af Marco Taboga, PhD
Indikatorfunktionen for en begivenhed er en tilfældig variabel, der har værdien 1, når begivenheden finder sted, og værdien 0, når begivenheden ikke finder sted. Indikatorfunktioner anvendes ofte i sandsynlighedsteori for at forenkle notation og for at bevise sætninger.
Definition
Det følgende er en formel definition.
Definition Lad være et prøverum og
være en begivenhed. Indikatorfunktionen (eller den tilfældige indikatorvariabel) for hændelsen
, betegnet
, er en tilfældig variabel, der er defineret som følger:
Mens indikatoren for en begivenhed normalt betegnes med
, betegnes den undertiden også med
hvor
er det græske bogstav Chi.
Eksempel Vi kaster en terning, og et af de seks tal fra 1 til 6 kan fremkomme med forsiden opad. Prøverummet erDefinér hændelsen
beskrevet ved sætningen “Et lige tal vises med forsiden opad”. En tilfældig variabel, der får værdien 1, når et lige tal vises med forsiden opad, og værdien 0 i modsat fald, er en indikator for hændelsen
. Den konkrete definition af denne indikator er
Ud fra ovenstående definition kan det let ses, at er en diskret tilfældig variabel med støtte
og sandsynlighedsmassefunktion
Egenskaber
Indikatorfunktioner nyder godt af følgende egenskaber.
Powerer
Den -te potens af
er lig med
:
fordi
kan være enten
eller
og
Forventet værdi
Den forventede værdi af er lig med
:
Varians
Variansen af er lig med
. Takket være den sædvanlige variansformel og ovenstående potensegenskab får vi
Intersektioner
Hvis og
er to hændelser, så er
fordi:
-
hvis
, så
og
-
hvis
, så
og
Indikatorer for nul-sandsynlighedsbegivenheder
Lad være en nul-sandsynlighedsbegivenhed og
en integrerbar tilfældig variabel. Så,
Selv om et stringent bevis for denne kendsgerning ligger uden for rammerne af denne indledende redegørelse, bør denne egenskab være intuitiv. Den tilfældige variabel
er lig med nul for alle prøvepunkter
undtagen muligvis for punkterne
. Den forventede værdi er et vægtet gennemsnit af de værdier
kan antage, hvor hver værdi er vægtet med sin respektive sandsynlighed. De værdier, der ikke er nul, som
kan antage, er vægtet med sandsynlighederne nul, så
må være nul.
Løste opgaver
Nedenfor finder du nogle opgaver med forklarede løsninger.
Ovelse 1
Betragt en tilfældig variabel og en anden tilfældig variabel
, der er defineret som en funktion af
.
Udtryk ved hjælp af indikatorfunktionerne for hændelserne
og
.
Angiv med indikatoren for hændelsen
og anfør med
indikatoren for hændelsen
. Vi kan skrive
som
Ovelse 2
Lad være en positiv tilfældig variabel, det vil sige en tilfældig variabel, der kun kan antage positive værdier. Lad
være en konstant. Bevis, at
hvor
er indikatoren for hændelsen
.
Først skal man bemærke, at summen af indikatorerne og
altid er lig med
:
Som følge heraf kan man skrive
Nu skal man bemærke, at
er en positiv tilfældig variabel, og at den forventede værdi af en positiv tilfældig variabel er positiv:
Dermed,
Ovelse 3
Lad være en begivenhed og betegne dens indikatorfunktion med
. Lad
være komplementet til
og betegne dets indikatorfunktion med
. Kan du udtrykke
som en funktion af
?
Summen af de to indikatorer er altid lig med :
Derfor,
Hvordan citeres
Please cite as:
Taboga, Marco (2017). “Indikatorfunktioner”, Forelæsninger om sandsynlighedsteori og matematisk statistik, tredje udgave. Kindle Direct Publishing. Online appendix. https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/indicator-functions.