Idee

Et Banachrum â¬\mathcal{B} er både et vektorrum (over et normeret felt som â\mathbb{R}) og et komplet metrisk rum, på en kompatibel måde. Derfor er det et komplet normeret vektorrum.

En kilde til simple Banach-rum kommer ved at betragte et kartesisk rum â n\mathbb{R}^n (eller K nK^n, hvor KK er det normerede felt) med normen:

hvor 1â¤pâ¤ââ1 \leq p \leq \infty (dette giver ikke strengt taget mening for p=âp = \infty, men hvis man tager grænsen som pââp \til \infty og læser â â=limⶠnâ n\mathbb{R}^\infty = \underset{\longrightarrow}{\lim}_n \mathbb{R}^n som den direkte grænse (i modsætning til den omvendte grænse), kommer vi frem til formlen â(x 1,â¦,x n)â â ââmax i|x i|{{\|(x_1,\ldots,x_n)\|_\infty} \coloneqq \max_i {|x_i|}).

Theorien om disse rum er imidlertid ikke meget mere kompliceret end teorien om finite-dimensionelle vektorrum, fordi de alle har den samme underliggende topologi. Når vi ser på uendeligt-dimensionelle eksempler, bliver tingene imidlertid vanskeligere. Almindelige eksempler er Lebesgue-rum, Hilbert-rum og sekvensrum.

I litteraturen ser man oftest Banach-rum over feltet â\mathbb{R} af reelle tal; Banach-rum over feltet â\mathbb{C} af komplekse tal er ikke meget anderledes, da de også er over â\mathbb{R}. Men folk studerer dem også over p-adiske tal. Medmindre andet er angivet, antager vi â\mathbb{R} nedenfor.

Definitioner

Lad VV være et vektorrum over feltet af reelle tal. (Man kan generalisere valget af feltet noget.) En pseudonorm (eller seminorm) på VV er en funktion

således at:

1. â0âââ¤0 {\|0\|0\|} \leq 0 ;
2. ârvâ=|r|âvâ {\|r v\||} = {|r|} {\|v\|} (for rr en skalar og vv en vektor);
3. âv+wââ¤âvâ+âwâ {\|v + w\||} \leq {\|v\||} + {\|w\|} .

Det følger af ovenstående, at âvâââ¥0{\|v\||} \geq 0; især er â0â=0{\|0\|0\|} = 0. En norm er en pseudonorm, der opfylder en omvendt funktion af dette: v=0v = 0, hvis âvâ=0{\|v\|} = 0.

En norm på VV er komplet, hvis, givet en hvilken som helst uendelig rækkefølge (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots), således at

der findes en (nødvendigvis unik) sum SS sådan, at

vi skriver

(med den højre side udefineret, hvis der ikke findes en sådan sum).

Så er et Banach-rum simpelthen et vektorrum udstyret med en komplet norm. Som i den reelle linje har vi i et Banach-rum, at

med venstre side garanteret at eksistere, hvis højre side eksisterer som et endeligt reelt tal (men venstre side kan eksistere, selv om højre side divergerer, den sædvanlige skelnen mellem absolut og betinget konvergens).

Hvis vi ikke insisterer på, at rummet er komplet, kalder vi det et normeret (vektor)rum. Hvis vi har et topologisk vektorrum, således at topologien stammer fra en norm, men vi ikke foretager et egentligt valg af en sådan norm, så taler vi om et normbart rum.

Banach-rum som metriske rum

De tre aksiomer for en pseudonorm minder meget om de tre aksiomer for en pseudometrisk.

I et hvilket som helst pseudonormeret vektorrum, lad afstanden d(v,w)d(v,w) være

Så er dd en pseudometrisk, som er translationsinvariant, idet

altid gælder. Omvendt, givet enhver translationsinvariant pseudometrisk dd på et vektorrum VV, lad âvâ{\|v\|} være

Så opfylder âââ{{\|-\||} aksiomerne (1â3) for en pseudonorm, bortset fra at den kun kan opfylde (2) for r=0,±1r = 0, \pm 1. (Med andre ord er det kun en G-pseudonorm.) Det vil faktisk være en pseudonorm, hvis pseudometrien opfylder en homogenitetsregel:

Så svarer pseudonormer netop til homogene translationsinvariante pseudometrikker.

Sådan svarer normer til homogene translationsinvariante metrikker og komplette normer svarer til komplette homogene translationsinvariante metrikker. Faktisk siger (1), at sekvensen af partielle summer er en Cauchy-sekvens, mens (2) siger, at sekvensen af partielle summer konvergerer mod SS.

Så kan et Banach-rum tilsvarende defineres som et vektorrum udstyret med en komplet homogen translationsinvariant metrik. Faktisk ser man normalt en slags hybrid tilgang: et Banach-rum er et normeret vektorrum, hvis tilsvarende metrik er komplet.

Maps mellem Banach-rum

Hvis VV og WW er pseudonormerede vektorrum, så kan normen for en lineær funktion f:VâWf\kolon V \til W defineres på en af disse ækvivalente måder:

• âfâ=sup{âfvâ|âvââ¤1} {\|f\|} = \sup \{ {\|f v\|} \;|\; {\|v\|} \leq 1 \} ;
• âfâ=inf{r|âv,âfvââ¤râvâ} {\|f\|} = \inf \{ r \;|\; \forall{v},\; {\|f v\|} \leq r {\|v\||} \} .

(Nogle andre former ses undertiden, men disse kan bryde sammen i degenererede tilfælde.)

For finite-dimensionelle rum har ethvert lineært kort en veldefineret finite norm. I almindelighed er følgende ækvivalente:

• ff er kontinuert (målt ved pseudometrierne på VV og WW) ved 00;
• ff er kontinuert (overalt);
• ff er ensartet kontinuert;
• ff er Lipschitz-kontinuerlig;
• ff er Lipschitz-kontinuerlig;
• âfâ{{\|f\|} er endelig (og, i konstruktiv matematik, placeret);
• ff er afgrænset (målt ved de bornologier, der er givet af pseudometrierne på VV og WW).

I dette tilfælde siger vi, at ff er afgrænset. Hvis f:VâWf\colon V \til W ikke antages at være lineær, er ovenstående betingelser ikke længere ækvivalente.

De afgrænsede lineære kort fra VV til WW danner selv et pseudonormeret vektorrum â¬(V,W)\mathcal{B}(V,W). Dette vil være et Banach-rum, hvis (og, bortset fra degenererede tilfælde af VV, kun hvis) WW er et Banach-rum. På denne måde er kategorien BanBan af Banach-rum en lukket kategori med â\mathbb{R} som enhed.

Den kloge læser vil bemærke, at vi endnu ikke har defineret Ban\mathbf{Ban} som en kategori! (overraskende nok i nLab) Der er mange (ikke-ækvivalente) måder at gøre det på.

I funktionel analyse er det sædvanlige begreb âisomorphismeâ for Banach-rum et afgrænset bijektivt lineært kort f:VâWf\colon V \til W, således at den omvendte funktion f â1:WâVf^{-1}\colon W \til V (som nødvendigvis er lineær) også er afgrænset. I dette tilfælde kan man acceptere alle afgrænsede lineære kort mellem Banach-rum som morfismer. Analytikere henviser undertiden til dette som den âisomorfe kategoriâ.

Et andet naturligt begreb for isomorfi er en surjektiv lineær isometri. I dette tilfælde tager vi en morfisme som et kort lineært kort eller en lineær sammentrækning: et lineært kort ff således, at âfâââ¤1{\|f\|} \leq 1. Denne kategori, som kategoriteoretikere generelt kalder Ban\mathbf{Ban}, omtales af analytikere undertiden som âisometrisk kategoriâ. Bemærk, at dette gør den âunderliggende mængdeâ (i betydningen Ban\mathbf{Ban} som en konkret kategori ligesom enhver lukket kategori) af et Banach-rum til dens (lukkede) enhedskugle

i stedet for mængden af alle vektorer i VV (den underliggende mængde af VV som et vektorrum).

Fra en kategoriteoretikers synspunkt er den isomorfe kategori i virkeligheden det fulde billede af inklusionsfunktoren fra BanBan til TVSTVS (kategorien af topologiske vektorrum), som kan betegnes Ban TVSBan_{TVS}. Hvis du arbejder i Ban TVSBan_{TVS}, så bekymrer du dig kun om den topologiske lineære struktur af dit rum (selv om du også bekymrer dig om, at den kan afledes af en eller anden metrik); hvis du arbejder i BanBan, så bekymrer du dig om hele strukturen på rummet.

Eksempler

Mange eksempler på Banach-rum er parametreret af en eksponent 1â¤pâ¤â1 \leq p \leq p \leq \infty. (Nogle gange kan man også prøve med 0â¤p<10 \leq p \lt 1, men disse giver generelt ikke Banach-rum.)

• Det kartesiske rum â n\mathbb{R}^n er et Banach-rum med

  â(x 1,â¦,x n)â p=â i|x i| pp. {\|(x_1,\ldots,x_n)\|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}} .

  (Vi kan tillade, at p=âp = \infty ved at tage en grænse; resultatet er, at âxâ â=max i|x i|x i|{\|x\x\|_\infty} = \max_i {|x_i|}.) Ethvert endeligt dimensionelt Banach-rum er isomorft til dette for nogle nn og pp; når man først har fastsat nn, er værdien af pp faktisk irrelevant op til isomorfi.

• Serierummet l pl^p er mængden af uendelige sekvenser (x 1,x 2,â¦)(x_1,x_2,\ldots) af reelle tal, således at

  â(x 1,x 2,â¦)â p=â i|x i| pp {\|(x_1,x_2,\ldots)\|_p} = \root p {\sum_i {|x_i|^p}}

  eksisterer som et endeligt reelt tal. (Det eneste spørgsmål er, om summen konvergerer. Igen er p=âp = \infty en grænse, med det resultat, at âxâ â=sup i|x i|{{\|x\x\|_\infty} = \sup_i {|x_i|}). Så er l pl^p et Banach-rum med denne norm. Disse er alle versioner af â â\mathbb{R}^\infty, men de er ikke længere isomorfe for forskellige værdier af pp. (Se isomorfi-klasser af Banach-rum.)

• Mere generelt: Lad AA være en hvilken som helst mængde, og lad l p(A)l^p(A) være mængden af funktioner ff fra AA til â\mathbb{R} således at

  âfâ p=â x:A|f(x)| pp {\|f\|_p} = \root p {\sum_{x: A} {|f(x)|^p}}}

  eksisterer som et endeligt reelt tal. (Igen, âfâ â=sup x:A|f(x)|{{\|f\|_\infty} = \sup_{x\colon A} {|f(x)|}.) Så l p(A)l^p(A) er et Banach-rum. (Dette eksempel omfatter de tidligere eksempler, for AA en tællelig mængde.)

• På ethvert målerum XX er Lebesgue-rummet â p(X)\mathcal{L}^p(X) mængden af målbare næsten overalt definerede realværdifunktioner på XX, således at

  âfâ p=â”|f| pp {\|f\|_p} = \root p {\int {|f|^p}}

  eksisterer som et endeligt reelt tal. (Igen, det eneste spørgsmål er, om integralet konvergerer. Og igen er p=âp = \infty en grænse, med det resultat, at âfâ â{\|f\|_\infty} er det essentielle supremum af |f|{|f|}). Som sådan er â p(X)\mathcal{L}^p(X) et komplet pseudonormeret vektorrum; men vi identificerer funktioner, der er lige store næsten overalt, for at gøre det til et Banach-rum. (Dette eksempel omfatter de tidligere eksempler, for XX en mængde med tællende mål.)

• Alle Hilbert-rum er Banach-rum; dette omfatter alle ovenstående eksempler for p=2p = 2.

Operationer på Banach-rum

Kategorien BanBan af Banach-rum er lille komplet, lille kokomplet og symmetrisk monoidal lukket med hensyn til dens standard interne hom (beskrevet under intern hom). Nogle detaljer følger.

• Kategorien af Banach-rum tillader små produkter. Givet en lille familie af Banach-rum {X α} αââA\{X_\alpha\}_{\alpha \in A}, er dens produkt i BanBan underrummet af vektorrumsproduktet

  â αâAX α\prod_{\alpha \in A} X_\alpha

  bestående af AA-tupler â¨x αâ©\langle x_\alpha \rangle, som er ensartet afgrænsede (dvs. der findes CC således, at âαâA:âx αââ¤C\for all \alpha \in A: {\|x_\alpha\|} \leq C), idet man tager den mindste af disse øvre grænser som normen for â¨x αâ©\langle x_\alpha \rangle. Denne norm kaldes â\infty-norm; i særdeleshed er produktet af en AA-indekseret familie af kopier af â\mathbb{R} eller â\mathbb{C} det, der normalt betegnes som l â(A)l^{\infty}(A).

• Kategorien af Banach-rum indrømmer equalizers. Faktisk er udligneren af et par kort f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y i BanBan kernen af fâgf-g under den norm, der er nedarvet fra XX (kernen er lukket, da fâgf-g er kontinuert, og er derfor komplet). Faktisk er enhver udligner en lige sektion i henhold til Hahn-Banach-teoremet. Enhver ekstrem monomorfisme er endda allerede en equalizer (og et afsnit): Lad f:XâYf\kolon X \til Y være en ekstrem monomorfisme, ι:â(f)âY\iota\kolon \Im(f) \til Y indlejringen af Im(f)Im(f) i kodomænet af ff og fâ²:XâIm(f)f\prime \kolon X \til Im(f) ff med begrænset kodomæne. Da fâ²f\prime er en epimorfisme, f=ιfâ²f=\iota f\prime, og ff ekstrem, er fâ²f\prime en isomorfi, således er ff en indlejring.

• Kategorien af Banach-rum tillader små coprodukter. Givet en lille familie af Banach-rum {X α} αâA\{X_{X_\alpha\}_{\alpha \in A}, er dens koprodukt i BanBan fuldendelsen af vektorrumskoproduktet

  ⨠αâAX α\±\bigoplus_{\alpha \in A} X_\alpha

  med hensyn til normen givet ved

  ââ⨠sâSx sâ=â sâSâx sâ, {\left\| \bigoplus_{s \in S} x_s \right\|} = \sum_{s \in S} {\\|x_s\|} ,

  hvor SâAS \subseteq A er endeligt og âx sâ{\|x_s\s\|} betegner normen for et element i X sX_s. Denne norm kaldes 11-normen; i særdeleshed er koproduktet af en AA-indekseret familie af kopier af â\mathbb{R} eller â\mathbb{C} det, der normalt betegnes som l 1(A)l^1(A).

• Kategorien af Banach-rum tillader coequalizers. Faktisk er coequalizer af et par kort f,g:XâYf, g: X \rightrightarrows Y den cokernel af fâgf-g under den kvotientenorm (hvor normen for en coset y+Cy + C er den minimale norm, der opnås af elementer i y+Cy + C; her er CC billedet (fâg)(X)(f-g)(X), som er lukket). Det er standard, at kvotientenorm på Y/CY/C er komplet, givet at normen på YY er komplet.

• For at beskrive tensorproduktet Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y af to Banach-rum (hvilket gør BanBan symmetrisk monoidal lukket med hensyn til dets sædvanlige interne hom), lad F(XÃY)F(X \times Y) være det frie vektorrum, der genereres af mængden XÃYX \times Y, med norm på et typisk element defineret ved

  â 1â¤iâ¤na i(x iây i)â=â 1â¤iâ¤n|a i|âx iâââ ây iâ. {\left\| \sum_{1 \leq i \leq n} a_i (x_i \otimes y_i) \right\||} = \sum_{1 \leq i \leq n} {|a_i|} {\\|x_i\||} \cdot {\|y_i\|}.

  Lad F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y) betegne dens færdiggørelse med hensyn til denne norm. Tag derefter cokernel af F¯(XÃY)\overline{F}(X \times Y) ved lukningen af det underrum, der er opspændt af de indlysende bilineære relationer. Denne kvotient er Xâ BanYX \otimes_{Ban} Y.

I litteraturen om Banach-rum kaldes ovenstående tensorprodukt normalt det projektive tensorprodukt af Banach-rum; se andet tensorprodukt af Banach-rum. Produktet og koproduktet betragtes som direkte summer; se andre direkte summer af Banach-rum.

Der skal beskrives:

• dualer (p+q=pqp + q = p q);
• komplettering (BanBan er en refleksiv underkategori af PsNVectPsNVect (pseudo-normerede vektorrum)).
• BanBan som en (noget større) kategori med duals.

Integration i Banach-rum

Dette afsnit beskriver nogle aspekter af integrationsteorien i Banach-rum, som er relevante for at forstå litteraturen om AQFT. I den givne sammenhæng kaldes elementer i et Banach-rum â¬\mathcal{B} undertiden for vektorer, en funktion eller et mål, der tager værdier i â¬\mathcal{B}, kaldes derfor for vektorfunktioner og vektormål. Funktioner og foranstaltninger, der tager værdier i det felt, som Banach-rummet er defineret på som et vektorrum, kaldes skalarfunktioner og skalarforanstaltninger.

Vi vil overveje to typer integraler:

• integraler af vektorfunktioner med hensyn til en skalarforanstaltning, specifikt Bochner-integralet,

• integraler af skalarfunktioner med hensyn til en vektorforanstaltning, specifikt spektralintegralet af en normaloperatør på et Hilbert-rum.

Bochner-integralet

Bochner-integralet er en direkte generalisering af Lesbegue-integralet til funktioner, der tager værdier i et Banach-rum. Når man i AQFT-litteraturen støder på et integral af en funktion, der tager værdier i et Banach-rum, er det sikkert at antage, at det er ment som et Bochner-integral. To punkter, der allerede er forklaret af Wikipedia, er af interesse:

1. En version af den dominerede konvergenssætning er sand for Bochner-integralet.
2. Der er sætninger, der ikke gælder for Bochner-integralet, især Radon-Nikodym-sætningen holder ikke generelt.

• Wikipedia

reference: Joseph Diestel: âSequences and Series in Banach Spacesâ (ZMATH entry), chapter IV.

The spectral integral

Integralet med hensyn til den spektrale foranstaltning af en afgrænset normal operatør på et Hilbert-rum er et eksempel på et Banach-rums integral med hensyn til en vektorforanstaltning. I dette afsnit præsenterer vi et velkendt, men noget mindre ofte citeret resultat, der er til brug i nogle beviser i nogle tilgange til AQFT, det er versionen af den dominerede konvergenssætning for den givne indstilling.

Lad A være en afgrænset normal operatør på et Hilbert-rum og E være itâs spektralmål (âresolutionen af identitetâ i Dunford og Schwartz’ udtryk). Lad Ï(A)\sigma(A) være spektret af A. For en afgrænset kompleks Borel-funktion f har vi så

Egenskaber

Relation til bornologiske rum

Alle induktive grænser af Banach-rum er et bornologisk vektorrum. (Alpay-Salomon 13, prop. 2.3)

Omvendt er ethvert bornologisk vektorrum en induktiv grænse af normerede rum, og af Banach-rum, hvis det er kvasikomplet (Schaefer-Wolff 99)

• refleksivt Banach-rum

• projektivt Banach-rum

• Banach-analytisk rum

Navnet efter Stefan Banach.

• Walter Rudin, Functional analysis

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.: âLinear operators. Part I: General theory.â (ZMATH entry), âLinear operators. Part II: Spectral theory, self adjoint operators in Hilbert space.â (ZMATH entry)

• Z. Semadeni, Banach spaces of continuous functions, vol. I, Polish scientific publishers. Warszawa 1971

• Daniel Alpay, Guy Salomon, On algebras which are inductive limits of Banach spaces (arXiv:1302.3372)

• H. H. Schaefer with M. P. Wolff, Topological vector spaces, Springer 1999