Side

Written by on in Articles

En funktionel ligning er groft sagt en ligning, hvor nogle af de ubekendte, der skal løses, er funktioner. Følgende er f.eks. funktionelle ligninger:

  • $f(x) + 2f\venstre(\frac1x\højre) = 2x$
  • $g(x)^2 + 4g(x) + 4 = 8\sin{x}$

Indledende emner

Inversen af en funktion

Inversen af en funktion er en funktion, der “ophæver” en funktion. Som eksempel kan du se funktionen: $f(x) = x^2 + 6$. Funktionen $g(x) = \sqrt{x-6}$ har den egenskab, at $f(g(x))) = x$. I dette tilfælde kaldes $g$ for den (højre) inverse funktion. (På samme måde kaldes en funktion $g$, således at $g(f(x))=x$ kaldes den venstre inverse funktion. Typisk falder højre og venstre inverse funktion sammen på et passende domæne, og i dette tilfælde kalder vi blot højre og venstre inverse funktion den inverse funktion for den inverse funktion). Ofte betegnes den inverse af en funktion $f$ med $f^{-1}$.

Intermediate Topics

Cykliske funktioner

En cyklisk funktion er en funktion $f(x)$, der har den egenskab, at:

$f(f(\cdots f(x) \cdots)) = x$

Et klassisk eksempel på en sådan funktion er $f(x) = 1/x$, fordi $f(f(x)) = f(1/x) = x$. Cykliske funktioner kan være en betydelig hjælp til løsning af funktionelle identiteter. Overvej denne opgave:

Find $f(x)$ således at $3f(x) - 4f(1/x) = x^2$. I denne funktionsligning lad $x=y$ og lad $x = 1/y$. Dette giver to nye ligninger:

$3f(y) - 4f\left(\frac1y\right) = y^2$

$3f\left(\frac1y\right)- 4f(y) = \frac1{y^2}$

Nu, hvis vi multiplicerer den første ligning med 3 og den anden ligning med 4 og adderer de to ligninger, får vi:

$-7f(y) = 3y^2 + \frac{4}{y^2}$

Så, det er klart, $f(y) = -\frac{3}{7}y^2 - \frac{4}{7y^2}$

Problemeksempler

  • 2006 AMC 12A Problem 18
  • 2007 AIME II Problem 14

Se også

  • Funktioner
  • Polynomier
  • Cauchy-funktionel ligning

Skriv et svar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.