Kurator: Gerard ′t Hooft
Leo Trottier
Jonathan R. Williford
Nick Orbeck
Jonathan Gleason
Jonathan Gleason
Riccardo Guida
Gauge-teorier refererer til en ret generel klasse af kvantefeltteorier, der anvendes til beskrivelse af elementarpartikler og deres vekselvirkninger. Teorierne er kendetegnet ved tilstedeværelsen af vektorfelter og er som sådan en generalisering af den ældre teori om kvanteelektrodynamik (QED), der bruges til at beskrive de elektromagnetiske vekselvirkninger mellem ladede elementarpartikler med spin 1/2. Lokal gaugeinvarians er et meget centralt spørgsmål. Et vigtigt træk er, at disse teorier ofte er normalisérbare, når de anvendes i 3 rum- og 1 tidsdimension.
Indhold
- 1 1. Maxwell’s ligninger og gauge invarians
- 2 2. Yang-Mills teori
- 3 3. Brout-Englert-Higgs-mekanismen
- 4 4. Kvantekromodynamik
- 5 5. Lagrangianen
- 6 6. Renormalisering og anomalier
- 7 7. Standardmodellen
- 8 8. Grand Unified Theories
- 9 9. Afsluttende bemærkninger
- 10 Referencer
- 11 Yderligere læsning
- 12 Se også
- 13 Eksterne links
1. Maxwells ligninger og gaugeinvarians
Det enkleste eksempel på en gaugeteori er elektrodynamikken, som beskrives af Maxwell-ligningerne. Den elektriske feltstyrke\(\vec E(\vec x,t)\) og den magnetiske feltstyrke\(\vec B(\vec x,t)\) adlyder de homogene Maxwell-ligninger (i SI-enheder):
\
\
I henhold til Poincarés lemma, Eq. (2), at der findes et andetvektorfelt \(\vec A(\vec x,t)\), således at
Så længe Eq. (1) nu lyder
\
kan vi også konkludere, at der findes et potentialefelt \(\Phi(\vecx,t)\) således, at
Feltet \(\Phi\) er det elektriske potentialefelt;vektorfeltet \(\vec A\) kaldes vektorpotentialfeltet. Styrken af disse potentielle felter bestemmes af de inhomogene Maxwell-ligninger, som er de ligninger, der relaterer styrken af de elektromagnetiske felter til de elektriske ladninger og strømme, der genererer disse felter. Brugen af potentielle felter forenkler ofte problemet med at løse Maxwells ligninger.
Det, der gør denne teori til en gaugeteori, er det faktum, at værdierne af disse potentielle felter ikke er fuldstændig bestemt af Maxwells ligninger. Betragt en elektromagnetisk feltkonfiguration\((\vec E(\vec x,t),\,\vec B(\vec x,t))\ ,\) og antag, at den er beskrevet af potentialfelterne \((\Phi(\vec x,t),\,\,\vecA(\vec x,t))\ .\) Ved hjælp af en vilkårlig skalarfunktion\(\Lambda(\vec x,t)\ ,\) kan man så finde et andet sæt af potentialefelter, der beskriver de samme elektriske og magnetiske felter, ved at skrive
\
Ved inspektion af ligningerne (3) og (5) kan man let konstatere, at \(\(\vec E=\vec E’\) og \(\vecB=\vec B’\ .\) Således beskriver mængden (\(\(\Phi’,\,\,\vec A’\)) og (\(\(\Phi,\,\,\vec A\))) den samme fysiske situation.På grund af dette kalder vi transformationen (6) en gauge-transformation. Da \(\(\Lambda\) kan vælges til at være en vilkårlig funktion af punkterne \((\vec x,t)\) i rumtiden, taler vi om en lokal gauge-transformation. Det forhold, at de elektromagnetiske felter er invariante under disse lokale gaugetransformationer, gør Maxwells teori til en gaugeteori.
I relativistisk kvantefeltteori vil feltet \(\psi(\vecx,t)\) for en ikke-vekselvirkende spindelløs partikel typisk følge ligningen
\
hvor der anvendes enheder, således at lysets hastighed \(c=1\ ,\) og Plancks konstante \(\hbar=1\ .\) Dette giver spredningsforholdet mellem energi og impuls som foreskrevet af den specielle relativitetsteori:
\
Sæt nu, at den pågældende partikel bærer en elektrisk ladning\(q\ .\) Hvordan påvirkes dens ligning så af tilstedeværelsen af elektromagnetiske felter? Det viser sig, at man ikke kan skrive de korrekte ligninger ved hjælp af felterne \(\vec E\) og \(\vecB\) direkte. Her kan man kun vælge at tilføje termer, der afhænger af de (vektor)potentielle felter i stedet:
\
Det kan verificeres, at denne ligning korrekt producerer bølger, der afbøjes af de elektromagnetiske kræfter på den måde, man forventer.For eksempel kan man let se, at energien \(E\) er forstærket med et beløb \(q\,\Phi(\vec x,t)\ ,\), som er den potentielle energi for en ladet partikel i et elektrisk potentielt felt.
Hvad sker der imidlertid med denne ligning, når man udfører en gaugetransformation? Det ser ud som om ligningen ændrer sig, så løsningen for feltet \(\psi\) bør også ændre sig. Faktisk ændrer \(\psi\) sig på følgende måde:
\
Feltet \(\psi\) foretager således en rotation i det komplekse plan. Dette er nært beslægtet med en “skalatransformation”, som ville opstå, hvis man fjernede “i” fra ligning (10).Det var Hermann Weyl, der bemærkede, at denne symmetritransformation simpelthen omdefinerer skalaen for feltet\(\psi\\ ,\) og introducerede ordet “gauge” for at beskrive denne egenskab.
Kombinationerne
kaldes kovariante afledninger, fordi de er valgt på en sådan måde, at de afledte af funktionen \(\Lambda(\vecx,t)\) udligner sig i en gaugetransformation:
\
\
og dette gør det let at se, at ligning (10)korrekt beskriver den måde, hvorpå \(\psi\) transformeres under en lokal gaugetransformation, idet den adlyder den samme feltligning(9) både før og efter transformationen (alle termer i ligningen multipliceres med den samme eksponentiel\(e^{-iq\Lambda}\\ ,\), så denne faktor er uden betydning).
Den absolutte værdi, \(|\psi(\vec x,t)|^2\) ændrer sig overhovedet ikke under en gaugetransformation, og det er faktisk den mængde, der svarer til noget, der er fysisk observerbart: det er sandsynligheden for, at en partikel kan findes ved \((\vecx,t)\ .\) En tommelfingerregel er, at lokal gaugeinvarians kræver, at alle afledninger i vores ligninger erstattes af kovariante afledninger.
2. Yang-Mills teori
I 1950’erne vidste man, at feltligningerne for feltet for en proton, \(P(\vec x,t)\ ,\) og feltet for en neutron, \(N(\vec x,t)\ ,\) er sådan, at man kan dreje disse felter i et komplekst todimensionalt rum:
\
hvor matricen \( U=\venstre({a\quad b\atop c\quadd}\right)\) kan indeholde fire vilkårlige komplekse tal, så længe den er unitær (\(U\,U^\dagger=I\)), og normalt er determinanten af \(U\) begrænset til at være 1. Da disse ligninger ligner de rotationer, man kan udføre i det almindelige rum for at beskrive en partikels spin, blev den pågældende symmetri her kaldt isospin.
I 1954 offentliggjorde C.N. Yang og R.L. Mills en meget vigtig idé: Kunne man ændre ligningerne på en sådan måde, at disse isospinrotationer kunne betragtes som lokale gauge-rotationer? Det ville betyde, at matricerne\(U\) i modsætning til det tilfælde, der var kendt, skulle have lov til at afhænge af rum og tid, ligesom gauge-generatoren \(\Lambda(\vec x,t)\) i elektromagnetismen. Yang og Mills blev også inspireret af den observation, at Einsteins gravitationsteori, den generelle relativitetsteori, også tillader transformationer, der minder meget om lokale gaugetransformationer: udskiftning af koordinatrammen med andre koordinater på en vilkårlig, rumtidsafhængig måde.
For at skrive feltligninger for protoner og neutroner har man brug for disse felters derivater. Den måde, hvorpå disse derivater transformeres under en lokal gaugetransformation, indebærer, at der vil være termer, der indeholder gradienterne \(\vec\nabla U\) af matricerne\(U\ .\) For at gøre teorien gaugeinvariant skal disse gradienter ophæves, og for at gøre dette erstattede Yang og Mills derivaterne \(\vec\nabla\) med kovariante derivater \(\vec D=\vec\nabla -ig\vec A(\vec x,t)\ ,\) som det blev gjort i elektromagnetisme, se ligning (11). Her skulle felterne \(\vec A\) imidlertid være matrix-værdier, ligesom isospin \(U\) matricerne:
\
\
Da \(U\)-matricerne indeholder fire koefficienter med én begrænsning (determinanten skal være 1), ender man med et sæt af tre nye vektorfelter (der er tre uafhængige reelle vektorer i matrixen (15)). Ved første øjekast ser de ud til at være felter for en vektordel med isospin 1. I praksis bør dette svare tilpartikler med en spin-enhed (dvs. partiklen roterer om sin akse), og dens elektriske ladning kunne være neutral eller en eller minus en enhed. Yang-Mills teorien forudsiger og beskriver derfor en ny type partikler med spin 1, som udsender en kraft, der ikke er ulig den elektromagnetiske kraft.
De felter, der svarer til Maxwells elektriske og magnetiske felter, fås ved at betragte kommutatoren af to kovariante derivater:
\=D_\mu D_\nu-D_\nu D_\mu=-ig(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-ig) = -igF_{\mu\nu}\ ,\]
hvor indeksene antager værdierne \(\mu,\nu=0,1,2,3\ ,\), hvor 0 henviser til tidskomponenten.
Da \( F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}\ ,\) denne tensor har 6uafhængige komponenter, hvoraf tre danner et elektrisk vektorfelt og tre et magnetfelt. Hver af disse komponenter er også en matrix.Kommutatoren \(\) er en ny, ikke-lineær term, som gør Yang-Mills ligningerne meget mere komplicerede end Maxwell-systemet.
I andre henseender ligner Yang-Mills partiklerne, som er energikvanter af Yang-Mills felterne, fotoner, lysets kvanter. Yang-Mills-partikler har heller ingen iboende masse og bevæger sig med lysets hastighed. Faktisk var disse egenskaber i første omgang en grund til at afvise denne teori, fordi masseløse partikler af denne art for længe siden burde være blevet opdaget, mens de iøjnefaldende manglede.
3. Brout-Englert-Higgs-mekanismen
Theorien blev genoplivet, da den blev kombineret med spontant brud på den lokale gauge-symmetri, også kendt som Brout-Englert-Higgs-mekanismen. Betragt en skalarisk (spindelløs)partikel, der beskrives af et felt \(\phi(\vec x,t)\ .\) Dette felt antages at være et vektorfelt i den forstand, at det undergår enerotation, når der foretages en målingstransformation. I praksis betyder det, at partiklen bærer en eller flere slags ladninger, der gør den følsom over for Yang-Mills-kraften, og ofte har den flere komponenter, hvilket betyder, at der findes forskellige arter af denne partikel.Sådanne partikler skal adlyde Bose-Einstein-statistik, hvilket indebærer, at den kan undergå Bose-Einstein-kondensation. Med hensyn til dens felt \(\phi\) betyder dette følgende:
I vakuumet tager feltet \(\phi\) en ikke-flydende værdi \(F\ .\)
Dette skrives normalt som
\
Efter en lokal gaugetransformation vil dette se ud som
hvor \( U(\vec x,t) \) er et matrixfelt, der repræsenterer denlokale gaugetransformation.
Det siges ofte, at vakuumet derfor ikke er gaugeinvariant, men det er strengt taget ikke korrekt. Den situation, der beskrives ved ligning (18), er det samme vakuum som i (17); det er blot beskrevet anderledes. Denne egenskab ved vakuumet har imidlertid vigtige konsekvenser. Da det roterede felt nu beskriver den samme situation som den tidligere værdi, er der ikke nogen anden fysisk partikel forbundet med det roterede felt. Kun længden af vektoren\(\phi\) har fysisk betydning. Derfor er det kun længden af vektoren \( \phi\), der er forbundet med én type partikel, som må være neutral for Yang-Mills-kræfterne. Denne partikel kaldes nu for Higgs-partiklen.
Da Higgs-feltet er en konstant kilde til Yang-Mills-feltstyrken, ændres Yang-Mills-feltligningerne af det. På grund af Higgs-feltet får de Yang-Mills “fotoner”, der beskrives af Yang-Mills-feltet \(A_\mu(\vec x,t)\), en masse. Dette kan også forklares på følgende måde. Fotoner uden masse kan kun have to helicitystates, dvs. de kan kun spinne i to retninger. Dette hænger sammen med det faktum, at lys kan polariseres i præcis to retninger. Massive fotoner (partikler med ikke-foranderlig masse og med en spin-enhed) kan altid spinne i tre retninger. Denne tredje rotationsmåde leveres nu af Higgs-feltet, som i sig selv mister flere af sine fysiske komponenter. Det samlede antal fysiske feltkomponenter forbliver det samme før og efter Brout-Englert-Higgs-mekanismen. En yderligere konsekvens af denne virkning på Yang-Mills-feltet er, at den kraft, der overføres af de massive fotoner, er en kraft med en kort rækkevidde (kraftens rækkevidde er omvendt proportional med fotonens masse).
De svage vekselvirkninger kunne nu med held beskrives med en Yang-Mills teori. Sammensætningen af lokale gauge-transformationer danner den matematiske gruppe \(SU(2)\ gange U(1)\ .\) Denne gruppe genererer 4 arter af fotoner (3 for \(SU(2)\) og 1 for \( U(1)\))). Brout-Englert-Higgs-mekanismen nedbryder denne gruppe på en sådan måde, at der er en undergruppe af formen \(U(1)\) tilbage.Dette er den elektromagnetiske teori, med kun én foton. De tre andre fotoner bliver massive; de er ansvarlige for de svage vekselvirkninger, som i praksis synes at være svage, blot fordi disse kræfter har en meget kort rækkevidde. Med hensyn til elektromagnetismen er to af disse mellemliggende vektorbosoner, \(W^\pm\ ,\)elektrisk ladede, og en tredje, \( Z^0\ ,\) er elektrisk neutral. Da sidstnævntes eksistens blev udledt af gruppeteoretiske argumenter, gav det anledning til forudsigelsen af en hidtil ubemærket form af den svage vekselvirkning: den neutrale strømvekselvirkning. Denne teori, der kombinerer elektromagnetisme og den svage kraft i én, kaldes den elektrosvage teori, og den var den første fuldt renormaliserbare teori for den svage kraft (se kapitel 5).
4. Kvantekromodynamik
Da man forstod, at de svage vekselvirkninger sammen med de elektromagnetiske vekselvirkninger kan tilskrives en Yang-Mills gaugeteori, blev der stillet spørgsmål om, hvordan man skulle behandle den stærke kraft, en meget stærk kraft med relativt kort virkningsradius, som styrer adfærden hos de hadroniske partikler som f.eks. nukleonerne og pionerne. Man havde siden 1964 forstået, at disse partikler opfører sig som om de var bygget op af underenheder, kaldet kvarker. Man kendte tre varianter af kvarker (up, down og strange), og tre andre ville senere blive opdaget (charm, top og bottom). Disse kvarker har den ejendommelige egenskab, at de permanent hænger sammen enten i tripletter, eller at en kvark hænger sammen med en anti-kvark. Men når de nærmer sig hinanden meget tæt, begynder de at opføre sig mere frit som individer.
Disse træk forstår vi nu som værende, igen, forårsaget af en Yang-Millsgauge-teori. Her har vi den matematiske gruppe \(SU(3)\)som lokal målegruppe, mens symmetrien nu ikke er påvirket af nogen Brout-Englert-Higgs-mekanisme. På grund af Yang-Mills-feltets ikke-lineære natur interagerer det med sig selv, hvilket tvinger felterne til at indgå i mønstre, der er helt anderledes end i det elektromagnetiske tilfælde: der dannes vortexlinjer, som danner ubrydelige bindinger mellem kvarker. Ved korte afstande bliver Yang-Mills-kraften svag, og dette er en egenskab, der kan udledes på en elementær måde ved hjælp af perturbationsudvidelser, men det er en egenskab ved det kvantiserede Yang-Mills-system, som man hidtil havde troet var umulig for enhver kvantefeltteori, kaldet asymptotisk frihed. Opdagelsen af denne egenskab har en kompliceret historie.
\(SU(3)\) indebærer, at hver art kvark findes i tre typer, der betegnes som farver: de er “røde”, “grønne” eller “blå”, og kvarkens felt er derfor en 3-komponent vektor i et internt “farve”-rum. Yang-Mills gauge-transformationer roterer denne vektor i farverummet. Yang-Mills-felterne danner selv 3 x 3 matricer med én begrænsning (da determinanten af Yang-Mills gaugerotationsmatricerne skal holdes lig med én). Yang-Mills-feltet har derfor 8 farvede fotonlignende partikler, kaldet gluoner. Anti-kvarker bærer de konjugerede farver (“cyan”, “magenta” eller “gul”). Teorien kaldes nu for kvantekromodynamik (QCD). Det er også en renormaliserbar teori.
Gluonerne holder effektivt kvarkerne sammen på en sådan måde, at deres farver tilsammen giver et total, der er farvenutralt (“hvid” eller en “grå nuance”). Det er derfor, at enten tre kvarker eller en kvark og en antikvark kan sidde sammen og danne en fysisk observerbar partikel (en hadron). Denne egenskab ved teorien kaldespermanent quark confinement. På grund af felternes stærkt ikke-lineære karakter er det faktisk ret vanskeligt at påvise kvarkindespærring, mens egenskaben asymptotisk frihed kan påvises nøjagtigt. Der er faktisk endnu ikke givet en matematisk vandtæt demonstration af indeslutning med det tilhørende fænomen af et massegab i teorien (fraværet af strengt masseløse hadroniske objekter), og dette er genstand for en meddelelse fra Clay Mathematics Institute i Cambridge, Massachusetts.
5. Lagrangianen
Man kan ikke vælge alle feltligninger efter forgodtbefindende. De skal adlyde betingelser som f.eks. energibevarelse.Dette indebærer, at der er et handlingsprincip (handling = reaktion), og dette princip udtrykkes lettest ved at skrive lagrangianen for teorien. Lagrangianen (mere præcist Lagrange-tætheden) \( \mathcal{L}(\vec x,t)\) er et udtryk for systemets felter. For et reelt skalarfelt \(\Phi\) er det
\
og for Maxwell-felterne er det
\
hvor summeringen er den Lorentz-kovariante summering over Lorentz-indeksene \(\mu,\nu\ .\)Feltligningerne kan alle udledes af dette udtryk ved at kræve, at aktionsintegralet,
hvor \(\(\mathcal{L}\) er summen af lagrangianerne for alle felter i systemet,skal være stationært under alle infinitesimale variationer af disse felter. Dette kaldes Euler-Lagrange-princippet,og ligningerne er Euler-Lagrange-ligningerne.
For gauge-teorier generaliseres dette direkte: man skriver
\
ved hjælp af udtrykket (16) for gauge-felterne \(F_{{\mu\nu}\\ ,\) og tilføjer alle termer, der er knyttet til de andre felter, der er indført. Alle symmetrier i teorien er symmetrier i lagrangianen, og dimensionaliteten af alle koblingsstyrker kan også let aflæses fra lagrangianen,hvilket er af betydning for renormaliseringsproceduren (se næste kapitel).
6. Renormalisering og anomalier
I henhold til kvantemekanikkens love består energien i et felt af energipakker, og disse energipakker er i virkeligheden departikler, der er tilknyttet feltet. Kvantemekanikken giver ekstremtpræcise forskrifter for, hvordan disse partikler interagerer, så snart feltligningerne er kendt og kan gives i form af en lagrangian. Teorien kaldes så kvantefeltteori (QFT), og den forklarer ikke blot, hvordan kræfter overføres ved udveksling af partikler, men den fastslår også, at der skal ske flere udvekslinger. I mange ældre teorier gav den mangfoldige udveksling anledning til vanskeligheder: deres virkninger synes at være ubegrænsede eller uendelige. I en gaugeteori er den lille afstandsstruktur imidlertid meget præcist foreskrevet af kravet om gaugeinvarians. I en sådan teori kan man kombinere de uendelige virkninger af de multiple udvekslinger med omdefinitioner af de involverede partiklers masse og ladninger. Denne procedure kaldes renormalisering. I 3 rum- og 1 tidsdimension er de fleste gaugetheorier renormaliserbare. Dette giver os mulighed for at beregne virkningerne af flere partikeludvekslinger med høj nøjagtighed, hvilket gør det muligt at foretage en detaljeret sammenligning med eksperimentelle data.
Renormalisering kræver, at partiklernes masser og koblingsstyrker defineres meget omhyggeligt. Hvis alle koblingsparametre i en teori får en masse-dimensionalitet, der er nul eller positiv, forbliver antallet af divergerende udtryk under kontrol. Hvis man kræver, at teorien skal forblive måleinvariant under hele renormaliseringsproceduren, er der normalt ingen tvetydighed i definitionerne. Det er imidlertid ikke indlysende, at der overhovedet findes entydige, gaugeinvariante definitioner, da gaugeinvarians skal gælde for alle vekselvirkninger, mens kun nogle få uendelige udtryk kan erstattes af endelige.
Det bevis, der viste, hvordan og hvorfor der kan opnås utvetydige renormaliserede udtryk, kunne opnås mest elegant ved at realisere, at gaugeteorier kan formuleres i et vilkårligt antal rum-tidsdimensioner. Det var endda muligt at definere alle Feynmandiagrammer utvetydigt for teorier i rum, hvor dimensionerne er \(3-\epsilon\\ ,\), hvor \(\epsilon\) er en uendeligt lille størrelse. Hvis man tager grænsen \(\epsilon\rightarrow0\), er det nødvendigt at trække poler af formen\(C_n/\epsilon^n\) fra de oprindelige, “nøgne” masse- og koblingsparametre. Resultatet er et sæt entydige, begrænsede og ubestemmelige udtryk. I praksis har det vist sig, at denne procedure, der kaldes dimensionel regulering og renormalisering, også er hensigtsmæssig til gennemførelse af teknisk komplicerede beregninger af sløjfediagrammer.
Der er imidlertid et særligt tilfælde, hvor udvidelse til dimensionerforskellige fra den kanoniske er umulig. Det er, nårfermioniske partikler udviser chiral symmetri. Chiral symmetri er en asymmetri, der adskiller venstre-roterende fra højre-roterende partikler, og den spiller faktisk en afgørende rolle i standardmodellen.Chiral symmetri er kun mulig, hvis rummet er 3-dimensionalt, og tillader derfor ikke dimensionel renormalisering. Nogle gange kan chiralsymmetri faktisk ikke bevares, når teorien renormaliseres. Der opstår en anomali, kaldet chiral anomali. Den blev først opdaget, da en beregning af henfaldsamplituden for\(\pi_0\rightarrow\gamma\gamma\gamma\) gav svar, der ikke fulgte det forventede symmetri-mønster.
Da standardmodellens målesymmetrier skelner mellem venstreroterende og højreroterende partikler (især produceres kun venstreroterende neutrinoer i en svag vekselvirkning), var anomalier en stor bekymring. Det viser sig imidlertid, at de anomale amplituder, som ville bringe gaugeinvariansen i fare og hindre vores ligningers selvkonsistens, alle ophæves. Dette hænger sammen med det faktum, at visse “grand unified”-udvidelser af standardmodellen er baseret på anomalifrie målegrupper (se kapitel 7).
Anomalien har en direkte fysisk betydning. En topologisk snoet feltkonfiguration, kaldet instanton (fordi den repræsenterer en begivenhed på et givet tidspunkt), repræsenterer nøjagtig den konfiguration af et gaugefelt, hvor anomalien er maksimal. Den forårsager en overtrædelse af bevarelsen af nogle af gaugeladningerne. Når der er tale om en anomali, kan mindst én af de involverede ladninger ikke være en gaugeladning, men skal være en ladning, som intet gaugefelt er koblet til, som f.eks. baryonladning.I den elektrosvage teori udløser instantoner faktisk en overtrædelse af bevarelseslovene for baryoner. Man mener nu, at dette kan forklare den ubalance mellem stof og antimaterie, der må være opstået i universets tidlige faser.
7. Standardmodellen
Ud over den svage kraft, den elektromagnetiske kraft og den stærke kraft er der gravitationskraften, der virker på elementarpartikler. Der kendes ingen andre elementære kræfter. På de enkelte partiklers niveau er tyngdekraften så svag, at den i de fleste tilfælde kan ignoreres. Lad os nu antage, at vi tager \( SU(2)\ gangeU(1)\) Yang-Mills-systemet sammen med Higgs-feltet til at beskrive elektromagnetismen og den svage kraft, og at vi til dette tilføjer \(SU(3)\) Yang-Mills-teorien for den stærke kraft, og vi inddrager alle kendte elementære stoffelter, dvs. kvarkerne og leptonerne, med deres passende transformationsregler under en agauge-transformation; lad os tilføje alle mulige måder, hvorpå disse felter kan blande sig, en egenskab, der er observeret eksperimentelt, og som kan forklares som en grundlæggende type af felternes selvvekselvirkning. Så får vi det, der kaldes standardmodellen. Det er en stor gaugeteori, der bogstaveligt talt repræsenterer hele vores nuværende forståelse af de subatomare partikler og deres vekselvirkninger.
Standardmodellen skylder sin styrke til det faktum, at den kan normaliseres. Den har været genstand for talrige eksperimentaleeksperimenter og observationer. Den har modstået alle disse prøver bemærkelsesværdigt godt. En vigtig ændring blev uundgåelig i begyndelsen af 1990’erne: i den leptoniske sektor bærer også neutrinoerne en lille masse, og deres felter blandes. Dette var ikke helt uventet, men meget vellykkede neutrinoeksperimenter (især det japanske Kamiokande-eksperiment) havde nu gjort det klart, at disse virkninger virkelig er til stede. De indebærer faktisk en yderligere styrkelse af standardmodellen.
En ingrediens er endnu ikke blevet bekræftet: Higgs-partiklen, som forventes at blive observeret i den nærmeste fremtid, bl.a. ved hjælp af Large Hadron Collider i CERN i Genève. De enkleste versioner af standardmodellen kræver kun en enkelt, elektrisk neutral Higgs-partikel, men “Higgs-sektoren” kan være mere kompliceret: Higgs-partiklen kan være meget tungere end hidtil forventet, eller der kan eksistere mere end én variant, og i så fald vil der også kunne findes elektrisk ladede, skalariske partikler.
Standardmodellen er ikke perfekt ud fra et matematisk synspunkt.Ved ekstremt høje energier (energier meget højere end dem, der i dag kan opnås i partikelacceleratorerne) bliver teorien unaturlig. I praksis betyder det, at vi ikke længere tror, at alting vil ske præcis som beskrevet i teorien; nye fænomener må forventes. Det mest populære scenarie er fremkomsten af en ny symmetri kaldet supersymmetri, en symmetri, der forbinder bosoner med fermioner (partikler som elektroner og kvarker, som kræver Dirac-felter til deres beskrivelse).
8. Grand Unified Theories
Det er naturligt at formode, at de elektrosvage kræfter og de stærke kræfter også skulle være forbundet af gauge-rotationer. Dette ville indebære, at alle kræfter blandt de subatomare partikler faktisk er forbundet gennem gauge-transformationer. Der er ingen direkte beviser for dette, men der er flere forhold, der synes at pege i denne retning. I den nuværende version af standardmodellen er \(SU(3)\) Yang-Mills felter, der beskriver den stærke kraft, faktisk meget store koblingsstyrker, mens \(U(1)\)sektoren, der beskriver den elektriske (og en del af den svage) sektor, har en meget lille koblingsstyrke. Man kan nu bruge renormaliseringsmatematikken, især den såkaldte renormaliseringsgruppe, til at beregne de effektive styrker af disse kræfter ved meget højere energier. Det viser sig, at \(SU(3)\)-kræfterne aftager i styrke på grund af asymptotisk frihed, men at \(U(1)\)\-koblingsstyrken stiger. \(SU(2)\)-kraften varierer langsommere. Ved ekstremt høje energier, svarende til ultrakorte afstandsskalaer, omkring \(10^{-32}\) cm, synes de tre koblingsstyrker at nærme sig hinanden, som om det er der, hvor kræfterne forenes.
Det blev fundet, at \(SU(2)\ gange U(1)\) og\(SU(3)\) passer ganske fint ind i en gruppe kaldet\(SU(5)\ .\) De danner faktisk en undergruppe af\(SU(5)\ .\) Man kan så antage, at en Brout-Englert-Higgs-mekanisme nedbryder denne gruppe til en \(SU(2)\times U(1)\timesSU(3)\) undergruppe. Man opnår en såkaldt Grand Unified Field theory. I denne teori antager man tre generationer offermioner, der hver især transformerer sig på samme måde under \(SU(5)\)transformationer (matematisk set danner de en \(\mathbf{10}\)og en \(\(\overline{\mathbf{5}}}\) repræsentation).
Theorien \(SU(5)\) forudsiger imidlertid, at protonerne kandiderer, ekstremt langsomt, til leptoner og pioner. Man har ledt efter dette henfald, men ikke fundet det. I denne model er det heller ikke let at tage højde for neutrino-massen og dens blandinger. Der blev fundet en bedre teori, hvor \( SU(5)\) udvides til \(SO(10)\ .\)Repræsentationerne \(\(\mathbf{10}\) og \(\(\overline{\mathbf{5}}}\) af \(SU(5)\) sammen med et enkelt højrehåndet neutrino-felt kombineres til en \(\(\mathbf{16}\) repræsentation af \(SO(10)\) (en for hver af de tre generationer).Denne grand unified model placerer neutrinoerne på samme niveau som de ladede leptoner. Ofte udvides den til en supersymmetrisk version.
9. Afsluttende bemærkninger
En hvilken som helst gaugeteori er opbygget på følgende måde. Først vælges gaugegruppen. Denne kan være det direkte produkt af et vilkårligt antal irreducible,kompakte Lie-grupper, enten af serierne \(SU(N)\ ,\)\(SO(N)\) eller \(Sp(2N)\ ,\) eller de exceptionelle grupper\(G_2,\ F_4,\ E_6, E_7,\) eller \(E_8\ .\) Vælg derefterfermioniske (spin 1/2) og skalare (spin 0) felter, som udgør repræsentationer af denne lokale målegruppe. De fermioniske felters venstre helicity- og højre helicity-komponenter kan være indifferente repræsentationer, forudsat at anomalierne ophæver hinanden.Ud over den lokale målegruppe kan vi også pålægge nøjagtige og/eller tilnærmede globale symmetrier. Endelig kan vi vælge massetermer og interaktionstermer i lagrangianen, som beskrives af frit justerbare koblingsparametre. Der vil kun være et endeligt antal af sådanne parametre, forudsat at alle vekselvirkninger vælges til at være af den renormaliserede type (dette kan nu let aflæses fra teoriens lagrangian).
Der er uendeligt mange måder at konstruere gauge-teorier langs linjerne på. Det ser imidlertid ud til, at de modeller, der er mest nyttige til at beskrive observerede elementarpartikler, er de relativt enkle modeller, der er baseret på ret elementære matematiske grupper og repræsentationer. Man kan spørge sig selv, hvorfor naturen synes at være så enkel, og om den vil forblive sådan, når nye partikler og vekselvirkninger bliver opdaget. Det er tænkeligt, at der vil være behov for mere omfattende gaugeteorier for at beskrive vekselvirkninger ved energier, der endnu ikke kan opnås i partikelacceleratorer i dag.
Sammenhængende emner er Supersymmetri og Superstrengteori. Det er nyere ideer om partikelstruktur og partikelsymmetrier, hvor måleinvarians også spiller en meget grundlæggende rolle.
- Yang, C N og Mills, R L (1954). Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review 96: 191-195.
- Higgs, P W (1964). Brudte symmetrier, masseløse partikler og gaugefelter. Phys. Lett. 12: 132.
- Higgs, P W (1964). Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons. Phys. Rev. Lett. 13: 508.
- Higgs, P W (1966). Spontan symmetribrud uden masseløse bosoner. Phys. Rev. 145: 1156.
- Englert, F og Brout, R (1964). Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons. Phys. Rev. Lett. 13: 321.
- Weinberg, S (1967). A Model of Leptons. Phys. Rev. Lett. 19: 1264.
- Faddeev, L D og Popov, V N (1967). Feynman-diagrammer for Yang-Mills-feltet. Phys. Lett. 25B: 29.
- ‘t Hooft, G (1971). Renormalisering af masseløse Yang-Mills-felter uden masse. Nucl. Phys. B33: 173.
- ‘t Hooft, G (1971). Renormaliserbare Lagrangianer for massive Yang-Mills felter. Nucl. Phys. B35: 167.
- Taylor, J C (1971). Ward-identiteter og ladningsrenormalisering af Yang-Mills-feltet. Nucl. Phys. B33: 436.
- Slavnov, A (1972). Ward identities in gauge theories Theor. Math. Phys. 10: 153.
- ‘t Hooft, G og Veltman, M (1972). Regularization and renormalization of gauge fields. Nucl. Phys. B44: 189.
- Adler, S L (1969). Axial-Vector Vertex in Spinor Electrodynamics Phys. Rev. 177: 2426.
- Bell, J S og Jackiw, R (1969). A PCAC puzzle: π0→γγγγ i σ-modellen Nuovo Cim. 60A: 47.
- Adler, S L og Bardeen, W A (1969). Absence of Higher-Order Corrections in the Anomalous Axial-Vector Divergence Equation (fravær af korrektioner af højere orden i den anomale aksial-vektordivergensligning). Phys. Rev. 182: 1517.
- Bardeen, W A (1969). Anomale Ward-identiteter i spinorfeltteorier. Phys. Rev. 184: 1848.
- Fritzsch, H; Gell-Mann , M og Leutwyler, H (1973). Advantages of the color octet gluon picture Phys. Lett. 47B: 365.
- De Rujula, A; Georgi, H; Glashow, S L og Quinn, H (1974). Fakta og fantasi i neutrino-fysikken. Rev. Mod. Phys. 46: 391.
Yderligere læsning
- Crease, R P og Mann, C C C (1986). The Second Creation: Makers of the revolution in twentieth-century physics, Macmillan, New York. ISBN 0-02-52144040-3.
- ‘t Hooft, G (1997). In Search of the Ultimate Building Blocks (engelsk oversættelse af: “Bouwstenen van de Schepping”) Cambridge Univ. Press, Cambridge. ISBN 052155050831.
- ‘t Hooft, G (1994). Under the spell of the gauge principle. Advanced Series in Mathematical Physics 19. World Scientific, Singapore. ISBN 9810213093.
- ‘t Hooft, G (2005). 50 years of Yang-Mills theory World Scientific, Singapore. ISBN 978-981-256-007-0.
- de Wit, B og Smith, J (1986). Field Theory in Particle Physics North Holland, Amsterdam. ISBN 044486999999.
- Aitchison, I J R og Hey, A J G (1989). Gauge Theories in Particle Physics, a practical introduction Adam Hilger, Bristol og Philadelphia. ISBN 0-85274-329-7.
- Itzykson, C og Zuber, J B (2006). Quantum Field Theory Dover Publications, New York. ISBN 0486445682.
- Ryder, L H (1997). Quantum Field Theory Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521478146.
Se også
Becchi-Rouet-Stora-Tyutin-symmetri, Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble_mekanisme, Gaugeinvarians, Slavnov-Taylor-identiteter, Zinn-Justin-ligning
- http://www.phys.uu.nl/~thooft/
Sponsoreret af: Dr. Riccardo Guida, Institut de Physique Théorique, CEA & CNRS, Gif-sur-Yvette, Frankrig
Anmeldt af: Anonym
Accepteret den: 2008-12-19 11:47:18 GMT