Bernoullis lov
Der har indtil nu været fokus på væsker i hvile. Dette afsnit omhandler væsker, der er i bevægelse på en stabil måde, således at væskens hastighed i hvert givet punkt i rummet ikke ændrer sig med tiden. Ethvert strømningsmønster, der er stabilt i denne forstand, kan ses i form af et sæt strømlinier, banerne for imaginære partikler, der er suspenderet i væsken og transporteres med den. I en stabil strømning er væsken i bevægelse, men strømlinierne er faste. Hvor strømlinierne trænger sig sammen, er væskens hastighed relativt høj; hvor de åbner sig, bliver væsken relativt stagnerende.
Da Euler og Bernoulli lagde grundlaget for hydrodynamikken, behandlede de væsken som et idealiseret inviskidt stof, hvor, som i en væske i hvile i ligevægt, forskydningsspændingerne i forbindelse med viskositeten er nul, og trykket p er isotropisk. De nåede frem til en simpel lov, der relaterer variationen af p langs en strømningslinje til variationen af v (princippet er tilskrevet Bernoulli, men Euler synes at have fundet frem til det først), som tjener til at forklare mange af de fænomener, som virkelige væsker i stabil bevægelse viser. På det uundgåelige spørgsmål om, hvornår og hvorfor det er berettiget at se bort fra viskositeten, er der ikke noget entydigt svar. Nogle svar vil blive givet senere i denne artikel, men andre spørgsmål vil blive taget op først.
Tænk på et lille element af væske med massen m, som – bortset fra den kraft, der hviler på det på grund af tyngdekraften – kun påvirkes af et tryk p. Sidstnævnte er isotropisk og varierer ikke med tiden, men kan variere fra punkt til punkt i rummet. Det er en velkendt konsekvens af Newtons bevægelseslove, at når en partikel med massen m bevæger sig under indflydelse af sin vægt mg og en ekstra kraft F fra et punkt P, hvor dens hastighed er vP og dens højde er zP, til et punkt Q, hvor dens hastighed er vQ og dens højde er zQ, er det arbejde, der udføres af den ekstra kraft, lig med stigningen i partikelens kinetiske og potentielle energi – dvs, at
I tilfældet med det pågældende væskeelement kan F på en enkel måde relateres til gradienten af trykket, og man finder
Hvis variationerne i væsketætheden langs strømlinjen fra P til Q er ubetydeligt små, kan faktoren ρ-1 tages uden for integralet på højre side af (131), som herefter reduceres til ρ-1(pQ – pP). Derefter kan (130) og (131) kombineres for at få
Da dette gælder for to vilkårlige punkter, der kan besøges af et enkelt væskeelement, kan man straks udlede Bernoullis (eller Eulers) vigtige resultat, at langs hver strømlinje i den stationære strømning af en inviskid væske er størrelsen
er konstant.
Under hvilke omstændigheder er variationer i massefylden ubetydeligt små? Når de er meget små i forhold til selve densiteten – dvs. når
hvor symbolet Δ bruges til at repræsentere omfanget af ændringen langs en strømningslinje af den mængde, der følger den, og hvor Vs er lydhastigheden (se nedenfor Kompressibel strømning i gasser). Denne betingelse er opfyldt for alle de strømningsproblemer, der har med vand at gøre, og som behandles nedenfor. Hvis væsken er luft, er den tilstrækkeligt opfyldt, forudsat at den største ekskursion i z er i størrelsesordenen meter snarere end kilometer, og forudsat at væskens hastighed overalt er mindre end ca. 100 meter i sekundet.
Bernoullis lov viser, at hvis en inviskid væske strømmer langs et rør med varierende tværsnit, så er trykket relativt lavt ved indsnævringer, hvor hastigheden er høj, og relativt højt, hvor røret åbner sig, og væsken stagnerer. Mange mennesker finder denne situation paradoksal, når de først støder på den. De siger, at en indsnævring vel burde øge det lokale tryk snarere end at mindske det? Paradokset fordamper, når man lærer at tænke på trykændringerne langs røret som årsag og hastighedsændringerne som virkning, i stedet for omvendt; det er kun fordi trykket falder ved en forsnævring, at trykgradienten opstrøms for snævringen har det rette fortegn til at få væsken til at accelerere.
Paradoksalt eller ej, er forudsigelser baseret på Bernoullis lov godt verificeret af eksperimenter. Prøv at holde to ark papir, så de hænger lodret to centimeter eller deromkring fra hinanden, og blæs nedad, så der opstår en luftstrøm mellem dem. Bladene vil blive trukket sammen på grund af det trykfald, der er forbundet med denne strøm. Skibe trækkes sammen af nogenlunde samme grund, hvis de bevæger sig gennem vandet i samme retning med samme hastighed og med en lille afstand mellem dem. I dette tilfælde skyldes strømmen, at hvert skibs stævn fortrænger vand, som skal strømme bagud for at fylde det rum, der opstår, når stævnen bevæger sig fremad, og strømmen mellem skibene, som de begge bidrager til, er stærkere end den strøm, der bevæger sig forbi deres ydersider. Som et andet simpelt eksperiment kan man lytte til den hvæsende lyd fra en vandhane, der næsten, men ikke helt, er lukket. Det, der sker i dette tilfælde, er, at strømmen er så indsnævret, og at hastigheden i indsnævringen er så høj, at trykket i indsnævringen faktisk er negativt. Med hjælp fra de opløste gasser, der normalt er til stede, kaviterer vandet, mens det passerer igennem, og den lyd, der høres, er lyden af små bobler, der kollapser, når vandet bliver langsommere, og trykket stiger igen på den anden side.
To praktiske apparater, der bruges af hydraulikteknikere til at overvåge væskers strømning gennem rør, er baseret på Bernoullis lov. Det ene er venturirøret, som er en kort længde med en indsnævring af standardform (se figur 5A), der kan indsættes i selve røret. Hvis hastigheden i punktet P, hvor røret har et tværsnitsareal AP, er vP, og hastigheden i forsnævringen, hvor arealet er AQ, er vQ, så er kontinuitetsbetingelsen – dvs. betingelsen om, at den masse, der strømmer gennem røret pr. tidsenhed, skal være den samme i alle punkter langs dets længde – at ρPAPvP = ρQAQvQ, eller at APvP = AQvQvQ, hvis forskellen mellem ρP og ρQ er ubetydelig. Så Bernoullis lov angiver 
Encyclopædia Britannica, Inc.
Så burde man kunne finde vP og dermed den størrelse Q (= APvP), som ingeniører kalder udstrømningshastigheden, ved at måle niveauforskellen h mellem væsken i de to siderør, der er vist i diagrammet. Ved lave hastigheder påvirkes trykforskellen (pP – pQ) i høj grad af viskositeten (se nedenfor Viskositet), og ligning (135) er derfor upålidelig. Venturirøret anvendes dog normalt, når hastigheden er stor nok til, at strømningen er turbulent (se nedenfor Turbulens). Under sådanne omstændigheder forudsiger ligning (135) værdier for Q, der stemmer overens med værdier, der er målt med mere direkte midler, med en nøjagtighed på få dele procent, selv om strømningsmønsteret i virkeligheden slet ikke er stabilt.
Den anden anordning er pitotrøret, som er illustreret i figur 5B. Væskestrømlinierne deler sig, når de nærmer sig den stumpe ende af dette rør, og i det punkt, der er markeret med Q i diagrammet, er der fuldstændig stagnation, da væsken i dette punkt hverken bevæger sig opad, nedad eller til højre. Det følger umiddelbart af Bernoullis lov, at
Som med venturirøret bør man derfor kunne finde vP ud fra niveauforskellen h.
Et andet enkelt resultat fortjener at blive nævnt her. Det drejer sig om en væskestråle, der kommer ud gennem et hul i væggen af et kar fyldt med væske under tryk. Observation af stråler viser, at de efter at være trådt ud, indsnævres en smule, inden de falder til ro til et mere eller mindre ensartet tværsnit, kendt som vena contracta. Dette sker, fordi strømlinjerne konvergerer mod hullet inde i beholderen og er tvunget til at fortsætte med at konvergere et kort stykke tid udenfor. Det var Torricelli, der først foreslog, at hvis trykoverskuddet inde i beholderen er forårsaget af en væskehøjde h, så er hastigheden v ved vena contracta den hastighed, som en fri partikel ville opnå ved at falde gennem en højde h – dvs, at
Dette resultat er for en inviskid væske en umiddelbar konsekvens af det princip om energibevarelse, som Bernoullis lov forankrer.
I det følgende afsnit anvendes Bernoullis lov på en indirekte måde til at opstille en formel for den hastighed, hvormed forstyrrelser bevæger sig over overfladen af lavt vand. Forklaringen på flere interessante fænomener, der har med vandbølger at gøre, ligger begravet i denne formel. Analoge fænomener, der vedrører lydbølger i gasser, behandles nedenfor i Kompressibel strømning i gasser, hvor en alternativ form af Bernoullis lov introduceres. Denne form af loven er begrænset til gasser i stabil strømning, men er ikke begrænset til strømningshastigheder, der er meget mindre end lydhastigheden. Den komplikation, som viskositeten udgør, er igen ignoreret i disse to afsnit.