Dette er en del af en serie om almindelige misforståelser.

Sandt eller falsk?

Uendelighed er tallet for enden af den reelle talrække.

Hvorfor nogle mennesker siger, at det er sandt: Fordi uendelighed er det tal, der er større end alle de andre tal.

Hvorfor nogle mennesker siger, at det er forkert: Fordi uendelighed ikke er et tal, og fordi talrækken ikke har en ende.

Sætningen er falsk \color{#D61F06}{\textbf{false}}}falsk.

Bevis:

Den misforståelse, der er på spil her, er, at “hvis du bliver ved med at fortsætte op langs tallinjen forbi større og større tælletal, så giver tælletallene til sidst bare op (et eller andet sted efter det punkt, hvor din lærer bliver træt af at lave ticmærker), og der vil være et uendelighedstegn (∞\infty∞) der til at markere slutningen af tallinjen”. Alternativt siger nogle, at “uendelig er for enden af tallinjen, men der er stadig uendeligt mange tal mindre end uendelig og mellem uendelig og ethvert andet punkt på linjen.” Begge disse opfattelser har rødder i beregningsrelaterede begreber; de er dog begge grundlæggende ukorrekte.

Når din lærer “afslutter tallinjen” med ∞\infty∞, er det faktisk en misvisende forkortelse for at repræsentere, at tallinjen fortsætter i al evighed. En mindre misvisende måde at repræsentere dette begreb på kunne være at forlænge tallinjen ud med en pil. Vi kan desuden angive, at de hele tal fortsætter, efter at vi beslutter os for at stoppe med at registrere dem, ved at bruge den almindelige generelle seriernotation: “…n,n+1,n+2,……n, n+1, n+2, ……n,n+1,n+2,…” for i dette tilfælde at beskrive mængden af alle ikke-negative, hele tal. Dette sæt er også almindeligvis kendt som de “naturlige tal (N\mathbb{N}N)” eller som de “ikke-negative hele tal”.

Misforståelsen ligger i at vælge at behandle ∞\\infty∞ som et heltal eller heltal eller som et af de reelle tal. Dette er ikke det samme som at tro, at ∞\infty∞ er “reelt” eller “uvirkeligt” i den engelske betydning af ordet. Uendelighed er et “virkeligt” og nyttigt begreb. Uendelighed er imidlertid ikke et medlem af det matematisk definerede sæt af “reelle tal”, og derfor er det ikke et tal på den reelle tallinje.

Mængden af reelle tal, R\mathbb{R}R, forklares i stedet for at blive defineret i de fleste førskoleskoler. Og selv da bliver den som regel kun forklaret kort, med en beskrivelse i retning af “alle punkterne på en tallinje” og med den yderligere opfølgning, at “de negative reelle tal er til venstre for 0, og de positive tal er dem til højre for 0”.

De fleste elever får ikke lært en stringent definition af de reelle tal, medmindre de bliver matematiske hovedfag på et universitet. En af de mest almindelige definitioner, som man så lærer, er, at de reelle tal er mængden af Dedekind-snit af de rationelle tal. Med en stringent definition af de reelle tal er det umiddelbart indlysende, at “uendelighed” ikke er en del af mængden af reelle tal.

Modsigelse: I studiet af grænser behandles uendelighed (∞\infty∞) som ethvert andet tal. Hvorfor gør vi det i regning, hvis uendelighed faktisk ikke er et tal?

Svar: Mange lærer om grænser i præregning eller beregning præcis som du beskriver, og den måde, uendelighed behandles på, antyder på vildledende vis, at uendelighed bare er et andet tal. For eksempel, givet en funktion med en vandret asymptote ved 5, kan vi sige, at grænsen for f(x)f(x)f(x)f(x), når xxx nærmer sig uendelig, er fem: f(x)x→∞=5f(x)_{x\rightarrow \infty} = 5f(x)x→∞=5, og hvis f(x)f(x)f(x)f(x) har en lodret asymptot ved 171717, lærer vi at sige, at f(x)x→17=∞f(x)_{x\rightarrow 17} = \inftyf(x)x→17=∞. Dette er mange elevers første bekendtskab med ∞\infty∞, og det er en meget misvisende introduktion, da det indebærer, at ∞\infty∞ kan behandles som et tal, der blot er “større end alle andre tal.”

I denne sammenhæng er uendelighed imidlertid blot en forkortelse for et veldefineret begreb om en funktion, der ikke har en grænse af nogen reel værdi, men i stedet stiger evigt uden begrænsning. Se wiki’en om grænser for funktioner for flere detaljer!

Rebuttal: Jeg har helt sikkert set uendelighed i matematiklærebøger, og nogle gange er det defineret som et tal, der er større end alle ikke uendelige tal. Hvorfor er det der, hvis det ikke er et reelt matematisk begreb?

Svar: Der findes faktisk matematiske talmængder, som f.eks. kardinaltallene og ordinaltallene, hvor mange forskelligt definerede versioner af ∞\infty∞ er tal. Og strengt definerede talsystemer, som omfatter ∞\infty∞, har mange værdifulde anvendelser. For eksempel er uendelighed i kardinaltalsættene faktisk et mål for, hvor mange reelle tal der er. Men mængden af reelle tal R\mathbb{R}R er defineret således, at den udelukker enhver version af uendelighed.

Dertil kommer, at når vi betragter de kardinale tal, må vi ændre vores intuition om uendelighed: det er ikke et tal i “tallinje”-forstand, som de reelle tal anvendes. I stedet er det et begreb til måling og sammenligning af mængders størrelse.