KvanteelektrodynamikRediger

Da kvantemekanikken kom frem, var det eneste velkendte eksempel på gaugesymmetri inden for elektromagnetisme, og den generelle betydning af begrebet blev ikke fuldt ud forstået. For eksempel var det ikke klart, om det var felterne E og B eller potentialerne V og A, der var de fundamentale størrelser; hvis det var førstnævnte, kunne gaugetransformationerne ikke betragtes som andet end et matematisk trick.

Aharonov-Bohm-eksperimentRediger

I kvantemekanikken beskrives en partikel, som f.eks. en elektron, også som en bølge. Hvis man for eksempel udfører dobbeltspalteeksperimentet med elektroner, så observeres et bølgelignende interferensmønster. Elektronen har den største sandsynlighed for at blive opdaget de steder, hvor de dele af bølgen, der passerer gennem de to spalter, er i fase med hinanden, hvilket resulterer i konstruktiv interferens. Elektronbølgens frekvens er forbundet med den kinetiske energi af en individuel elektronpartikel via den kvantemekaniske relation E = hf. Hvis der ikke er nogen elektriske eller magnetiske felter til stede i dette eksperiment, er elektronens energi konstant, og der vil f.eks. være stor sandsynlighed for at detektere elektronen langs eksperimentets midterakse, hvor de to dele af bølgen ifølge symmetrien er i fase.

Men antag nu, at elektronerne i eksperimentet er udsat for elektriske eller magnetiske felter. Hvis der f.eks. blev pålagt et elektrisk felt på den ene side af aksen, men ikke på den anden, ville resultaterne af eksperimentet blive påvirket. Den del af elektronbølgen, der passerer gennem denne side, svinger med en anden hastighed, da dens energi har fået tilføjet -eV, hvor -e er elektronens ladning og V det elektriske potentiale. Resultaterne af forsøget vil være anderledes, fordi faseforholdene mellem de to dele af elektronbølgen er ændret, og derfor vil stederne for konstruktiv og destruktiv interferens blive forskudt til den ene eller den anden side. Det er det elektriske potentiale, der optræder her, ikke det elektriske felt, og dette er en manifestation af det faktum, at det er potentialerne og ikke felterne, der er af fundamental betydning i kvantemekanikken.

Forklaring med potentialerRediger

Det er endda muligt at have tilfælde, hvor et eksperiments resultater er forskellige, når potentialerne ændres, selv om ingen ladede partikler nogensinde udsættes for et andet felt. Et sådant eksempel er Aharonov-Bohm-effekten, som er vist i figuren. I dette eksempel medfører tænding af solenoiden kun, at der opstår et magnetfelt B i solenoiden. Men solenoiden er placeret på en sådan måde, at elektronen umuligt kan passere gennem dens indre. Hvis man troede, at felterne var de fundamentale størrelser, ville man forvente, at resultaterne af eksperimentet ville være uændrede. I virkeligheden er resultaterne anderledes, fordi det at tænde for solenoiden ændrede vektorpotentialet A i det område, som elektronerne passerer igennem. Nu, hvor det er blevet fastslået, at det er potentialerne V og A, der er fundamentale, og ikke felterne E og B, kan vi se, at gauge-transformationerne, som ændrer V og A, har en reel fysisk betydning og ikke blot er matematiske artefakter.

Gauge-invarians: resultaterne af eksperimenterne er uafhængige af valget af gauge for potentialerneRediger

Bemærk, at i disse eksperimenter er den eneste størrelse, der påvirker resultatet, forskellen i fase mellem de to dele af elektronbølgen. Lad os forestille os de to dele af elektronbølgen som små ure, der hver især har en enkelt hånd, som svinger rundt i en cirkel og holder øje med sin egen fase. Selv om denne tegning ignorerer nogle tekniske detaljer, bevarer den de fysiske fænomener, som er vigtige her. Hvis begge ure fremskyndes lige meget, er faseforholdet mellem dem uændret, og resultaterne af eksperimenterne er de samme. Ikke nok med det, men det er ikke engang nødvendigt at ændre hastigheden på hvert ur med et fast beløb. Vi kan ændre vinklen af viseren på hvert ur med et varierende beløb θ, hvor θ kan afhænge både af positionen i rummet og af tiden. Dette ville ikke have nogen indflydelse på resultatet af eksperimentet, da den endelige observation af elektronens placering sker på et enkelt sted og tidspunkt, så faseforskydningen i hver elektrons “ur” ville være den samme, og de to virkninger ville ophæve hinanden. Dette er endnu et eksempel på en gauge-transformation: den er lokal, og den ændrer ikke resultaterne af eksperimenterne.

ResuméRediger

Sammenfattende opnår gaugesymmetrien sin fulde betydning i forbindelse med kvantemekanikken. I anvendelsen af kvantemekanikken på elektromagnetisme, dvs. kvanteelektrodynamikken, gælder gaugesymmetri både for elektromagnetiske bølger og elektronbølger. Disse to målesymmetrier er faktisk nært beslægtede. Hvis man f.eks. anvender en gaugetransformation θ på elektronbølgerne, må man også anvende en tilsvarende transformation på de potentialer, der beskriver de elektromagnetiske bølger. Gauge-symmetri er nødvendig for at gøre kvanteelektrodynamikken til en renormaliserbar teori, dvs, en teori, hvor de beregnede forudsigelser af alle fysisk målbare størrelser er begrænsede.

Typer af gaugesymmetrierRediger

Beskrivelsen af elektronerne i ovenstående underafsnit som små ure er i realiteten en angivelse af de matematiske regler, hvorefter elektronernes faser skal adderes og subtraheres: de skal behandles som almindelige tal, bortset fra at i det tilfælde, hvor resultatet af beregningen falder uden for intervallet 0≤θ<360°, tvinger vi det til at “vikle sig ind” i det tilladte område, som dækker en cirkel. En anden måde at udtrykke det på er, at en fasevinkel på f.eks. 5° anses for at være fuldstændig ækvivalent med en vinkel på 365°. Eksperimenter har verificeret dette testbare udsagn om de interferensmønstre, der dannes af elektronbølger. Bortset fra “wrap-around”-egenskaben er de algebraiske egenskaber ved denne matematiske struktur nøjagtig de samme som ved de almindelige reelle tal.

I matematisk terminologi danner elektronfaser en abelsk gruppe under addition, kaldet cirkelgruppen eller U(1). “Abelisk” betyder, at addition kommuterer, således at θ + φ = φ + θ. Gruppe betyder, at addition associerer og har et identitetselement, nemlig “0”. Desuden findes der for hver fase en invers, således at summen af en fase og dens invers er 0. Andre eksempler på abelske grupper er de hele tal under addition, 0 og negation, og de ikke-nul brøker under produkt, 1 og reciprok.

Som en måde at visualisere valget af en gauge på, kan man overveje, om det er muligt at se, om en cylinder er blevet snoet. Hvis cylinderen ikke har nogen ujævnheder, mærker eller ridser på sig, kan vi ikke se det. Vi kunne imidlertid tegne en vilkårlig kurve langs cylinderen, defineret ved en eller anden funktion θ(x), hvor x måler afstanden langs cylinderens akse. Når først dette vilkårlige valg (valget af gauge) er foretaget, bliver det muligt at opdage det, hvis nogen senere vrider cylinderen.

I 1954 foreslog Chen Ning Yang og Robert Mills at generalisere disse idéer til ikke kommutative grupper. En ikke kommutativ gauge-gruppe kan beskrive et felt, der i modsætning til det elektromagnetiske felt interagerer med sig selv. For eksempel fastslår den generelle relativitetsteori, at gravitationsfelter har energi, og den specielle relativitetsteori konkluderer, at energi er ækvivalent med masse. Derfor inducerer et gravitationsfelt et yderligere gravitationsfelt. Kernekræfterne har også denne egenskab af selvveksling.

Gauge bosonerRediger

Overraskende nok kan gaugesymmetri give en dybere forklaring på eksistensen af vekselvirkninger, som f.eks. den elektriske og nukleare vekselvirkning. Dette skyldes en type gaugesymmetri, der vedrører det forhold, at alle partikler af en given type eksperimentelt set ikke kan skelnes fra hinanden. Forestil dig, at Alice og Betty er enæggede tvillinger, som ved fødslen blev mærket med armbånd, hvorpå der står A og B. Da pigerne er identiske, ville ingen kunne se, om de var blevet byttet om ved fødslen; mærkerne A og B er arbitrære og kan byttes om. En sådan permanent ombytning af deres identiteter er som en global gauge symmetri. Der findes også en tilsvarende lokal gaugesymmetri, som beskriver den kendsgerning, at Alice og Betty fra det ene øjeblik til det andet kunne bytte roller, mens ingen kiggede, uden at nogen ville kunne se det. Hvis vi observerer, at mors yndlingsvase er gået i stykker, kan vi kun konkludere, at det er den ene eller den anden tvilling, der har skylden, men vi kan ikke sige, om skylden er 100 % Alice’s og 0 % Betty’s eller omvendt. Hvis Alice og Betty i virkeligheden er kvantemekaniske partikler snarere end mennesker, så har de også bølgeegenskaber, herunder superpositionsegenskaben, som gør det muligt at tilføje, trække fra og blande bølger vilkårligt. Det følger heraf, at vi ikke engang er begrænset til fuldstændige ombytninger af identiteter. Hvis vi f.eks. observerer, at der findes en bestemt mængde energi et bestemt sted i rummet, er der intet eksperiment, der kan fortælle os, om denne energi er 100 % A’er og 0 % B’er, 0 % A’er og 100 % B’er, eller 20 % A’er og 80 % B’er eller en anden blanding. Det faktum, at symmetrien er lokal, betyder, at vi ikke engang kan regne med, at disse proportioner forbliver faste, når partiklerne forplanter sig gennem rummet. De nærmere detaljer om, hvordan dette repræsenteres matematisk, afhænger af tekniske spørgsmål vedrørende partiklernes spins, men for vores nuværende formål betragter vi en spindløs partikel, for hvilken det viser sig, at blandingen kan specificeres ved et vilkårligt valg af gauge θ(x), hvor en vinkel θ = 0° repræsenterer 100% A og 0% B, θ = 90° betyder 0% A og 100% B, og mellemliggende vinkler repræsenterer blandinger.

I henhold til kvantemekanikkens principper har partikler faktisk ikke baner gennem rummet. Bevægelse kan kun beskrives i form af bølger, og impulsen p for en individuel partikel er relateret til dens bølgelængde λ ved p = h/λ. Med hensyn til empiriske målinger kan bølgelængden kun bestemmes ved at observere en ændring i bølgen mellem et punkt i rummet og et andet punkt i nærheden (matematisk set ved differentiering). En bølge med en kortere bølgelængde svinger hurtigere og ændrer sig derfor hurtigere mellem nærliggende punkter. Lad os nu antage, at vi vilkårligt fastsætter en måler i et punkt i rummet ved at sige, at energien på dette sted er 20 % A’s og 80 % B’s. Vi måler derefter de to bølger i et andet, nærliggende punkt for at bestemme deres bølgelængder. Men der er to helt andre grunde til, at bølgerne kan have ændret sig. De kunne have ændret sig, fordi de svingede med en bestemt bølgelængde, eller de kunne have ændret sig, fordi gaugefunktionen ændrede sig fra en 20-80 blanding til f.eks. 21-79. Hvis vi ignorerer den anden mulighed, fungerer den resulterende teori ikke; der vil dukke mærkelige afvigelser i impuls op, hvilket er i strid med princippet om impulsbevarelse. Noget i teorien må ændres.

Også her er der tekniske problemer i forbindelse med spin, men i flere vigtige tilfælde, herunder elektrisk ladede partikler og partikler, der vekselvirker via kernekræfter, er løsningen på problemet at tillægge gaugefunktionen θ(x) en fysisk virkelighed. Vi siger, at hvis funktionen θ svinger, repræsenterer den en ny type kvantemekanisk bølge, og denne nye bølge har sin egen impuls p = h/λ, hvilket viser sig at rette op på de uoverensstemmelser, der ellers ville have brudt impulsbevarelsen. I forbindelse med elektromagnetisme ville partiklerne A og B være ladede partikler som f.eks. elektroner, og den kvantemekaniske bølge repræsenteret af θ ville være det elektromagnetiske felt. (Her ser vi bort fra de tekniske problemer, der opstår, fordi elektroner faktisk har spin 1/2 og ikke spin nul. Denne oversimplificering er årsagen til, at gaugefeltet θ viser sig at være en skalar, hvorimod det elektromagnetiske felt faktisk repræsenteres af en vektor bestående af V og A). Resultatet er, at vi har en forklaring på tilstedeværelsen af elektromagnetiske vekselvirkninger: Hvis vi forsøger at konstruere en gauge-symmetrisk teori med identiske, ikke-vekselvirkende partikler, er resultatet ikke selvkonsistent og kan kun repareres ved at tilføje elektriske og magnetiske felter, der får partiklerne til at vekselvirke.

Selv om funktionen θ(x) beskriver en bølge, kræver kvantemekanikkens love, at den også har partikulære egenskaber. I elektromagnetismens tilfælde er den partikel, der svarer til elektromagnetiske bølger, fotonen. Generelt kaldes sådanne partikler for gaugebosoner, hvor udtrykket “boson” henviser til en partikel med et helt spin. I de enkleste versioner af teorien er gaugebosoner masseløse, men det er også muligt at konstruere versioner, hvor de har masse, som det er tilfældet for de gaugebosoner, der overfører de nukleare henfaldskræfter.