Puget Sound set fra himlen, som det blev set i vinters. (Foto: EcologyWA/Public Domain)
Forestil dig for et øjeblik, at du og din ven har fået en tilsyneladende ligetil opgave: at måle kystlinjen ved Puget Sound i staten Washington. Ressourcerne er knappe, så du har en målestok, mens din ven har en fodlængde lineal. I går hver især langs vandet og lægger jeres målepinde langs vandkanten og følger kystens ind- og udløb så godt I kan. Når I er færdige, sammenligner I noter – og I er chokerede. Mens du endte med et respektabelt resultat på 3.000 miles, fik din ven og hans fodlængde et langt højere tal, et sted omkring 4.500 miles.
I er ikke skøre. I er ofre for kystlinjeparadokset, et tricky matematisk princip, der forvirrer kartograferne, forvirrer regeringskontorerne og gør det umuligt at vide præcis, hvor stor vores verden i virkeligheden er.
Kystlinjeparadokset, i en praktisk gif. (Billede: Branden Rishel)
Mennesker har været forvirrede over kystlinjerne siden mindst det femte århundrede f.Kr., da athenske sømænd angiveligt fik til opgave at måle Sardiniens kyst og kom forvirrede tilbage. Men paradokset afslørede sig selv for første gang i 1951 i forbindelse med en undersøgelse af væbnede konflikter. Lewis Fry Richardson, en pacifist og matematiker, forsøgte at finde ud af, om længden af den grænse, som to lande deler, havde nogen betydning for, om de ville gå i krig eller ej.
Han konstaterede uenighed allerede i dataindsamlingsfasen – da han søgte efter længden af grænsen mellem Spanien og Portugal, fandt han ud af, at Spanien havde angivet den til 987 km, mens Portugal sagde 1214 km. Han var fascineret af denne opdagelse og undersøgte sagen nærmere og fandt ud af, at ikke alene er længden af kystlinjer og visse grænser ekstremt varierende – hvis man får en tilstrækkelig lille målepind, er hver af dem faktisk uendeligt lang.
Denne tankegang blev snart taget op af matematikeren Benoit Mandelbrot i en artikel fra 1967 med titlen “How long is the coast of Britain?”. “Her er et spørgsmål, et fast element i geometri i folkeskolen, som, hvis man tænker over det, er umuligt”, sagde han senere til New York Times. For at løse problemet – og for at kunne måle andre lignende skæve former som skyer, snefnug og bjerge – opfandt Mandelbrot begrebet fraktal, en kurve, der bliver mere kompleks, jo nærmere man ser på den.
Mandelbrot-sættet, en fraktal, som du sandsynligvis kender fra forsiden af en matematiklærebog. (Foto: Wolfgang Beyer/CC BY-SA 3.0)
Kystlinjeparadokset er abstrakt set en ærefrygtindgydende ting, et bevis på, at det er umuligt at fastlægge alting, og at vores verden i bund og grund er irreducibel. På et praktisk plan er det imidlertid en enorm smerte, siger Branden Rishel, en kartograf, der arbejder med genopretning af kystlinjerne i Puget Sound. Ligesom en stor del af staten Washington er Puget Sound fuld af fjorde, endeløse kroge og hjørner, der blev hugget ind i landet af gletsjere for 15.000 år siden. Fjorde tilføjer en masse vanvittigt til en kystlinje – det uendeligt krøllede Norge har f.eks. omkring 18.000 miles kystlinje med fjorde, og blot 1573 miles, hvis man udelader dem.
Oven i den rent matematiske mærkværdighed ændrer kysterne sig konstant, siger Rishel. Klipper eroderer, havniveauet stiger, landmasser vender langsomt tilbage fra det sted, hvor gletsjerne har skubbet dem hen. Hver dag går tidevandet ind og flytter vandlinjen tre meter, hvorefter det flyder ud igen. “Strande ændrer form med hver bølge”, siger Rishel. “Hvordan kan man fastlægge det?”
Det kan man ikke – selv når man virkelig ønsker det. I 2006 offentliggjorde Congressional Research Service et notat med titlen “U.S. International Borders: Brief Facts”, der skulle sikre, at alle var på samme side om præcis, hvor meget grænse vi skal tænke på at sikre. Men endnu en gang var der ikke engang en fælles side at være på. “De “generelle kystlinjedata” i denne rapport er baseret på store søkort, hvilket resulterer i en kystlinie for de 50 stater på i alt 12.383 miles”, står der i rapporten. “En anden måling, der anvender søkort i mindre skala, mere end fordobler denne måling til 29.093 miles … mens de tal, der anvendes af NOAA i forbindelse med administrationen af programmet for kystzoneforvaltning, kommer op på 88.612 miles (uden de store søer).”
Washington State fra langt oppe. (Foto: NASA/Public Domain)
Sommetider er folk dog nødt til at finde en måde at blive enige på. I staten Washington bruger eksperter som Rishel det, der kaldes “ShoreZone Shoreline”, som blev tegnet af Washington Department of Natural Resources i slutningen af 1990’erne på grundlag af fotos og videoer, der blev taget fra lavtflyvende helikoptere. ShoreZone-versionen af Puget Sound-kystlinjen er ca. 2.500 miles lang, siger Rishel – et håndterbart tal, eller i det mindste bedre end “uendeligt”. Ved at blive enige om denne tilnærmelse kan folk, der arbejder på at genoprette strande, spore, hvor fisk gyder, eller bygge boliger ved vandet, sikre sig, at de taler det samme geografiske sprog.
Men forsøg på standardisering har sine egne fejl. ShoreZone-kystlinjen behandler nogle menneskeskabte strukturer, som f.eks. visse moler, som om de er en del af kystlinjen, og udelader andre. “Nogle gange er ShoreZone-kystlinjen snesevis af meter fra det sted, hvor en respektabel kystlinje burde være”, siger Rishel. “Et sted er den 800 fod væk, og der er en landingsbane i det, der burde være vand.” Det lykkedes endda at overse en hel ø.
Rishel forventer, at ShoreZone snart vil blive opdateret med LiDAR-data, som erstatter kameraer og menneskelige øjne med mere præcise lasermålinger, der foretages fra fly. Alligevel vil det ikke blive perfekt. “I løbet af den måned eller to, som det tog at flyve, ville selv den bedste LiDAR fange et uskarpt øjebliksbillede af Øresund”, siger han. “Vinterstrandprofilerne er drastisk forskellige fra sommerprofilerne. Klipper bliver ved med at erodere. Der sker jordskred.”
Det er det, der sker, når vi forsøger at arbejde med noget, der bogstaveligt talt er uendeligt – vi må bare gøre det bedste, vi kan.