es nicht ganz verstehen, wird alles nur noch verwirrender, je weiter Sie lesen. Wenn Sie dies jedoch online lesen, können Sie einfach auf eines der unterstrichenen Wörter klicken, und die Originaldefinition wird in einem kleinen Fenster angezeigt.
2 Gruppen und Felder
An dieser Stelle sollten Sie überprüfen, ob Sie den Anweisungen bis jetzt gefolgt sind. Schau, ob du beweisen kannst, dass $S_n$ eine Gruppe ist und dass sie $n!$ Elemente hat. Wenn du mit der Idee von Mengen und Funktionen zufrieden bist, dann kannst du beweisen, dass $S_X$ eine Gruppe ist, auch wenn $X$ eine unendliche Menge ist.
2.2 Felder
2.3 Felderweiterungen
Definition (Felderweiterung):
Eine Felderweiterung eines Feldes $F$ ist ein Feld $K$, das $F$ enthält (wir schreiben eine Felderweiterung als $F\subseteq K$ oder $K/F$). Zum Beispiel sind die reellen Zahlen eine Felderweiterung der rationalen Zahlen, weil die reellen Zahlen ein Feld sind und jede rationale Zahl auch eine reelle Zahl ist.
2.4 Teilungsfelder
Hier beginnt die Galoistheorie.
Ein anderes Beispiel ist, dass das Teilungsfeld von $p(x)=x^4-5x^2+6$ $Q$ ist. Kannst du sehen, warum?
3 Automorphismen und Galoisgruppen
Du kannst überprüfen, dass die obige Funktion $f$ wirklich alle Bedingungen erfüllt.
Die Idee eines Feldautomorphismus ist, dass er nur eine Möglichkeit ist, die Elemente des Feldes umzubenennen, ohne die Struktur überhaupt zu ändern. Mit anderen Worten, wir können das Symbol $\sqrt{2}$ durch das Symbol $-\sqrt{2}$ ersetzen, alle unsere Berechnungen durchführen und dann das Symbol $-\sqrt{2}$ wieder in $\sqrt{2}$ zurückverwandeln und wir erhalten die richtige Antwort. Feldautomorphismen sind die richtige Art, diese Idee auszudrücken, denn die Bedingungen, dass $f(x+y)=f(x)+f(y)$ Multiplikation, Addition usw. bewahren.
3.2 Die Galoisgruppe
4 Löslichkeit durch Radikale
Weiter auf die Galoistheorie einzugehen, wäre leider zu kompliziert. Ich werde den Rest des Beweises für die Existenz von Polynomen, die nicht durch Radikale löslich sind, skizzieren.
5 Dreiteilung von Winkeln
Wie ich oben erwähnt habe, kann man mit Hilfe der Galoistheorie zeigen, dass es unmöglich ist, alle Winkel mit Lineal und Zirkel zu dreiteilen. Ich werde einen Beweis skizzieren, dass man einen Winkel von $20^{\circ}$ nicht mit Lineal und Zirkel konstruieren kann (und damit auch keinen Winkel von $60^{\circ}$).
Es ist nicht offensichtlich, dass jede konstruierbare Zahl in einer Felderweiterung dieser Form liegen muss, aber wir können in gewisser Weise sehen, warum, denn bei gegebenen Linienabschnitten der Länge $x$, $y$ ist es möglich, andere Linienabschnitte der Länge $x+y$, $x y$ und $1/x$ mit geometrischen Konstruktionen zu konstruieren. Außerdem kann man einen Streckenabschnitt der Länge $\sqrt{x}$ nur mit Hilfe geometrischer Konstruktionen konstruieren. Tatsächlich kann man auch zeigen, dass dies die einzigen Dinge sind, die man mit geometrischen Konstruktionen tun kann. (Wenn du es versuchen willst, kannst du das beweisen, indem du die Tatsache verwendest, dass alles, was du mit unmarkierten Linealen und Zirkeln tun kannst, darin besteht, den Schnittpunkt zwischen zwei Linien zu finden, was dir nur arithmetische Operationen liefert, den Schnittpunkt zwischen einer Linie und einem Kreis zu finden, was dir Quadratwurzeln liefert, und den Schnittpunkt zwischen Kreisen und Kreisen, was dir Quadratwurzeln liefert.) Kannst du sehen, warum das bedeutet, dass eine Zahl in einer konstruierbaren Felderweiterung (wie oben definiert) nur mit einem unmarkierten Lineal und Zirkel konstruiert werden kann, und dass nur Zahlen in konstruierbaren Felderweiterungen auf diese Weise hergestellt werden können?
Nächstens zeigst du, dass, wenn du ein kubisches Polynom $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$ hast, dessen Wurzeln keine rationalen Zahlen sind, die Wurzeln nicht konstruierbar sind. Das ist nicht sehr schwer zu beweisen, erfordert aber einige Kenntnisse, die über das hinausgehen, was ich für diesen Artikel voraussetze.
Hier ist der clevere Teil. Angenommen, man könnte einen $20^{\circ}$-Winkel konstruieren, dann wäre die Zahl $\cos(20^{\circ})$ konstruierbar (man kann einfach ein Lot von einem Punkt auf einer Linie bei $20^{\circ}$ auf die Horizontale im Abstand $1$ vom Ursprung fällen). Man kann jedoch zeigen, dass $\alpha=\cos(20^{\circ})$ eine Wurzel aus der Gleichung $8x^3-6x-1=0$ ist (indem man $\cos(60^{\circ})$ mit Hilfe der Additionsformel in Bezug auf $\cos(20^{\circ})$ erweitert). Es ist leicht zu zeigen, dass dies keine rationalen Wurzeln hat, und die Wurzeln sind daher nicht konstruierbar. Das bedeutet, dass wir keinen $20^{\circ}$-Winkel konstruieren konnten, weil wir dann in der Lage wären, $\cos(20^{\circ})$ zu konstruieren, was unmöglich ist. Ein $60^{\circ}$-Winkel kann also nicht dreigeteilt werden.
Man kann Methoden wie diese verwenden, um andere Ergebnisse darüber zu beweisen, welche Formen konstruiert werden können und welche nicht.
6 Weiterführende Literatur