Homotopi, i matematik, en måde at klassificere geometriske områder på ved at studere de forskellige typer af stier, der kan tegnes i området. To baner med fælles endepunkter kaldes homotopiske, hvis den ene kan deformeres kontinuerligt til den anden, idet man lader endepunkterne stå fast og forbliver inden for dens definerede region. I del A i figuren er der et hul i det skraverede område; f og g er homotopiske baner, men g′ er ikke homotopisk til f eller g, da g′ ikke kan deformeres til f eller g uden at passere gennem hullet og forlade området.

Mere formelt indebærer homotopi, at man definerer en sti ved at afbilde punkter i intervallet fra 0 til 1 til punkter i regionen på en kontinuerlig måde – dvs. således at nabopunkter på intervallet svarer til nabopunkter på stien. Et homotopi-kort h(x, t) er et kontinuert kort, der til to passende baner, f(x) og g(x), knytter en funktion af to variabler x og t, som er lig med f(x), når t = 0, og lig med g(x), når t = 1. Kortet svarer til den intuitive idé om en gradvis deformation uden at forlade området, efterhånden som t ændres fra 0 til 1. F.eks. er h(x, t) = (1 – t)f(x) + tg(x) en homotopisk funktion for stierne f og g i del A i figuren; punkterne f(x) og g(x) er forbundet af et retlinjesegment, og for hver fast værdi af t definerer h(x, t) en sti, der forbinder de samme to endepunkter.

Af særlig interesse er de homotopiske stier, der starter og slutter i et enkelt punkt (se del B i figuren). Klassen af alle sådanne stier, der er homotoper til hinanden i et givet geometrisk område, kaldes en homotopyklasse. Mængden af alle disse klasser kan gives en algebraisk struktur, der kaldes en gruppe, regionens fundamentale gruppe, hvis struktur varierer alt efter regionens type. I et område uden huller er alle lukkede baner homotopiske, og den grundlæggende gruppe består af et enkelt element. I et område med et enkelt hul er alle stier homotopiske, som snor sig rundt om hullet det samme antal gange. I figuren er stierne a og b homotopiske, ligesom stierne c og d, men sti e er ikke homotopisk i forhold til nogen af de andre stier.

Man definerer på samme måde homotopiske stier og den fundamentale gruppe af regioner i tre eller flere dimensioner samt på generelle mangfoldigheder. I højere dimensioner kan man også definere homotopigrupper i højere dimensioner.