Die Aussage ist falsch \color{#D61F06}{\textbf{falsch}}falsch.

Beweis:

Der Irrglaube, der hier am Werk ist, ist der, dass „wenn man auf der Zahlengeraden immer weiter nach oben geht, vorbei an immer größeren Zählzahlen, dann geben die Zählzahlen irgendwann einfach auf (irgendwo nach dem Punkt, an dem dein Lehrer es leid ist, Striche zu machen), und es wird ein Unendlichkeitszeichen (∞\infty∞) geben, das das Ende der Zahlengeraden markiert.“ Alternativ heißt es: „Unendlich ist am Ende der Zahlengeraden, aber es gibt immer noch unendlich viele Zahlen, die kleiner als unendlich sind und zwischen unendlich und jedem anderen Punkt auf der Geraden liegen.“ Beide Begriffe haben ihre Wurzeln in der Infinitesimalrechnung, sind aber grundlegend falsch.

Wenn Ihr Lehrer die Zahlenreihe mit ∞\infty∞ abschließt, ist dies eine irreführende Kurzform für die Darstellung, dass die Zahlenreihe unendlich weitergeht. Eine weniger irreführende Art, diesen Begriff darzustellen, könnte darin bestehen, die Zahlenreihe mit einem Pfeil zu verlängern. Wir könnten zusätzlich angeben, dass die ganzen Zahlen weitergehen, nachdem wir beschlossen haben, sie nicht mehr aufzuzeichnen, indem wir die übliche Notation für allgemeine Reihen verwenden: „…n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,…“, um in diesem Fall die Menge aller nichtnegativen, ganzen Zahlen zu beschreiben. Diese Menge ist auch bekannt als die „natürlichen Zahlen (N\mathbb{N}N)“ oder als die „nichtnegativen ganzen Zahlen“.

Das Missverständnis besteht darin, dass man ∞\infty∞ als ganze Zahl oder als eine der reellen Zahlen betrachtet. Dies ist nicht dasselbe wie der Glaube, dass ∞\infty∞ im englischen Sinne des Wortes „real“ oder „unreal“ ist. Die Unendlichkeit ist ein „echtes“ und nützliches Konzept. Allerdings gehört die Unendlichkeit nicht zur mathematisch definierten Menge der „reellen Zahlen“ und ist daher keine Zahl auf der reellen Zahlenreihe.

Die Menge der reellen Zahlen, R\mathbb{R}R, wird in den meisten Schulen vor dem Studium erklärt und nicht definiert. Und selbst dann wird sie in der Regel nur kurz erklärt, mit einer Beschreibung im Sinne von „alle Punkte auf einer Zahlengeraden“ und mit der zusätzlichen Ergänzung, dass „die negativen reellen Zahlen links von 0 und die positiven Zahlen rechts von 0 liegen.“

Die meisten Schüler lernen keine strenge Definition der reellen Zahlen, es sei denn, sie studieren Mathematik an einer Universität. Eine der häufigsten Definitionen, die man dann lernt, ist, dass die reellen Zahlen die Menge der Dedekind-Schnitte der rationalen Zahlen sind. Bei jeder strengen Definition der reellen Zahlen ist sofort klar, dass „unendlich“ nicht zur Menge der reellen Zahlen gehört.

Widerlegung: In der Grenzwertlehre wird die Unendlichkeit (∞\infty∞) wie jede andere Zahl behandelt. Warum machen wir das in der Infinitesimalrechnung, wenn das Unendliche eigentlich keine Zahl ist?

Antwort: Vielen wird in der Vorkalkulation oder in der Infinitesimalrechnung genau das beigebracht, was Sie beschreiben, und die Art und Weise, wie die Unendlichkeit behandelt wird, suggeriert fälschlicherweise, dass die Unendlichkeit nur eine weitere Zahl ist. Bei einer Funktion mit einer horizontalen Asymptote bei 5 könnte man zum Beispiel sagen, dass der Grenzwert von f(x)f(x)f(x) bei xxx gegen unendlich fünf ist: f(x)x→∞=5f(x)_{x\rightarrow \infty} = 5f(x)x→∞=5, und wenn f(x)f(x)f(x) eine vertikale Asymptote bei 171717 hat, wird gesagt, dass f(x)x→17=∞f(x)_{x\rightarrow 17} = \inftyf(x)x→17=∞. Dies ist für viele Schüler der erste Kontakt mit ∞\infty∞, und es ist eine sehr irreführende Einführung, da sie impliziert, dass ∞\infty∞ als eine Zahl behandelt werden kann, die einfach „größer als alle anderen Zahlen ist“

In diesem Zusammenhang ist Unendlichkeit jedoch nur eine Abkürzung für einen wohldefinierten Begriff einer Funktion, die keinen Grenzwert eines realen Wertes hat, sondern stattdessen unbegrenzt wächst. Siehe das Wiki über Grenzwerte von Funktionen für weitere Details!

Widerlegung: Ich habe die Unendlichkeit in Mathebüchern gesehen, und manchmal wird sie als eine Zahl definiert, die größer ist als alle nicht unendlichen Zahlen. Warum steht es dort, wenn es kein echtes mathematisches Konzept ist?

Erwiderung: Es gibt tatsächlich mathematische Zahlenmengen, wie die Kardinalzahlen und die Ordinalzahlen, in denen viele unterschiedlich definierte Versionen von ∞\infty∞ Zahlen sind. Und streng definierte Zahlensysteme, die ∞\infty∞ enthalten, haben viele wertvolle Anwendungen. In der Kardinalzahlmenge ist die Unendlichkeit zum Beispiel ein Maß für die Anzahl der reellen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen R\mathbb{R}R ist jedoch so definiert, dass sie jede Version von Unendlichkeit ausschließt.

Zudem müssen wir bei der Betrachtung der Kardinalzahlen unsere Vorstellung von der Unendlichkeit ändern: Sie ist keine Zahl im Sinne der „Zahlenreihe“, wie sie für die Reellen gilt. Stattdessen ist es ein Konzept zum Messen und Vergleichen der Größe von Mengen.

Siehe auch

• Reelle Zahlen
• Darstellung auf der reellen Geraden
• Dedekind-Schnitte
• Grenzwerte von Funktionen
• Liste häufiger Missverständnisse