Matematikeres tvang til at gøre tingene mere og mere komplekse er både en velsignelse og en forbandelse. Deres trang til at tage en idé og strække den så langt som muligt kan give fascinerende nye indsigter. Ulempen er, at efterhånden som matematikken bliver mere abstrakt og får magt til at beskrive store dele af konceptuel viden, bliver den sværere og sværere at beskrive med ord.
Så det er med tungt hoved, at jeg vender fokus i denne serie om millenniumprisproblemerne til Hodge-konjekturen. Det er et fantastisk krydsfelt mellem forskellige områder af matematikken, men en pine i torus at opsummere. Så da det er verdensmatematikkens dag, vil jeg starte med et løfte: så snart tingene bliver for komplekse, stopper jeg, mens jeg er i gang.
Mennesker har studeret matematikken af former længe før en trekant først fangede Pythagoras’ opmærksomhed omkring 500 f.Kr. I løbet af generationerne blev der studeret flere og mere komplicerede former, indtil det omkring to tusind år senere så ud til, at de var ved at løbe tør for energi. Matematikerne havde gjort alt, hvad de kunne finde på med formerne, og undervejs skabte de grundlaget for alt fra ingeniørarbejde til perspektivisk maleri. Så i 1637 indså en kvik ung matematiker og filosof i 1637, at hvis man abstraherede et skridt videre, var geometri faktisk det samme som algebra.
Descartes brugte det kartesianske koordinatsystem, som nu bærer hans navn, og gjorde sig mange tanker om, at en geometrisk linje blot var et sæt tal. Ligninger kan også frembringe et sæt tal som deres løsninger. Hvis begge disse talsæt var nøjagtig ens, kunne en linje tegnet på et stykke papir betragtes som det samme som løsningen på en ligning.
Dette var et skelsættende øjeblik i matematikken, der gjorde det muligt at anvende alle de værktøjer, der var udviklet i algebra, på geometri. Det er grunden til, at din matematiklærer i skolen blev så begejstret for at omdanne lineære grafer til ligninger: Enhver tilfældig linje kan opfattes som mængden af løsninger til en ligning som y = mx + c. Enhver cirkel er mængden af løsninger til (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Hvis man nu vil se, hvor en bestemt linje krydser en bestemt cirkel, kan man enten tegne figurerne geometrisk eller blot sammenligne ligningerne algebraisk. Begge metoder vil give det samme svar.
Matematikere nøjedes ikke med at stoppe ved linjer, og de fandt hurtigt ud af, at mere komplicerede ligninger, eller endog sæt af ligninger, der alle arbejder sammen, kunne give fantastiske former i alle mulige dimensioner. Nogle kunne stadig visualiseres som former – f.eks. de ligninger, hvis sæt af løsninger kortlægger overfladen af en ring, kendt som en torus – men mange af dem lå ud over det, vi kan forestille os, og var kun tilgængelige ved hjælp af algebra og en meget udstrakt fantasi.
Da matematikerne nu beskæftigede sig med objekter ud over det, vi kan visualisere, blev disse “former” generelt kendt som “algebraiske kredsløb”. Hvis en algebraisk cyklus var en dejlig glat og generelt velfungerende form, fortjente den også titlen “manifold”.
Der skete så to ting på én gang. For det første: En gruppe matematikere, kendt som topologer, begyndte at se på, hvad der sker, hvis man tegner former på en manifold. Man kunne forestille sig, at man har en ring-donut, og man tegner en trekant lige rundt om toppen (se billedet ovenfor). Eller måske en femkant.
Har du egentlig brug for begge dele? Hvis formen kunne glide og strække sig, så kunne trekanten blive forvrænget til en femkant. Topologer grupperede alle de former, der kunne forvrides fra den ene til den anden (uden at blive løftet fra den mangfoldige overflade), i en “homologiklasse” – en slags generaliseret form. Alle de former, der går gennem “hullet” i doughnut’en, ville danne en anden homologiklasse.
For det andet begyndte en gruppe matematikere, der kaldte sig algebraister, at tage ligningssæt, der allerede producerede pæne og ryddelige manifold’er, og tilføje flere ligninger. Disse ekstra ligninger producerede nye algebraiske kredsløb inden for disse manifolder.
Det varede ikke længe, før folk indså, at topologer, der tegnede homologiklasser på manifolder, og algebraister, der indlejrede algebraiske kredsløb i manifolder, faktisk var den samme ting. Det var en gentagelse af dengang geometriske former først mødte algebraiske ligninger. Vanskeligheden var, at ingen vidste med sikkerhed, hvornår en homologiklasse på en manifold indeholdt mindst én form, der også kunne beskrives som en algebraisk cyklus.
For at opsummere er en manifold en mærkelig (muligvis højdimensionel) form, der kan beskrives ved et sæt ligninger. Hvis man tilføjer ekstra ligninger, får man mindre former, kendt som algebraiske cyklusser, inden for denne manifold.
Problemet er: Hvis man tegnede en vilkårlig – muligvis grim – form på en manifold, hvordan ville man så vide, om den kan strækkes til en anden form, der kan beskrives som en fin algebraisk cyklus?
Den skotske matematiker William Hodge havde en god idé om, hvordan man kunne se, hvilke homologiklasser på en given manifold der var ækvivalente med en algebraisk cyklus. Men han kunne ikke bevise det. Hvis du kan bevise, at hans metode altid virker, så er prisen på 1 mio. dollars din.
Mit problem er, at jeg indtil nu har talt i form af dejlige almindelige numeriske koordinater og normale rumlige dimensioner. Hodge-konjekturen bruger faktisk det, der kaldes komplekse talkoordinater og komplekse rumlige dimensioner. Så selv om jeg meget gerne ville beskrive hele formodningen for dig, er dette præcis det punkt, hvor jeg lovede at stoppe.
Matt Parker arbejder på matematikafdelingen på Queen Mary, University of London, og kan findes online på standupmaths.com
For at få mere at vide om Hodge-konjekturen, kan denne video af et foredrag af Dan Freed fra University of Texas i Austin varmt anbefales
- Del på Facebook
- Del på Twitter
- Del via e-mail
- Del på LinkedIn
- Del på Pinterest
- Del på WhatsApp
- Del på Messenger