En funktion relateret til integrale repræsentationer af løsninger af randværdiproblemer for differentialligninger.
Green-funktionen for et randværdiproblem for en lineær differentialligning er den fundamentale løsning af denne ligning, der opfylder homogene randbetingelser. Green-funktionen er kernen af den integraloperator, der er omvendt af den differentialoperator, som genereres af den givne differentialligning og de homogene randbetingelser (jf. kernen af en integraloperator). Den grønne funktion giver løsninger af den inhomogene ligning, der opfylder de homogene randbetingelser. Ved at finde den grønne funktion reduceres studiet af egenskaberne ved differentialloperatoren til studiet af lignende egenskaber ved den tilsvarende integraloperator.
Grøn funktion for ordinære differentialligninger.
Lad $ L $være differentialloperatoren genereret af differentiallpolynomiet
$$$ l = \sum _ {k = 0 } ^ { n } p _ {k} ( x)\frac{d ^ {k} y }{dx ^ {k} } ,\ \ a < x < b,$$$
og randbetingelserne $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \dots n $, hvor
$$$ U _ {j} = \sum _ {k = 0 } ^ { n } \alpha _ {jk} y ^ {(} k) ( a) +\beta _ {jk} y ^ {(} k) ( b).$$
Den grønne funktion af $ L $ er den funktion $ G ( x, \xi ) $, der opfylder følgende betingelser:
1) $ G ( x, \xi ) $ er kontinuerlig og har kontinuerlige afledninger med hensyn til $ x $op til orden $ n – 2 $for alle værdier af $ x $og $ \xi $i intervallet $ $.
2) For ethvert givet $ \xi $ i $ ( a, b) $ har funktionen $ G ( x, \xi ) $ ensartet kontinuerte afledte afledte af orden $ n $ med hensyn til $ x $ i hvert af de halve intervaller $ $ og den afledte af orden $ n – 1 $ opfylder betingelsen
$$$ \frac{\\partial ^ {n – 1 } }{{\partial x ^ {n – 1 } }G ( \xi + , \xi ) -\frac{\partial ^ {n – 1 } }{\partial x ^ {n – 1 } }G ( \xi – , \xi ) = \ \frac{1}{p _ {n} ( \xi ) } }$$$
hvis $ x = \xi $.
3) I hvert af de halve intervaller $ $ $ opfylder funktionen $ G ( x, \xi ) $, betragtet som en funktion af $ x $, ligningen $ l = 0 $og randbetingelserne $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \dots n $.
Hvis grænseværdiproblemet $ Ly = 0 $ kun har trivielle løsninger, så har $ L $ én og kun én grøn funktion . For enhver kontinuert funktion $ f $på $ $ findes der en løsning af grænseværdiproblemet $ Ly = f $, og den kan udtrykkes ved formlen
$$$ y ( x) = \int\limits _ { a } ^ { b } G ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi .$$
Hvis operatøren $ L $ har en grøn funktion $ G ( x, \xi ) $, så er den adjungerede operatør $ L ^ {*} $ også en grøn funktion, som er lig med $ \overline{ {G ( \xi , x) }}\; $. Især hvis $ L $ er selvadjungeret ( $ L = L ^ {*} $), så er $ G ( x, \xi ) = \overline{ {G ( \xi , x) }}\; $, dvs. at den grønne funktion i dette tilfælde er en hermitisk kerne. Således er Green-funktionen for den selvadjungerede andenordensoperator $ L $ $ genereret af den differentielle operatør med reelle koefficienter
$$$ l = \ \frac{d}{dx}\left ( p\frac{dy }{dx }{dx }\right ) +q ( x) y,\ \ \ a < x < b,$$$
og randbetingelserne $ y ( a) = 0 $, $ y ( b) = 0 $har formen:
$$$ G ( x, \xi ) = \ venstre \{\begin{array}{ll}Cy _ {1} ( x) y _ {2} ( \xi ) &\textrm{ if } x \leq \xi , \\Cy _ {1} ( \xi ) y _ {2} ( x) &\textrm{ if } x > \xi . \\\\end{array} \right .$$
Her $ y _ {1} ( x) $og $ y _ {2} ( x) $er vilkårlige uafhængige løsninger af ligningen $ l = 0 $, der opfylder henholdsvis betingelserne $ y _ {1} ( a) = 0 $, $ y _ {2} ( b) = 0 $; $ C = ^ {-} 1 $, hvor $ W $ er Wronski-determinanten (Wronskian) for $ y _ {1} $ og $ y _ {2} $. Det kan påvises, at $ C $ er uafhængig af $ \xi $.
Hvis operatøren $ L $ har en grøn funktion, så er grænseværdiproblemet $ Ly = \lambda y $ ækvivalent med integralligningen $ y ( x) = \lambda \int _ {a} ^ {b} G ( x, \xi ) y ( \xi ) d \xi $, som Fredholms teori kan anvendes på (jf. også Fredholms sætninger). Af denne grund kan randværdiproblemet $ Ly = \lambda y $ højst have et tælleligt antal egenværdier $ \lambda _ {1} , \lambda _ {2} \dots $ uden endeløse grænsepunkter. Det konjugerede problem har kompleks-konjugerede egenværdier med samme multiplicitet. For hver $ \lambda $, der ikke er en egenværdi af $ L $, er det muligt at konstruere den grønne funktion $ G ( x, \xi , \lambda ) $ af operatøren $ L – \lambda I $, hvor $ I $ er identitetsoperatøren. Funktionen $ G ( x, \xi , \lambda ) $ er en meromorf funktion af parameteren $ \lambda $; dens poler kan kun være egenværdier af $ L $. Hvis multipliciteten af egenværdien $ \lambda _ {0} $ er én, så
$$$ G ( x, \xi , \lambda ) = \frac{u _ {0} ( x) \overline{v _ { {0} ( \xi ) }}}\; }{\lambda – \lambda _ {0} } +G _ {1} ( x, \xi , \lambda ),$$
hvor $ G _ {1} ( x, \xi , \lambda ) $er regulær i et kvarter omkring punktet $ \lambda _ {0} $, og $ u _ {0} ( x) $og $ v _ {0} ( x) $er egenfunktionerne af $ L $og $ L ^ {*} $, der svarer til egenværdierne $ \lambda _ {0} $ og $ \overline{ {\lambda _ {0} }}}\\; $og normaliseres således, at
$$$ \int\limits _ { a } ^ { b } u _ {0} ( x) \overline{ {v _ { {0} ( x) }}}\; dx = 1.$$
Hvis $ G ( x, \xi , \lambda ) $har uendeligt mange poler, og hvis disse kun er af første orden, så findes der et komplet biorthogonalt system
$$$ u _ {1} ( x),\ u _ {2} ( x) ,\dots ; \ \ \ v _ {1} ( x),\ v _ {2} ( x) \dots$$$
af egenfunktioner af $ L $og $ L ^ {*} $. Hvis egenværdierne nummereres i stigende rækkefølge af deres absolutte værdier, så er integralet
$$$ I _ {R} ( x, f ) = \ \frac{1}{2 \pi i }\int\limits _ {| \lambda | = R } \ d \lambda\int\limits _ { a } ^ { b } G ( x, \xi , \lambda )f ( \xi ) d \xi$$$
er lig med den partielle sum
$$$ S _ {k} ( x, f ) = \ \sum _ {| \lambda _ {n} | < R }u _ {n} ( x)\int\limits _ { a } ^ { { b } f ( \xi )\overline{ { {v _ {n} ( \xi ) }}}\; \ d \xi$$$
af udvidelsen af $ f $$ med hensyn til egenfunktionerne i $ L $. Det positive tal $ R $ $ er valgt således, at funktionen $ G ( x, \xi , \lambda ) $ er regelmæssig i $ \lambda $ på cirklen $ | \lambda | = R $. For et regulært randværdiproblem og for enhver stykkevis glat funktion $ f $ i intervallet $ a < x < b $ gælder ligningen
$$$ \lim\limits _ {R \rightarrow \infty } \ I _ {R} ( x, f ) = \ {\ {\frac{1}{2} } $$
er gyldig, dvs. en udvidelse til en konvergent serie er mulig .
Hvis den grønne funktion $ G ( x, \xi , \lambda ) $ af operatøren $ L – \lambda I $har flere poler, så er dens hoveddel udtrykt ved kanoniske systemer af egen- og adjungerede funktioner af operatørerne $ L $og $ L ^ {*} $.
I ovennævnte tilfælde har grænseværdiproblemet $ Ly = 0 $ ingen ikke-trivielle løsninger. Hvis der derimod findes sådanne ikke-trivielle løsninger, indføres en såkaldt generaliseret Green-funktion. Lad der f.eks. eksistere præcis $ m $lineært uafhængige løsninger af problemet $ Ly = 0 $. Så er der en generaliseret grøn funktion $ \widetilde{G} ( x, \xi ) $eksisterer der har egenskaberne 1) og 2) for en almindelig Green-funktion, opfylder randbetingelserne som en funktion af $ x $ hvis $ a < \xi < b $og desuden er en løsning af ligningen
$$$ l _ {x} = -\sum _ {k = 1 } ^ { m } \phi _ {k} ( x)\overline{ { {v _ {k} ( \xi ) }}}\; .$$$
Her $ \{ v _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $er et system af lineært uafhængige løsninger af det adjungerede problem $ L ^ {*} y = 0 $, mens $ \{ \phi _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ er et vilkårligt system af kontinuerte funktioner, der er biorthogonale til det. Så
$$$ y ( x) = \ \\int\limits _ { a } ^ { b } \widetilde{G} ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi$$$
er løsningen på grænseværdiproblemet $ Ly = f $ hvis funktionen $ f $er kontinuert og opfylder solvabilitetskriteriet, dvs. er ortogonal til alle $ v _ {k} $.
Hvis $ \widetilde{G} _ {0} $er en af de generaliserede grønne funktioner i $ L $, så kan enhver anden generaliseret grøn funktion repræsenteres i formen
$$$ \widetilde{G} ( x, \xi ) = \ \widetilde{G} _ { {0} ( x, \xi ) +\sum _ {k = 1 } ^ { m } u _ {k} ( x) \psi _ {k} ( \xi ),$$
hvor $ \{ u _ {k} ( x) \} $er et komplet system af lineært uafhængige løsninger af problemet $ Ly = 0 $, og $ \psi _ {k} ( \xi ) $er vilkårlige kontinuerte funktioner .
Grøn funktion for partielle differentialligninger.
1) Elliptiske ligninger. Lad $ A $ være den elliptiske differentialeoperator af orden $ m $ genereret af det differentielle polynomium
$$$ a ( x, D) = \sum _ { {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x) D ^ \alpha $$
i et afgrænset område $ \Omega \subset \mathbf R ^ {N} $og de homogene randbetingelser $ B _ {j} u = 0 $, hvor $ B _ {j} $ er grænseoperatører med koefficienter defineret på grænsen $ \partial \Omega $ af $ \Omega $, som antages at være tilstrækkelig glat. En funktion $ G ( x, y) $ siges at være en grøn funktion for $ A $, hvis den for ethvert fast $ y \i \Omega $ opfylder de homogene randbetingelser $ B _ {j} G ( x, y) = 0 $og hvis den, betragtet som en generaliseret funktion, opfylder ligningen
$$$ a ( x, D)G ( x, y) = \ \ \delta ( x – y).$$
I tilfælde af operatører med glatte koefficienter og normale randbetingelser, som sikrer, at løsningen af det homogene randværdiproblem er entydig, eksisterer der en grøn funktion, og løsningen af randværdiproblemet $ Au = f $kan repræsenteres på formen (jf. )
$$$ u ( x) = \ \int\limits _ \Omega G ( x, y)f ( y) dy.$$
I et sådant tilfælde er de ensartede estimater for $ x , y \i \overline \Omega \; $,$,
$$$ | G ( x, y) | \leq \ C | x – y | ^ {m – n } \ \ \textrm{ if } m < n,$$$
$$ | G ( x, y) | \leq C + C | \mathop{\rm ln} | x – y | | | \ \textrm{ if } m = n,$$
er gyldige for den grønne funktion, og sidstnævnte er ensartet afgrænset, hvis $ $ m > n $.
Det grænsespecifikke egenværdiproblem $ Au = \lambda u $ svarer til integralligningen
$$$ u ( x) = \ \lambda \int\limits _ \Omega G ( x, y) u ( y) dy,$$
hvortil Fredholms teori (jf. ) er anvendelig (jf. Fredholm-sætninger). Her er Green-funktionen for det adjunktive randværdiproblem $ \overline{ {G ( y, x) }}}; $. Heraf følger bl.a., at antallet af egenværdier højst er tælleligt, og at der ikke er nogen endelige grænsepunkter; det adjunktive randværdiproblem har kompleks-konjugerede egenværdier af samme multiplicitet.
En Green-funktion er blevet undersøgt mere grundigt for andenordensligninger, da arten af den fundamentale løsnings singularitet kan skrives eksplicit ud. For Laplace-operatoren har den grønne funktion således formen
$$$ G ( x, y) = \ – \frac{\Gamma ( n / 2) }{2 \pi ^ {n/2} ( n – 2) }| x – y | ^ {2 – n } +\gamma ( x, y) \ \ \ \textrm{ if } n > 2,$$$
$$$ G ( x, y) = + \frac{1}{2 \pi } \mathop{\rm ln} | x – y | + \gamma ( x, y) \ \ \textrm{ if } n = 2,$$,$$
hvor $ \gamma ( x, y) $er en harmonisk funktion i $ \Omega $ valgt således, at den grønne funktion opfylder randbetingelsen.
Den grønne funktion $ G ( x, y) $ af det første randværdiproblem for en elliptisk operatør af anden orden $ a ( x, D) $ med glatte koefficienter i et domæne $ \Omega $ med en grænse af Lyapunov-typen $ \partial \Omega $, gør det muligt at udtrykke løsningen af problemet
$$$ a ( x, D) u( x) = \ f ( x) \ \textrm{ if } \ \ \ x \in \Omega ,\ \ \ \left . u \right | _ _ {\partial \Omega } = \phi ,$$$
på formen
$$$ u ( x) = \\int\limits _ \Omega G ( x, y) f ( y) dy +\int\limits _ {\partial \Omega }\frac \partial {\partial \nu _ {y} }G ( x, y) \phi ( y) d \sigma _ {y} ,$$
hvor $ \partial / \partial \nu _ {y} $er den afledte langs den udadgående co-normal af operatøren $ a ( x, D) $og $ d \sigma _ {y} $er overfladeelementet på $ \partial \Omega $.
Hvis den homogene randbetingelse $ Au = 0 $har ikke-trivielle løsninger, indføres en generaliseret Green-funktion, ligesom for almindelige differentialligninger. Der findes således en generaliseret grøn funktion, den såkaldte Neumann-funktion , for Laplace-operatoren.
2) Parabolske ligninger. Lad $ P $ være den paraboliske differentialeoperator af orden $ m $ genereret af differentialepolynomiet
$$$$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\ \frac \partial {\partial t } \right ) = \ \frac \partial {\partial t } \right ) -\sum _ { {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x, t) D _ {x} ^ \alpha ,$$
$$$$ x \in \Omega ,\ t > 0,$$
og de homogene begyndelses- og randbetingelser
$$$ u ( x, 0) = 0,\ \ \ B _ {j} u ( x, t) = 0,$$
hvor $ B _ {j} $er grænseoperatører med koefficienter defineret for $ x \in \partiel \Omega $og $ t \geq 0 $. Den grønne funktion af operatoren $ P $ er en funktion $ G ( x, t, y, \tau ) $ som for vilkårlige faste $ ( y , \tau ) $ med $ t > \tau \geq 0 $ og $ y \in \Omega $ opfylder de homogene randbetingelser $ B _ {j} = 0 $ og opfylder også ligningen
$$$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\ \frac \partial {\partial t }\right )G ( x, t, y, \tau ) = \ \ \delta ( x – y , t – \tau ) .$$
For operatører med glatte koefficienter og normale randbetingelser, som sikrer entydigheden af løsningen af problemet $ pu = 0 $, eksisterer der en grøn funktion, og løsningen af ligningen
$$$ p \left (x, t, D _ {x} ,\ \frac \partial {\partial t }\right )u ( x, t) = \ f ( x, t)$$
som opfylder de homogene randbetingelser og begyndelsesbetingelserne $ u ( x, 0) = \phi ( x) $, har formen
$$$ u ( x, t) = \ \ \ \int\limits _ { 0 } ^ { t } \ d \tau \int\limits _ \Omega G ( x, t, y, \tau )f ( y, \tau ) dy +$$$
$$$ + \int\limits _ \Omega G ( x, t, y, 0) \phi ( y) dy.$$$
I studiet af elliptiske eller paraboliske systemer erstattes den grønne funktion af begrebet grøn matrix, hvormed løsninger af randværdiproblemer med homogene randbetingelser for disse systemer udtrykkes som integraler af produkterne af en grøn matrix med vektorerne på de højre side og begyndelsesbetingelserne .
Grønne funktioner er opkaldt efter G. Green (1828), som var den første til at studere et specialtilfælde af sådanne funktioner i sine studier af potentialteori.
| M.A. Naimark, “Lineare differentialoperatorer” , Akademie Verlag (1960) (Oversat fra russisk) MR0216049 | |
| M.V. Keldysh, “On the characteristic values and characteristic functions of certain classes of non-self-adjoint equations” Dokl. Akad. Nauk. SSSR , 77 : 1 (1951) pp. 11-14 (På russisk) | |
| V.V. Sobolev, “Course in theoretical astrophysics” , NASA , Washington, D.C. (1969) (Oversat fra russisk) | |
| L. Bers, F. John, M. Schechter, “Partial differential equations” , Interscience (1964) MR016303043 Zbl 0126.00207 | |
| L. Gårding, “Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differentialligninger” Math. Scand. , 1 : 1 (1953) pp. 55-72 MR64979 MR64979 | |
| A. Friedman, “Partial differential equations of parabolic type” , Prentice-Hall (1964) MR0181836 Zbl 0144.34903 | |
| S.D. Eidel’man, “Parabolic systems” , North-Holland (1969) (Oversat fra russisk) Zbl 0181.37403 |
| J.K. Hale, “Ordinary differentialligninger” , Wiley (1980) MR0587488 Zbl 0433.34003 | |
| P.R. Garabedian, “Partial differentialligninger” , Wiley (1964) MR0162045 Zbl 0124.30501 |
Grøn funktion i funktionsteori.
I teorien om funktioner af en kompleks variabel forstås ved en (reel) grøn funktion en grøn funktion for det første randværdiproblem for Laplace-operatoren, dvs. en funktion af typen
$$$ \$tag{1 }G ( z, z _ {{0}} ) = \ \ \mathop{rm ln} \frac{1}{| z – z _ {0} | } +\gamma ( z, z _ {0} ),\ \ \ z \in \Omega ,$$$
hvor $ z = x + iy $er den komplekse variabel, $ z _ {0} = x _ {0} + iy _ {0} $er polen af den grønne funktion, $ z _ {0} \in \Omega $, og $ \gamma ( z, z _ {0} ) $ er en harmonisk funktion af $ z $, som antager værdierne $ – \mathop{\rm ln} 1/ | z – z _ {0} | $ ved grænsen $ \partial \Omega $. Lad domænet $ \Omega $ være simpelt forbundet, og lad $ w = f ( z, z _ {0} ) $ være den analytiske funktion, der realiserer den konforme afbildning af $ \Omega $ på enhedsskiven, således at $ z _ {0} $ afbildes til centrum af skiven, og således at $ f ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, $ f ^ $ { \prime } ( z _ { {0} , z _ {0} ) > 0 $.
Så
$$ $ \tag{2 }G ( z, z _ {0} ) = \ \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| f ( z, z _ {0} ) | } } .$$
Hvis $ H ( z, z _ {0} ) $ er den harmoniske funktion konjugeret med $ G ( z, z _ {0} ) $, $ H ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, så den analytiske funktion $ F ( z, z _ {0} ) = G ( z, z _ {0} ) + iH ( z, z _ {0} ) $ siges at være en kompleks grøn funktion af $ \Omega $ med polen $ z _ {0} $. Inversionen af formel (2) giver
$$$ \tag{3 }f ( z, z _ {0} ) = \ e ^ {- F ( z, z _ {0} ) } .$$$
Formlerne (2) og (3) viser, at problemerne med at konstruere en konform afbildning af $ \Omega $ ind i skiven og med at finde en grøn funktion er ækvivalente. De grønne funktioner $ G ( z, z _ {0} ) $, $ F ( z, z _ {0} ) $er invariante under konforme afbildninger, hvilket nogle gange kan lette deres identifikation (se Afbildningsmetode).
I teorien om Riemann-flader er det mere bekvemt at definere grønne funktioner ved hjælp af en minimumsegenskab, der gælder for en funktion (1): Af alle funktioner $ U ( z, z _ {0} ) $ på en Riemann-overflade $ \Omega $, der er positive og harmoniske for $ z \neq z _ {0} $og som i et nabolag til $ z _ {0} $ har formen
$$$ \tag{4 }U ( z, z _ {0} ) = \ \ \ \mathop{\rm ln} \frac{1}{| z – z _ {0} | } +\gamma ( z, z _ {0} ),$$$
hvor $ \gamma ( z, z _ {0} ) $er en harmonisk funktion, som er regelmæssig på hele overfladen $ \Omega $, den grønne funktion, hvis den findes, er den mindste, dvs. $ G ( z, z _ {0} ) \leq U ( z, z _ {0} ) $ $. Her er eksistensen af en grøn funktion typisk for Riemann-flader af hyperbolisk type. Hvis en grøn funktion er defineret på denne måde, forsvinder den generelt set ikke længere noget sted på Riemann-fladens (ideelle) grænse. Situationen er tilsvarende i potentialteorien (se også potentialteori, abstrakt). For en vilkårlig åben mængde $ \Omega $, f.eks. i det euklidiske rum $ \mathbf R ^ {n} $, $ n \geq 2 $, kan den grønne funktion $ G ( x, x _ {0} ) $ også defineres ved hjælp af den ovenfor omtalte minimumsegenskab, men for $ n \geq 3 $ kan udtrykket $ | x – x _ {0} | ^ {2 – n } $ skal erstattes af $ \mathop{{\rm ln} {1/ | x – x – x _ {0} | } $ i formel (4). Generelt tenderer en sådan grøn funktion ikke nødvendigvis mod nul, når man nærmer sig grænsen $ \partial \Omega $. En grøn funktion findes ikke for Riemann-flader af parabolisk type eller for visse domæner i $ \mathbf R ^ {2} $ (f.eks. for $ \Omega = \mathbf R ^ {2} $).
| S. Stoilov, “The theory of functions of a complex variable” , 1-2 , Moskva (1962) (På russisk; oversat fra rumænsk) | ||
| R. Nevanlinna, “Uniformisierung” , Springer (1953) MR0057335 Zbl 0053.05003 | ||
| M. Brélot, “Eléments de la théorie classique du potentiel” , Sorbonne Univ. Centre Doc. Univ. , Paris (1959) MR0106366 Zbl 0084.30903 |
E.D. Solomentsev
Se også og for grønne funktioner i klassisk potentialteori og for grønne funktioner i axiomatisk potentialteori.
I teorien om funktioner af flere komplekse variable, mere specifikt i pluri-potentialteori (jf. også potentialteori), er der blevet indført grønne funktioner for den komplekse Monge-Ampère-ligning. Ideelt set skulle en sådan grøn funktion være en fundamental løsning for den komplekse Monge-Ampère-operator $ M A = \mathop{{\rm det} ( \partial ^ {2} / \partial z _ {i} \partial \overline{z}\; _ {j} ) $, med grænseværdier $ 0 $ og desuden plurisubharmonisk (jf. også Plurisubharmonisk funktion). Det er kun muligt at opnå en rimelig analogi med den klassiske endimensionelle teori for pseudokonvekse domæner (jf. Pseudokonvekse og pseudokonkave). Der er blevet foreslået flere uækvivalente definitioner af Green-funktionen. En af disse er som følger. Lad $ \Omega $ være et område i $ \mathbf C ^ {n} $, $ w \in \Omega $. Lad $ \mathop{\rm PSH} $ \mathop{\rm PSH} ( \Omega ) $betegne de plurisubharmoniske funktioner (jf. Plurisubharmonisk funktion) på $ \Omega $. Den grønne funktion for $ \Omega $ med polen ved $ w $ er
$$$ G ( z , w ) =$$$
$$$ = \ \sup \{ u ( z) : u \i \mathop{\rm PSH}} ( \Omega ) , u \leq 0 ,\ u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} | \zeta – w | < C _ {u} \} ,$$
hvor $ C _ {u} $er en konstant, der afhænger af $ u $. For ethvert fast $ w $ er $ G ( \cdot , w ) $ således plurisubharmonisk. For $ n = 1 $ er $ – G $ lig med den sædvanlige Green-funktion. Man ønsker naturligvis, at $ G ( \cdot , w ) \mid _ {\partial \Omega } = 0 $ og også $ G ( \cdot , w ) $ en kontinuert funktion til $ $ $, men dette svarer til, at $ \Omega $ er et hyperkonvekst område (dvs. et pseudokonvekst område, der tillader en kontinuert, afgrænset plurisubharmonisk udtømningsfunktion). Hvis dette er tilfældet, har man også:
1) $ M A ( G ( \cdot , w ) ) = ( 2 \pi ) ^ {n} \delta _ {w} $, hvor $ \delta _ {w} $er Dirac-mål ved $ w $,
2) $ G ( z , w ) \sim \mathop{\rm log} | z – w | $as $ z \rightarrow w $og $ G $er kontinuert på $ \overline \Omega \; \times \Omega $.
Hvis $ \Omega $er strengt konveks, så er $ G $ symmetrisk: $ G ( z , w ) = G ( w , z ) $og $ C ^ \infty $på $ \Omega \setminus \{ w \} $. Hvis $ \Omega $ kun er strengt pseudokonvekse, behøver $ G $ ikke at være symmetrisk og ikke engang $ C ^ {2} $. Man kan indføre en slags Green-funktion, hvori symmetrien er indarbejdet, se , men man kan løsne 1) og 2). For $ \Omega $strikt pseudokonvekse gælder følgende ulighed (L. Lempert):
$$$ \mathop{\rm log} \mathop{\rm tanh} C ( z , w ) \leq \ G ( z , w ) < \mathop{\rm log} \mathop{\rm tanh} K ( z , w ) ,$$
med lighed for konvekse domæner. Her betegner $ C $og $ K $ henholdsvis Carathéodory- og Kobayashi-afstanden.
Hvis $ E $er et afgrænset sæt i $ \mathbf C ^ {n} $, er den grønne funktion med polen ved $ \infty $for $ E $is
$$$ L _ {E} ( z) = $$$
$$$ = \ \sup \{ u ( z) : u \in \mathop{\rm PSH} ( \Omega) , u \leq 0 \mathop{\rm on} E , u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} ( 1 + | \zeta | ) < C _ {u} \} ,$$
og analogt til det envariable tilfælde er der en Robin-funktion
$$$ R _ {E} ( z) = \lim\limits \sup _{\begin{array}{c}\lambda \in \mathbf C \\ \lambda \rightarrow \infty \end{array} }( L _ {E} ( \lambda z ) – \mathop{\rm log} | \lambda z | )$$ $$
og en logaritmisk kapacitet
$$$ \mathop{\rm Cap} ( E) = \mathop{{\rm exp} \{ – \sup R _ {E} \} .$$$
For generelle mængder $ E $, $ \mathop{{\rm Cap} ( E) = \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } \mathop{\rm cap} ( E \cap \{ | z | | < n \} ) $ $. Denne kapacitet har den egenskab, at mængderne med kapacitet nul netop er de pluri-polære mængder.
| L.L. Helms, “Introduction to potential theory” , Wiley (Interscience) (1969) | |
| K. Janssen, “On the existence of a Green function for harmonic spaces” Math. Annalen , 208 (1974) pp. 295-303 MR0350045 Zbl 0265.31018 | |
| N.S. Landkof, “Foundations of modern potential theory” , Springer (1972) (Oversat fra russisk) MR0350027 Zbl 0253.31001 | |
| E. Bedford, “Survey of pluri-potential theory” (kommende) MR1207855 Zbl 0786.31001 Zbl 0786.31001 | |
| U. Cegrell, “Capacities in complex analysis” , Vieweg (1988) MR0964469 Zbl 0655.32001 | |
| J.P. Demailly, “Mesures de Monge-Ampère et mesures pluriharmoniques” Math. Z. , 194 (1987) pp. 519-564 MR881709 Zbl 0595.32006 |
Green’s function in statistical mechanics.
En tidsordnet lineær kombination af korrelationsfunktioner (jf. korrelationsfunktion i statistisk mekanik), som er en praktisk mellemliggende størrelse i beregninger af vekselvirkende partikler.
Green’s funktion i statistisk kvantemekanik.
To-tidskommutator-temperatur Green-funktioner er de mest anvendte: retarderede $ ( \mathop{\rm ret} , + ) $, avancerede $ ( \mathop{\rm adv} , – ) $og kausale (c) $. Disse er defineret ved relationerne:
$$$$ G _ {AB} ^ { {( \mathop{\rm ret} ) } }( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {( \mathop{\rm ret} ) } \equiv$$$
$$$ \equiv \ \theta ( t – t ^ \prime ) \langle _ \eta \rangle ,$$
$$$ G _ {AB} ^ { {( \mathop{\rm adv} ) } } ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ { {( \mathop{\rm adv} ) } } } \equiv$$$
$$$ \equiv \ – \theta ( t ^ \prime – t) \langle _ \eta \rangle ,$$
$$$ G _ {AB} ^ {(} c) ( t – t ^ \prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ \prime ) \gg ^ {(} c) \equiv \langle T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) \rangle ,$$
hvor
$$$ _ \eta = \ A ( t) B ( t ^ \prime ) – \eta B ( t ^ \prime ) A ( t ),$$$
$$$ T _ \eta A ( t) B ( t ^ \prime ) = \theta ( t – t ^ \prime ) A ( t)B ( t ^ \prime ) + \eta \theta ( t ^ \prime – t) B ( t ^ \prime ) A ( t ),$$
$$$ \theta ( x) = \left \{ \begin{array}{ll}1, & x > 0 \\0, & x < 0 \\\end{array} ,\ \eta = \pm 1 . \right .$$
Her er $ A ( t) $og $ B ( t ^ \prime ) $ tidsafhængige dynamiske variabler (operatører på systemets tilstandsrum i Heisenberg-repræsentationen); $ \langle \dots \rangle $betegner gennemsnittet over det statistiske Gibbs-aggregat; værdien af $ \eta = \pm 1 $ er valgt for nemheds skyld. Effektiviteten af brugen af Green’s funktioner afhænger i vid udstrækning af brugen af spektrale repræsentationer af deres Fouriertransformationer $ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) $, $ n = \mathop{\rm ret} , \mathop{\rm adv} , \textrm{ c } $. For en temperatur, der ikke er nul, gælder følgende repræsentation for de avancerede og forsinkede grønne funktioner:
$$$ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) = \ll A \mid B \gg _ {E} ^ {(} n) =$$$
$$$ = \ \ \frac{i}{2 \pi } \int\limits _ {- \infty } ^ { {+ } \infty } \frac{(e ^ {{\omega / \theta } – \eta } – \eta ) J _ {AB} (\omega ) }{E – \omega + i \epsilon \alpha _ {n} } d \omega ,$$$
$$$ \epsilon \rightarrow + 0,\alpha _ {n} = \left \{begin{array}{rl}1, & n = \mathop{\rm ret} , \\- 1, & n = \mathop{\rm adv} . \\\end{array} \right .$$
Her $ J _ {AB} ( \omega ) $er spektraltætheden, $ \theta = kT $, hvor $ T \neq 0 $er den absolutte temperatur, og $ k $er Boltzmann-konstanten. I det anvendte enhedssystem er $ \hbar = h/2 \pi = 1 $, hvor $ h $ er Planck-konstanten. Især gælder følgende formel:
$$$$ G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm ret} ) } ( \omega ) -G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm adv} ) } ( \omega ) = \ \ \left ( e ^ {{\omega / \theta } – \eta\right ) J _ {AB} ( \omega ) .$$
Denne formel gør det muligt at beregne den spektrale tæthed (og dermed også en række fysiske egenskaber ved systemet) ved hjælp af en grøn funktion. Lignende spektralformler findes også for nul temperatur. Singulariteterne (polerne i det komplekse plan) i Fouriertransformationen af en Green-funktion karakteriserer spektret og dæmpningen af de elementære forstyrrelser i systemet. De vigtigste kilder til beregning af en Green-funktion omfatter: a) den tilnærmede løsning af en uendelig kæde af sammenflettede ligninger, som er afledt direkte af definitionen af Green-funktionen ved at “opdele” kæden på grundlag af fysiske ideer; b) summering af de fysiske “fundamentale” termer i forstyrrelsesteoriens serier (summation af diagrammer); denne metode anvendes hovedsagelig til beregning af kausale Green-funktioner, og den ligner på mange måder metoden til beregning af en Green-funktion i kvantefeltteori.
Green’s funktion i klassisk statistisk mekanik
er totids retarderede (ret) og avancerede (adv) Green’s funktioner, der opnås ved at erstatte operatørerne $ A ( t) $og $ B ( t ^ \prime ) $i de relevante kvanteformler, der er opstillet for kvantetilfældet (for $ \eta = \pm 1 $), med de dynamiske tilstandsfunktioner for det undersøgte klassiske system, og ved at erstatte kommutatoren $ A ( t) B ( t ^ \prime ) – B ( t ^ \prime ) A ( t) $ (kvante-Poisson-bøjlerne) med de klassiske (almindelige) Poisson-bøjler; $ \langle \dots \rangle $betyder tilsvarende, at der dannes et gennemsnit over Gibbs’ klassiske aggregat. Indførelsen af en kausal Green’s funktion har ingen betydning her, da produktet af de dynamiske variabler er kommutativt. I analogi med kvantetilfældet findes der spektrale repræsentationer af Fouriertransformationen af en Green’s funktion, som kan anvendes effektivt. Den vigtigste kilde til beregning af en klassisk Green-funktion er det ligningssystem, der opnås ved uendelig lille ændring af Hamiltonianen i et eller andet ligningssystem for korrelationsfunktionerne: Bogolyubov-ligningskæden af ligninger, et system af hydrodynamiske ligninger, osv.
| N.N. Bogolyubov, S.V. Tyablikov, “Retarded and advanced Green functions in statistical physics” Soviet Phys. Dokl. , 4 (1960) pp. 589-593 Dokl. Akad. Nauk SSSR , 126 (1959) pp. 53 Zbl 0092.21703 | |
| D.N. Zubarev, “Double-time Green functions in statistical physics” Soviet Phys. Uspekhi , 3 (1960) pp. 320-345 Uspekhi Fiz. Nauk , 71 (1960) pp. 71-116 MR0122068 MR0122068 | |
| N.N. Bogolyubov, jr., B.I. Sadovnikov, Zh. Eksperim. Teor. Fiz. , 43 : 8 (1962) pp. 677 | |
| N.N. Bogolyubov jr, B.I. Sadovnikov, “Some questions in statistical mechanics” , Moskva (1975) (På russisk) | |
| , Statistical physics and quantum field theory , Moskva (1973) (På russisk) Zbl 1195.81005 Zbl 1153.81302 Zbl 1153.81301 Zbl 1119.81300 Zbl 1110.00014 Zbl 1112.81301 Zbl 1099.81500 Zbl 1062.81500 Zbl 1062.81500 Zbl 1064.81500 Zbl 1014.00503 Zbl 1062.81501 Zbl 0994.81077 Zbl 1016.81042 Zbl 0967.00039 Zbl 1087.82505 Zbl 1074.81537 Zbl 1014.00509 Zbl 0947.00014 Zbl 0967.00041 Zbl 0956.81504 |
V.N. Plechko