Dieser Text stellt eine Einführung in die Differentialgeometrie für Studenten der Mathematik und Physik auf Graduiertenniveau dar. Die Darstellung folgt der historischen Entwicklung der Konzepte von Verbindung und Krümmung mit dem Ziel, die Chern-Weil-Theorie der charakteristischen Klassen auf einem Hauptbündel zu erklären. Auf dem Weg dorthin stoßen wir auf einige der Höhepunkte in der Geschichte der Differentialgeometrie, zum Beispiel Gauß‘ Theorema Egregium und den Gauß-Bonnet-Satz. Übungen im gesamten Buch testen das Verständnis des Lesers für das Material und veranschaulichen manchmal Erweiterungen der Theorie. Zu den Voraussetzungen für den Leser gehört zunächst eine gewisse Vertrautheit mit Mannigfaltigkeiten. Nach dem ersten Kapitel wird es notwendig, Differentialformen zu verstehen und zu handhaben. Für das letzte Drittel des Textes sind Kenntnisse der de Rham-Kohomologie erforderlich.

Voraussetzungsmaterial ist im Text des Autors An Introduction to Manifolds enthalten und kann in einem Semester gelernt werden. Zum Nutzen des Lesers und um gemeinsame Notationen zu etablieren, erinnert Anhang A an die Grundlagen der Theorie der Mannigfaltigkeiten. Um die Darstellung in sich geschlossener zu gestalten, sind außerdem Abschnitte über algebraische Konstruktionen wie das Tensorprodukt und die äußere Potenz enthalten.

Die Differentialgeometrie ist, wie der Name schon sagt, das Studium der Geometrie mit Hilfe der Differentialrechnung. Sie geht auf Newton und Leibniz im siebzehnten Jahrhundert zurück, aber erst im neunzehnten Jahrhundert, mit den Arbeiten von Gauß über Oberflächen und Riemann über den Krümmungstensor, erlebte die Differentialgeometrie ihre Blütezeit, und ihre modernen Grundlagen wurden gelegt. In den letzten hundert Jahren hat sich die Differentialgeometrie als unverzichtbar für das Verständnis der physikalischen Welt erwiesen: in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie, in der Gravitationstheorie, in der Eichtheorie und jetzt in der Stringtheorie. Die Differentialgeometrie ist unter anderem auch in der Topologie, bei mehreren komplexen Variablen, in der algebraischen Geometrie, bei komplexen Mannigfaltigkeiten und bei dynamischen Systemen nützlich. Das Gebiet hat sogar Anwendungen in der Gruppentheorie gefunden, wie in Gromovs Arbeit und in der Wahrscheinlichkeitstheorie, wie in Diaconis‘ Arbeit. Es ist nicht zu weit hergeholt, zu behaupten, dass die Differentialgeometrie zum Arsenal eines jeden Mathematikers gehören sollte.