Den klassiske æra var præget af blomstrende innovation og oplevede en eksplosion af manuja grantham : siddhantas, bhaashyaas, vartikaas (forklaringer på kommentarer), karanas, tantraa og nyskabelser som vaakya-panchaangas, hvoraf et overraskende antal er blevet bevaret, redigeret, udgivet og nogle endda oversat til engelsk i de sidste par århundreder. Kritik, korrektion, observation, raffinement og fornyelse prægede denne periode på flere århundreder og på tværs af forskellige geografiske områder.
En interessant sidebemærkning for en økonom er de mange forskellige valutaer og mønter (dinara, paNaa, kaarshapaaNa, puraaNa, svarNaa) og vægte (pala, krosha) og mål (angula, hasta), der diskuteres i de forskellige bøger.
Det primære fokus er på astronomi, men hver siddhanta diskuterer også hovedstol, renter, renters rente, sammensætning, vækstrate og sådanne monetære beregninger.
Mahavira
Mahavira, Jain-matematikeren, der komponerede Ganita Saara Sangraha, skrev den første matematikbog, renset for astronomi.
Strukturen i hans bog er, at de første to eller tre strofer i hvert kapitel forklarer en algoritme eller formel, og resten af stroferne er problemer af den type, som læseren skal løse.
Hans brug af Jaina-symboler, templer, tilbedelsesmetoder, beregninger osv. er bogens enestående kendetegn.
Mahavira svælger i flere typer brøker: bhaaga (simpel brøk), prabhaaga( brøker af brøker), bhaagaabhaaga (komplekse brøker) og så videre. Et af de stillede problemer er f.eks. nedenstående:
दिवसैसत्रिभिस्सपादैरयोजनषट्कं चतुर्थभागोनम्
गच्छति यः पुरुशोसौ दिनयुतवर्षेण किं कथय ॥ ३ ॥
divasais-tribhis-sa-paadair-yojana-shaTkam caturta-bhaaga-unam
Gacchati yaH purusho-asau dina-yuta-varsheNa kim kathaya
Translation: Den mand (purusha), der (asau) går (gacchati) kvart (caturtha-bhaaga) mindre (unam) end seks (shaTka) yojanaas på tre (tribhi) og kvart (paadai) dage (divasau), fortæl (kataya), hvor meget (kim) han går på en dag (dina) og (yuta) et år (varsha).
Bhaskaracharya
Lilavati af Bhaskara, forfatter også til Siddhanta Siromani, er berømt selv for dem, der ikke er fortrolige med matematik, som et eksempel på smuk poesi, og har en populær legende omkring sig.
Lige Mahavira smed Bhaskara flere eksempler fra dagligdagen ind for at stille matematiske problemer, og ligesom Varahamihira svælgede han i sine poetiske talenter.
Lilavati er den normalt eneste matematikbog, som sanskritordbøger citerer. Den inspirerede til utallige kommentarer, gennem århundreder, oversættelse til flere sprog og blev standardlærebog i indisk matematik.
Bhaskara rettede Aryabhatas forkerte formel for volumen af en kugle, som selv Brahmagupta undgik (som rettede Aryabhatas forkerte formel for volumen af et tetraeder).
Han gav også korrekte volumener for overfladearealet af en kugle. Hans metafor om et net, der dækker en bold (kandukasya jaalam), for kuglens volumen antyder, at han var stødt på kimen til ideen om infinetismer og beregning. Men disse områder skulle først udvikle sig i senere århundreder, i Kerala.
Bhaskara introducerede også begrebet kha-hara (et tal divideret med nul) for uendelighed (ikke kun det filosofiske ananta (uendelig).
Bhaskara var også blandt de tidligste til at give beviser for nogle af sine afledninger, og ikke overlade det til kommentatorer eller kun undervise elever. Efter korte udforskninger af Pingala og Varahamihira udforskede Bhaskara også permutationer og kombinationer.
På Bhaskaras tid havde algebraen udviklet sig til en avanceret tilstand. Han erkender, at han byggede videre på sine forgængere Sridhara og Padmanabhas værker.
Historisk perspektiv
Indiske matematikere brugte irrationelle kvadratrødder i tusind år og sinus og cosinus i flere århundreder, før de opdagede de negative tal. Inspirationen til negative tal stammer fra handel og gældsbegrebet, ikke fra nogen religiøs filosofi.
Det krævede seks århundreder og en Bhaskara at rette Aryabhatas fejl med hensyn til kuglevolumen. Bhaskara indså, at division med nul giver uendelighed, men forstod ikke fuldt ud konsekvenserne heraf.
Fra Aryabhatas begrænsede række til Virasenas uendelige række tog det kun to århundreder. De opdagede uendelige serier, der summerede til et endeligt tal, i seks århundreder, før de satte spørgsmålstegn ved det.
Som dampmaskinen blev opfundet et århundrede før den meget enklere cykel, er matematikkens historie fyldt med eksempler på, at komplekse begreber blev opdaget før meget enklere begreber.
Astronomi inspirerede ekstraordinær matematik, men narrede og vildledte også ofte de største matematikere.