Indledning

At klargøre et objekt, foretage en måling på det og registrere resultatet udgør et forenklet billede af et fysisk eksperiment på objektet. Ved at gentage den samme procedure flere gange kan man indsamle statistik (relative hyppigheder) over de registrerede resultater. Idéen om statistisk kausalitet er udtryk for den overbevisning, at denne statistik kan tilnærmes og modelleres ved hjælp af et sandsynlighedsmål, der afhænger af målingen og forberedelsen.

Dette enkle billede gives ofte som en intuitiv baggrund for formuleringen af probabilistiske fysiske teorier om objekter, der bygger på den statistiske dualitet mellem begreberne tilstande (ækvivalensklasser af præparater) og observabler (ækvivalensklasser af målinger), hvor dualiteten er givet ved en sandsynlighedsfunktion, der tildeler hver tilstand og hver observabel et sandsynlighedsmål, der udsætter sandsynlighederne for måleresultater for denne observabel i den pågældende tilstand.

I en aksiomatisk tilgang sigter man mod at indføre fysisk plausible strukturer for samlingerne af alle tænkelige tilstande (præparater) og observabler (målinger), således at sandsynlighedsfunktionens form kan bestemmes.

I dette papir skitserer vi en sådan tilgang for kvantemekanikken. I § 2 erindres kort om den generelle ramme og de relevante Hilbertrumstrukturer. I §3 anvendes en sætning af Solér til at identificere den generelle orthomodulære struktur med en Hilbertsk struktur. Den rolle, som symmetrien spiller, der er skjult i denne afgørende sætning, bliver belyst. Endelig gennemgår vi nogle argumenter, der tyder på, at kvantemekanikken skal formuleres i et komplekst Hilbert-rum (§4).

Grundlæggende strukturer

(a) Udgangspunkt

Lad S og O være to ikke-tomme mængder, mængderne af alle tilstande og alle observabler i et fysisk system, der skal studeres. En observabel hører sammen med et ikke-tomt sæt Ω og en sigma-algebra af delmængder af Ω. Vi lader , eller blot E, betegne en observabel. Mængden Ω antages at beskrive de mulige måleresultater for den observerbare, mens σ-algebraens elementer forstås som de testmængder, inden for hvilke grupper af resultater tælles. I de fleste anvendelser er dette sæt en delmængde (åben eller lukket) af den reelle linje (eller plan), og σ-algebraen er de tilsvarende Borel-mængder.

Den grundlæggende antagelse for den fremgangsmåde, der følges her, er følgende: for hver tilstand α∈S og for hver observerbar E findes der et sandsynlighedsmål , som giver sandsynlighederne for måleresultater for den observerbare E i tilstanden α.

Mængden S af tilstande er naturligt udstyret med en konveks struktur og kan som sådan ses som en konveks delmængde af et reelt vektorrum. Denne struktur gør det muligt at skelne mellem de rene tilstande, de ekstreme elementer af S, og de blandede tilstande, de ikke-ekstreme elementer. Vi lader ex(S) betegne mængden af rene tilstande, selv om den til at begynde med kan være tom. Hvis α=λλβ1+(1-λ)β2 er en blanding af tilstande β1,β2 med vægten 0≤λ≤1, så er p(α,E,X)=λp(β1,E,X)+(1-λ)p(β2,E,X) for hver observerbar E og et værdisæt ved definition af den konvekse struktur af S. Hvert par (E,X) definerer således en affin funktion S∋α↦p(α,E,X)∈. Vi siger, at en affin funktion f:S→ er en eksperimentel funktion, eller effekt, hvis f(α)=p(α,E,X) for et par (E,X). Vi lader E⊂S betegne mængden af alle eksperimentelle funktioner. Det er klart, at 0,1∈E, og hvis f∈E, så er også f⊥=1-f∈E. Den naturlige orden af funktioner S→ giver E strukturen af en delvist ordnet mængde med de universelle grænser 0,1, og kortet f↦f⊥ er en involutiv anti-automorfi. Det er klart, at E ikke behøver at være et gitter (med hensyn til ≤), og at kortet f↦f⊥ ikke behøver at være en ortokomplementering. Lejlighedsvis kan vi også betragte tilstande som funktioner på E ved at skrive α(f)=f(α). De bevarer både rækkefølgen og involutionen.

Det viser sig, at ved formulering af aksiomer for teorien er parret (S,E) af tilstande og eksperimentelle funktioner lettere at håndtere end parret af tilstande og observabler. Bemærk også, at hver f∈E sammen med f⊥∈E kan forstås som en ja-nej-måling (eller en to-værdig observabel), hvor f(α)=p(α,E,X) og f⊥(α)=p(α,E,X′) giver sandsynlighederne for henholdsvis ja- og nej-resultatet.

(b) Hilbert space case

Hvor vi går videre med den generelle struktur, skal vi minde om nogle velkendte aspekter af kvantemekanikken i Hilbert space. Antag, at mængden S af tilstande kan identificeres med mængden af positive trace one-operatører på et komplekst separabelt Hilbert-rum . Derefter udvides hver eksperimentel funktion f til en positiv lineær funktionel på , den selvadjungerede sporklasse. Derfor er der for enhver f en unik positiv enhedsafgrænset operatør 0≤E≤I, således at f(α)=tr for alle α∈S. Lad (E,X) være et par, for hvilket f(α)=p(α,E,X)=tr. Da kortet X↦p(α,E,X) for ethvert α er et sandsynlighedsmål, konkluderer vi, at det observerbare E er et normaliseret positivt operatørmål . Her er det naturligt at antage, at mængden E af alle eksperimentelle funktioner er identificeret med hele mængden af effektoperatører, positive enhedsafgrænsede operatører på .

Antag dernæst, at mængden af eksperimentelle funktioner E falder sammen med projektionsgitteret af . I så fald kan enhver tilstand betragtes som et sandsynlighedsmål på . Ved Gleason’s sætning, hvis ethvert sandsynlighedsmål på udspringer af en unik positiv trace one-operator og man har igen traceformlen for sandsynlighederne: for ethvert , P(α)=α(P)=tr, hvor tilstanden α er identificeret med elementet af givet ved Gleason-sætningen. I denne tilgang er det naturligt at antage, at mængden S af tilstande falder sammen med mængden af alle sandsynlighedsforanstaltninger på og dermed , således at observabler kan identificeres med normaliserede projektionsvurderede foranstaltninger .

Man kunne også tage udgangspunkt i den antagelse, at mængden E af eksperimentelle funktioner identificeres med hele mængden af effektoperatører. Så kan igen enhver tilstand, når den er begrænset til sin delmængde , identificeres med et element af , hvor sporformlen giver sandsynlighederne.

Endeligt kan man antage, at og at enhver tilstand α:E→ ikke blot bevarer rækkefølgen og involutionen, men også er delvist additiv (dvs. for alle , hvis , så er α(A+B)=α(A)+α(B)) og har følgende kontinuitetsegenskab: hvis (Ai)i∈I er et stigende net i , så er . Så kan hver tilstand α igen, uden at bruge Gleasons sætning, identificeres med et unikt element i og α(E)=tr.

(c) Orthomodulært tilfælde

(i) Generel struktur

I en axiomatisk tilgang baseret på den statistiske dualitet (S,E) er strategien at stille fysisk plausible antagelser om mulighederne for præparationer og målinger. Både Mackey-tilgangen (kvantelogik) og Davies-Lewis-tilgangen (konveksitet) har denne fælles baggrund.

For præparationer vedrører en typisk antagelse eksistensen af et tilstrækkeligt stort sæt af rene tilstande (tilstande med maksimal information), f.eks. i den forstand, at dette sæt er stort nok til at bestemme rækkefølgen af de eksperimentelle funktioner. En anden almindelig antagelse er, at rene tilstande ikke blot kan forberedes, men også identificeres med passende ja-nej-målinger. Denne antagelse sammenfletter allerede sættene af tilstande og eksperimentelle funktioner, ja-nej-målinger, ud over dualiteten. Yderligere antagelser vedrørende strukturen af mængden E formuleres typisk som et krav om eksistensen af en tilstrækkelig stor delmængde L⊂E af ja-nej-målinger, der kvalificerer sig som ideelle, første-slags og gentagelige målinger.

Siden de banebrydende arbejder af Mackey og Davies & Lewis , er ovenstående typer af argumenter blevet studeret udførligt i litteraturen; se f.eks. monografierne eller vores nylige oversigt . Vi gentager ikke disse argumenter, men anfører blot det velkendte slutresultat:

• (a) Der findes en delmængde L⊂E af effekter, kaldet propositioner eller skarpe effekter, som har en struktur L=(L,≤,⊥,0,1) af et delvist ordnet, ortokomplementeret, orthomodulært, komplet gitter, med de universelle grænser 0 og 1, som er atomistisk, separabel, har den dækkende egenskab og er irreducibel.

• (b) Mængden S af tilstande kan ses som en σ-konveks mængde af sandsynlighedsforanstaltninger på L, som har en tilstrækkelig mængde ex(S) af rene tilstande: for enhver a,b∈L, a≤b hvis α(a)≤α(b) for alle α∈ex(S).

• (c) Der er en bijektiv korrespondance mellem mængderne ex(S), de rene tilstande i S, og At(L), atomerne i L, givet ved støtteprojektionen α↦s(α), hvor s(α) er det mindste element, for hvilket α(b)=1,b∈L.

Vi kommenterer her kun de to, måske mest teknisk udseende egenskaber: separabilitet og irreducibilitet. Enhver observabel E, hvis tilknyttede eksperimentelle funktioner er propositioner (eller skarpe effekter), kan ses som σ-homomorfi , hvor intervallet er en boolsk sub-σ-algebra af L. Adskilleligheden af L indebærer, at enhver boolsk sub-σ-algebra af L kan ses som et interval af en observabel med det reelle værdirum . L’s irreducibilitet viser, at dualiteten (S,E) beskriver et egentligt kvanteobjekt. Faktisk følger denne egenskab f.eks. af den antagelse, at der for to vilkårlige rene tilstande α,β∈ex(S), α≠β findes en tredje γ∈ex(S), α≠γ≠β, som er deres superposition (f.eks. i den forstand, at γ’s støtte er indeholdt i sammenføjningen af α’s og β’s støtte).

Kortet ⊥ er, når det er begrænset til L, faktisk en ortokomplementering, og det gør L orthomodulær; dvs. for enhver a,b∈L, hvis a≤b, så er b=a∨(a∧b⊥). Vi minder om, at a og b siges at være gensidigt ortogonale, a⊥b, hvis a≤b⊥. Det er disse strukturer, der gør det muligt at definere sandsynlighedsforanstaltninger på L. Lad Prob(L) betegne mængden af alle sandsynlighedsforanstaltninger på L; dvs. alle de kort μ:L→ , for hvilke for en hvilken som helst sekvens af parvis ortogonale elementer ai∈L. Ved punkt (b) er mængden S af tilstande en sigma-konveks delmængde af Prob(L), og ved (c) er de rene tilstande i en-til-en på korrespondance med atomerne i L. Selv om det er indlysende, understreger vi, at mængden af tilstande kan være en egentlig delmængde af alle sandsynlighedsforanstaltninger på L.

Mængden L af sætninger med egenskaberne i ovenstående punkt (a) er kendt for at tillade en vektor-rumkoordinering.

(ii) Orthomodulær rumrealisering

Lad (V,K,*,f) være et hermitisk rum, dvs. at V er et (venstre) vektorrum over en divisionsring K, er kortet K∋λ↦λ*∈K en involutiv anti-automorfi, og kortet V ×V ∋(u,v)↦f(u,v)∈K er en (ikke-singulær) hermitisk form.

Et underrum M⊂V siges at være f-lukket, hvis M=M⊥⊥⊥, hvor

Mængden Lf(V) af alle f-lukkede underrum af V danner et irreducibelt komplet ortokomplementeret gitter med hensyn til delmængdens inklusion ⊆ og kortet M↦M⊥. Det er også atomistisk og har den dækkende egenskab. Det indeholder alle de finit-dimensionelle underrum, og de endimensionelle underrum ={λv | λ∈K},v≠0, er atomer i Lf(V). Gitteret Lf(V) er kendt for at være orthomodulært præcis når rummet (V,K,*,f) er orthomodulært ; det vil sige, hvis for ethvert M∈Lf(V),

Den omvendte påstand er en samling af fundamentale resultater fra projektiv geometri. Detaljerede beviser er givet i bøgerne af Varadarajan og Maeda & Maeda & Maeda . Dette resultat forudsætter, at længden af gitteret L, dvs. længden af en maksimal kæde i L, er mindst 4, hvilket betyder, at vektorrummet V er mindst tredimensionalt.

Sætning 2.1

Hvis længden af er mindst 4, så findes der et orthomodulært rum (V,K,*,f), således at gitteretaf de f-lukkede underrum i V er orthoisomorft til, kort sagt,.

Mængden S af tilstande kan nu identificeres som en delmængde af alle sandsynlighedsforanstaltninger på Lf(V), dvs. S⊂Prob(Lf(V)); hvert α∈S har sin støtte s(α)∈Lf(V), og hvert M∈Lf(V) er en støtte for et eller andet α∈S. Desuden er de rene tilstande α∈ex(S) i én-til-én onto korrespondance med atomerne ∈Lf(V), og de er entydigt bestemt af deres værdier på atomerne, dvs. af tallene α()∈. Det er klart, at hvis (V,K,*,f) er et klassisk orthomodulært rum, dvs. et Hilbert-rum over , så er f indre produkt og ved Gleason’s theorem

for ethvert v′∈,v′≠0,u′∈,u′≠0. I dette tilfælde falder mængden Prob(Lf(V)) af alle sandsynlighedsforanstaltninger på Lf(V) sammen med mængden af tilstande S i objektet, fordi nu.

De ovenstående generelle strukturer vedrørende parret (S,L), L⊂E, indebærer, at det orthomodulære vektorrum V må tillade en rig mængde af sandsynlighedsforanstaltninger på Lf(V). I finit-dimensionelle tilfælde er dette ikke nok til at gøre rummet til et Hilbert-rum. Hvis , , , med identitetskortet som involution , så er et orthomodulært rum. Mængden er mængden af alle underrum til , og for hvert af dem definerer ovenstående formel et sandsynlighedsmål på . Hvis betegner det σ-konvekse skrog af alle sådanne sandsynlighedsforanstaltninger på , så deler parret alle de egenskaber, der er anført i ovenstående punkter (a)-(c), selv om ikke er et Hilbert-rum. I dette tilfælde er en korrekt delmængde af . (For nærmere oplysninger, se .) Der findes også uendelig-dimensionelle orthomodulære rum, som ikke er Hilbert-rum, men som tillader rige mængder af sandsynlighedsforanstaltninger . Det er dog stadig et åbent spørgsmål, om et uendeligt-dimensionelt orthomodulært rum med egenskaberne (b) og (c) skal eller ikke skal være et Hilbert-rum.

En sætning af Solér karakteriserer Hilbert-rum blandt de uendeligt-dimensionelle orthomodulære rum med en egenskab, der i det mindste delvist er åben for en operationel begrundelse. Vi vender os til dette spørgsmål næste gang.

Solérs sætning og symmetri

(a) Solérs sætning

Opnå igen den statistiske dualitet (S,E) med egenskaberne (a)-(c) i §2c(i). På grund af L’s separabilitet er enhver indbyrdes ortogonal familie af elementer i L højst tælleligt uendelig. Det er naturligt at antage, at sådanne tælleligt uendelige sekvenser findes; f.eks. i et meget naturligt tilfælde, hvor det fysiske objekt, der skal betragtes, kan lokaliseres i et euklidisk rum, er denne betingelse garanteret. Vi antager således, at der findes mindst én uendelig sekvens af gensidigt ortogonale atomer i L. I dette tilfælde er det orthomodulære rum (V,K,*,f), der er forbundet med L, uendeligt dimensionelt, og der findes mindst én uendelig sekvens af (ikke-nul) vektorer (ei)⊂V, som er ortogonal; dvs. f(ei,ej)=0 for alle i≠j. Solérs sætning karakteriserer Hilbertrum blandt sådanne orthomodulære rum.

Sætning 3.1

Lad (V,K,*,f) være et uendeligt-dimensionelt orthomodulært rum. Hvis der findes en uendelig ortogonal sekvensmed egenskaben

3.1

så er K(reelle tal),(komplekse tal) eller(kvaternioner), og (V,K,*,f) er det tilsvarende Hilbert-rum. Forer involutionen * identitetskortet; forer det den komplekse konjugation; og forer det den kvaternioniske konjugation.

Den yderligere “normbetingelse” (3.1) ser ganske uskyldig ud, men er faktisk en meget stærk betingelse, som det fremgår af Kellers arbejde . Selv om denne egenskab er udtrykt i form f og ikke er direkte relateret til dualitetens egenskaber, har den en forbindelse til den gennem teorien om symmetri.

(b) Symmetri

Der findes flere naturlige formuleringer af symmetribegrebet i kvantemekanikken, og de viser sig alle at være ækvivalente (f.eks. ). Dette gælder fortsat også for statistiske dualiteter med egenskaberne (a)-(c) i §2c(i). Med henblik på at anvende teorien om symmetri i forbindelse med sætning 3.1 vedtager vi følgende definition af symmetribegrebet: En symmetri er en bijektiv afbildning ℓ:At(L)→At(L), som er sådan, at for ethvert p,q∈At(L) er atomerne p og q indbyrdes ortogonale, hvis og kun hvis deres billeder ℓ(p) og ℓ(q) er sådanne. Husk på, at for Lf(V) er atomerne og ortogonale præcis, når f(v′,u′)=0 for nogle og dermed alle ikke-nul vektorer v′∈, u′∈. Da atomerne og de rene tilstande er i én-til-én på korrespondance, kan vi lige så godt betragte en symmetri som en bijektion på ex(S), med den forståelse, at den gensidige ortogonalitet af rene tilstande betyder den gensidige ortogonalitet af de tilsvarende atomer, de rene tilstandes understøtninger.

Som i Hilbertrumteorien kan enhver symmetri ℓ implementeres ved et kort S, der virker på det underliggende vektorrum V . Udvides en symmetri ℓ:At(L)→At(L) til en projektivitet af (V,K,*,f), dvs. en ordensbevarende bijeksion på gitteret af alle underrum af V (f.eks. ), giver den første fundamentale repræsentationssætning i projektiv geometri sammen med den uendelig-dimensionelle version af Birkhoff-von Neumann-sætningen følgende resultat.

Sætning 3.2

For enhver symmetri findes der et ortogonalitetsbevarende bijektivt g-lineært kort S:V →V således, at for ethvert v∈V , v≠0, ℓ()={Sv′ | v′∈}. Hvis T er et andet bijektivt h-lineært kort V →V , der inducerer den samme symmetri, så er der et λ∈K , således at Sv=λTv for ethvert v∈V . Desuden er der en ρ∈Cent(K), ρ≠0, ρ=ρ*, således at

3.2

for alle u,v∈V .

Vi minder om, at begrebet g-lineært kort S:V →V betyder, at S er additiv på V , g:K→K er en isomorfi og S(λv)=g(λ)Sv for alle v∈V,λ∈K.

Lemma 3.3

Lad , være to vilkårlige gensidigt ortogonale atomer iLf(V). Hvis der findes ikke-nul vektorerx′∈ ogy′∈ således, at

så er der en symmetri ℓ, som bytter om på atomerne og , dvs. ℓ()= og ℓ()= og har en superposition af dem som et fast punkt, dvs. der er et atom ≤∨ således, at ℓ()=.

Dette lemma, bevist i , antyder, at for at en statistisk dualitet (S,E) med egenskaberne (a)-(c) i §2c(i) har en Hilbertrum-realisering, skal mængden af symmetrier være tilstrækkelig rig. Det er værd at understrege, at begrebet superposition af rene tilstande, som også ligger bag L’s irreducibility, spiller en rolle i dette lemma. Endvidere er det interessant at minde om, at et kvanteobjekt er elementært med hensyn til en symmetri gruppe G, hvis der findes en gruppehomomorfi defineret på G og tager værdier i mængden Sym(L) af alle symmetrier af At(L), således at for enhver ren tilstand α∈ex(S) er mængden {ℓg(α) | g∈G} komplet i betydningen superpositioner, dvs. at enhver anden ren tilstand β∈ex(S) kan udtrykkes som en superposition af nogle rene tilstande ℓg(α), g∈G .

Antag nu, at der for to vilkårlige indbyrdes ortogonale atomer og der er en symmetri ℓ sådan, at ℓ()= og ℓ()= for nogle ≤∨. Lad S,g,ρ være en tripel, som implementerer ℓ i henhold til sætning 3.2. For ethvert y′∈ er der et x′∈, således at Sx′=y′. Så er f(y′,y′)=f(Sx′,Sx′)=g(ρ)g(f(x′,x′)). Hvis vi antager, at formen f er sådan, at for hvert v∈V er tallet f(v,v) et kommuterende element af K, dvs. f(v,v)∈Cent(K), så er for ethvert z′∈ Sz′=λz′ for noget λ∈K, og dermed er λλ*f(z′,z′)=f(λz′,λz′)=g(ρ)g(ρ)g(f(z′,z′)). Denne ligning giver g(ρ)=λλ* under forudsætning af, at g(f(z′,z′))=f(z′,z′). Så er også f(y′,y′)=f(λx′,λx′), hvilket er det, der er nødvendigt i sætning 3.

Overstående iagttagelser viser, at hvis mængden af symmetrier er tilstrækkelig rigelig i den forstand, at der for hvert parvis ortogonale atomer findes en symmetri, der bytter atomerne og beholder en superposition af dem som et fast punkt, og hvis formen f er tilstrækkelig regelmæssig i den forstand, at for hvert v∈V , f(v,v)∈Cent(K) og g(f(v,v))=f(v,v) for enhver automorfisme g i K, så er betingelserne i Solérs sætning opfyldt, og dermed er det uendeligt-dimensionelle orthomodulære rum (V,f,*,K), der modellerer en statistisk dualitet (S,E), med egenskaberne (a)-(c) i §2c(i), et Hilbert-rum over eller .

Vi konkluderer, at op til spørgsmålet om formens regularitet er nødvendigheden af en uendelig-dimensionel Hilbertrum-realisering af den statistiske dualitet (S,E) af et kvantesystem velforstået.

Faldet for

Vi er tilbage med spørgsmålet om valget af talfeltet. Vi er ikke i stand til at give et endeligt svar på dette spørgsmål, men vi ønsker at påpege nogle, i grunden velkendte resultater, som samlet set støtter valget af det komplekse felt som det for kvantemekanikken.

Det er velkendt, at kvantemekanikkens grundstrukturer er lige gyldige i hvert af de tre tilfælde af et uendeligt-dimensionelt Hilbert-rum over eller . Ved Gleason’s sætning , sætning 4.23, kan systemets tilstande identificeres med de positive operatører med enhedsspor og de observerbare størrelser som de normaliserede positive operatørmål , med sporformlen tr, der giver måleresultatets sandsynligheder. Desuden er skarpe (projektionsvurderede) observabler i én-til-én på korrespondance med de selvadjunkte operatører , sætning 4.11; for en systematisk undersøgelse af operatørteori i kvaternioniske Hilbertrum (f.eks. ). Desuden reduceres sætning 3.2 med Solérs sætning til Wigners sætning , sætning 4.29.

Det er ligeledes velkendt, at de tre tilfælde udviser nogle bemærkelsesværdige forskelle. Det er kun i det komplekse tilfælde, hvor de enparametriske enhedsgrupper svarer, via Stones sætning, til de selvadjunkte operatører A, der virker i . I de reelle og kvaternioniske tilfælde indebærer dette vigtige ændringer i strukturen af observabler, der er defineret ud fra deres karakteristiske symmetriegenskaber (f.eks. , kap. 22, , kap. 18, ). Vi minder også om, at der er symmetritransformationer, som kun kan realiseres i det komplekse tilfælde (f.eks. ). Desuden synes afledbarheden af forberedelsesusikkerhedsrelationerne af Heisenberg-Kennard-Robertson-typen og operationen af tidsomvendelse at kræve komplekse tal (f.eks. , s. 66, , , , s. 47-49). Især ser det ud til, at en systematisk fortolkning af kvantemekanikken i et reelt Hilbert-rum faktisk kræver, at den indlejres i et komplekst rum. Derfor kan man, selv om det ikke er en logisk nødvendighed, anvende Occams barberkniv til at tilsidesætte det reelle tilfælde som en unødvendig komplikation i forhold til at formulere kvantemekanikken i et komplekst Hilbert-rum.

Hvad med quaternioner? I betragtning af Adlers omfattende monografi Quaternionic Quantum Mechanics and Quantum Fields , kunne man finde det malplaceret at sætte spørgsmålstegn ved denne mulighed. Ud fra et matematisk synspunkt, og også i overensstemmelse med , kunne man imidlertid påpege, at de fleste af de vigtige resultater af operatørteorien i kvaternioniske Hilbertrum opnås ved en reduktion til det komplekse tilfælde ved hjælp af “slice”-teknikken som anvendt f.eks. i . Som i det reelle tilfælde kan Occams barberkniv derfor også anvendes til at udelukke kvaternioner. Der er imidlertid et grundlæggende problem i forbindelse med kvantemekanikken med quaternioner, nemlig problemet med sammensatte systemer. Vi vil kort diskutere dette punkt i det følgende.

Teorien om sammensatte systemer er en af de mest essentielle dele af kvantemekanikken, både ud fra et fundamentalt og et praktisk synspunkt. Lad derfor (S,L,E), (S1,L1,E1) og (S2,L2,E2) være de statistiske beskrivelser af henholdsvis tre egentlige kvantesystemer og , og lad , , i=1,2, give deres Hilbertrum-realiseringer, hvor K,Ki er en af eller i hvert tilfælde.

Antag, at er en sammensætning af og ; dvs. og er undersystemer af , og er sammensat af dem og ikke af andet. Denne idé fører til nogle indlysende krav vedrørende de statistiske beskrivelser af de tre systemer (f.eks. , kap. 24). Især skal der være injektive unitale morfismer (erkendelseskort) hi:Li→L således at for hver a1∈L1,a2∈L2, er sætningerne h1(a1),h2(a2)∈L kompatible (fælles målbare), og for to atomer (rene tilstande) p1∈At(L1) og p2∈At(L2) er h1(p1)∧h2(p2) et atom (rene tilstande) i L.

Analogt med sætning 3.2 kan man vise, at kortet

kan, i nærværende sammenhæng, implementeres af et (g1,g2)-bil lineært kortsåledes at

(se , sætning 2.22, eller , sætning 9 og , sætning 24.4.1). Især følger det, at morfismerne gi:Ki→K kommuterer med de respektive involutioner, dvs., for hver λi∈Ki, samt med hinanden, dvs. g1(λ1)g2(λ2)=g2(λ2)g1(λ1) for alle λi∈Ki.

Opnå nu det quaternioniske tilfælde; det vil sige, antag at (og dermed også ). Da enhver automorfisme af er indre, har man nu, at begge gi er af formen for en eller anden . Men der er ingen , med |c1|=|c2|=1, for hvilken

kan gælde for alle. Dette fører os til at konkludere, at kvantemekanikken på quaternioniske Hilbertrum ikke er i stand til at beskrive sammensatte systemer som formaliseret i form af de ovenfor beskrevne genkendelseskort. Det er klart, at dette resultat, som skyldes , er relateret til problemet med tensorproduktet af de kvaternioniske Hilbertrum (f.eks. ).

På den anden side, hvis , så også , sætning 12, i hvilket tilfælde funktionerne g1,g2 er enten identiteten eller de komplekse konjugationer. De fire tilfælde (g1,g2) fører til de fire tensorproduktløsninger: , , og , hvor er det dobbelte rum for (se eller , kap. 24). Selv om de underliggende Hilbertrum kun er isomorfe i parrene og , er logikkerne (projektionsgitter) isomorfe i hvert enkelt tilfælde. Derfor betragter vi dem som ækvivalente, og vi vælger at bruge , idet de andre valgmuligheder således snarere fremstår som unødvendige komplikationer.

Slutning

Med den generelle ramme for probabilistiske fysiske teorier kan man stille fysisk plausible antagelser om mulighederne for præparationer og målinger på et fysisk system, således at den resulterende teori i det væsentlige tager form af kvantemekanik på et uendeligt-dimensionelt Hilbert-rum over de reelle tal, de komplekse tal eller quaternionerne. I hvert tilfælde gælder de grundlæggende træk ved kvantemekanikken fortsat: tilstande som positive spor 1-operatører, observabler som normaliserede positive operatørmål og Born-reglen (sporformlen), der giver sandsynligheden for måleresultater. I de reelle og kvaternioniske tilfælde bliver det imidlertid vanskeligt at definere konkrete observabler i form af deres naturlige symmetriegenskaber. Disse komplikationer kan under alle omstændigheder håndteres, i det reelle tilfælde ved at indlejre det reelle Hilbert-rum i et komplekst rum, i det kvaternioniske tilfælde ved at reducere teorien til den komplekse teori. Det ser derfor ud til, at begge muligheder kun indebærer unødvendige komplikationer i forhold til den komplekse teori. Desuden lider den kvaternioniske kvantemekanik under at være ude af stand til at beskrive sammensatte systemer.

Datatilgængelighed

Denne artikel har ingen yderligere data.

Autors bidrag

Denne artikel er et biprodukt af et langvarigt samarbejde mellem forfatterne. Forfatterne har lige store gensidigt sammenfiltrede bidrag.

Konkurrerende interesser

Vi erklærer, at vi ikke har nogen konkurrerende interesser.

Finansiering

Vi har ikke modtaget nogen finansiering til denne undersøgelse.

Fodnoter

Et bidrag af 15 til et temanummer ‘Second quantum revolution: foundational questions’.

Vi dedikerer denne artikel til professor Maciej Ma̧czynski i anledning af hans 80-års fødselsdag.