Dette er en kort introduktion til Galois-teori. Niveauet i denne artikel er nødvendigvis ret højt sammenlignet med nogle NRICH-artikler, fordi Galois-teori er et meget vanskeligt emne, der normalt kun introduceres i det sidste år af en bacheloruddannelse i matematik. Denne artikel strejfer kun overfladen af Galois-teorien og bør sandsynligvis være tilgængelig for en 17-18-årig skoleelev med en stærk interesse for matematik. Der er en kort og meget vag gennemgang af to vigtige anvendelser af Galois-teorien i indledningen nedenfor. Hvis du vil vide mere om Galois-teorien, er resten af artiklen mere dybdegående, men også sværere.
1.1 Motivation
1.2 Historie
Så, hvorfor hedder Galois-teorien Galois-teori? Svaret er, at den er opkaldt efter en fransk matematiker Evariste Galois (1811-1832), som udførte et meget vigtigt arbejde på dette område. Han havde et meget dramatisk og vanskeligt liv, og det lykkedes ham ikke at få anerkendt meget af sit arbejde på grund af hans store vanskeligheder med at udtrykke sig klart. Han blev f.eks. ikke optaget på det førende universitet i Paris, Ecole Polytechnique , og måtte nøjes med Ecole Normale . Han mødte også vanskeligheder på grund af sine politiske sympatier, han var republikaner. Dette førte til, at han blev bortvist fra Ecole Normale, da han skrev et brev til en avis, hvor han kritiserede skolens direktør. Han blev medlem af en republikansk afdeling af militsen og blev senere fængslet (to gange) på grund af sit medlemskab. Anden gang i fængslet forelskede han sig i fængselslægens datter, Stephanie-Felice du Motel, og efter at være blevet løsladt døde han i en duel med Perscheux d’Herbinville . Årsagen til duellen er ikke helt klar, men det forekommer sandsynligt, at det havde noget med Stephanie at gøre. Hans død udløste republikanske optøjer og demonstrationer, som varede i flere dage.
Og selv om Galois ofte krediteres for at have opfundet gruppeteorien og Galois-teorien, ser det ud til, at en italiensk matematiker Paolo Ruffini (1765-1822) kan være kommet med mange af ideerne først. Desværre blev hans ideer ikke taget alvorligt af resten af det matematiske samfund på det tidspunkt. Der er nogle links i slutningen af dette dokument for alle, der er interesseret i at finde ud af mere om gruppeteoriens og Galois-teoriens historie.
1.3 Oversigt
Måden, hvorpå resultatet om opløselighed ved radikaler ovenfor bevises (ved hjælp af Galois-teori), er at bevise et resultat om samlingen af symmetrier blandt rødderne af et polynomium, givet at rødderne kun er opbygget ved hjælp af de særlige operationer ovenfor. (Det viser sig, at samlingen af symmetrier skal danne det, der kaldes en opløselig gruppe. Mere om dette i slutningen af denne artikel). Derefter finder du et polynomium, for hvilket symmetrierne af rødderne ikke har denne specielle egenskab, så du ved, at rødderne ikke kunne opbygges ud fra de specielle operationer.
Området for resten af denne artikel er at præcisere, hvad vi mener med en symmetri af rødderne og om strukturen af samlingen af disse symmetrier.
1.4 Notation
1.5 Råd til læsning af denne artikel
Resten af denne artikel er ret vanskelig. En lang række nye idéer introduceres og bruges igen og igen, og der er mange ukendte ord. Ved slutningen af artiklen vil jeg bruge sætninger som $Q$ er en radikal feltudvidelse af $Q$, fordi den kan opbygges ved hjælp af kun cyclotomiske feltudvidelser i hvert trin. Lad dig ikke for meget afskrække af dette tilsyneladende fremmede sprog, hvert ord forklares, efterhånden som det introduceres. Den bedste strategi for at læse den er at gå langsomt frem og sikre sig, at man forstår præcis, hvad hvert ord betyder, før man går videre til næste afsnit, for det pågældende ord vil blive brugt igen og igen, og hvis man ikke helt forstår det, vil alting bare blive mere og mere forvirrende, efterhånden som man læser videre. Men hvis du læser dette online, kan du blot klikke på et af de understregede ord, og den oprindelige definition vil dukke op i et lille vindue.
2 Grupper og felter
På dette tidspunkt vil du måske kontrollere, at du har fulgt med indtil nu. Se om du kan bevise, at $S_n$ er en gruppe, og at den har $n!$ elementer. Hvis du er tilfreds med ideen om mængder og funktioner, kan du bevise, at $S_X$ er en gruppe, selv om $X$ er en uendelig mængde.
2.2 Felter
2.3 Feltudvidelser
Definition (feltudvidelse):
En feltudvidelse af et felt $F$ er et felt $K$, der indeholder $F$ (vi skriver en feltudvidelse som $F\subseteq K$ eller $K/F$). F.eks. er de reelle tal en feltudvidelse af de rationale tal, fordi de reelle tal er et felt, og ethvert rationalt tal også er et reelt tal.
2.4 Splittelsesfelter
Et andet eksempel er, at splittelsesfeltet for $p(x)=x^4-5x^2+6$ er $Q$. Kan du se hvorfor?
3 Automorphisms and Galois Groups
Du kan kontrollere, at for funktionen $f$ ovenfor virkelig opfylder alle betingelserne.
Ideen med en feltautomorphisme er, at det blot er en måde at omskrive feltets elementer på uden at ændre strukturen overhovedet. Vi kan med andre ord erstatte symbolet $\sqrt{2}$ med symbolet $-\sqrt{2}$, foretage alle vores beregninger og derefter ændre symbolet $-\sqrt{2}$ tilbage til $\sqrt{2}$, og vi får det rigtige svar. Feltautomorfismer er den rigtige måde at udtrykke denne idé på,fordi betingelserne for at $f(x+y)=f(x)+f(y)$ bevarer multiplikation, addition osv.
3.2 Galoisgruppen
4 Opløselighed ved radikaler
5 Trisektering af vinkler
Det er ikke indlysende, at ethvert konstruerbart tal skal ligge i en feltudvidelse af denne form, men vi kan på en måde se hvorfor, for givet linjestykker af længde $x$, $y$, er det muligt at konstruere andre linjestykker af længde $x+y$, $x y$ og $1/x$ ved hjælp af geometriske konstruktioner. Desuden kan man konstruere et linjestykke af længden $\sqrt{x}$ udelukkende ved hjælp af geometriske konstruktioner. Faktisk kan du også vise, at det er de eneste ting, du kan gøre med geometriske konstruktioner. (Hvis du vil prøve, kan du bevise dette ved at bruge det faktum, at alt, hvad du kan gøre med umærkede linealer og kompasser, er at finde skæringspunktet mellem to linjer, hvilket kun giver dig aritmetiske operationer, finde skæringspunktet mellem en linje og en cirkel, hvilket giver dig kvadratrødder, og skæringspunkter mellemcirkler og cirkler, hvilket giver dig kvadratrødder). Kan du se, hvorfor dette betyder, at et tal i en konstruerbar feltudvidelse (som defineret ovenfor) kun kan konstrueres ved hjælp af en umærket lineal og et kompas, og at kun tal i konstruerbare feltudvidelser kan laves på denne måde?
Næst viser du, at hvis man har et kubisk polynomium $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$, hvis rødder ikke er rationale tal, så er rødderne ikke konstruerbare? Dette er ikke særlig svært at bevise, men det kræver en vis viden, som ligger ud over det, jeg går ud fra i forbindelse med denne artikel.
Her er den smarte del. Antag at du kan konstruere en vinkel på $20^{{\circ}$, så vil tallet $\cos(20^{{\circ}})$ kunne konstrueres (du kan bare lade en vinkelretning falde fra et punkt på en linje på $20^{{\circ}$ til den vandrette, afstand $1$ fra oprindelsen). Man kan dog vise, at $\alpha=\cos(20^{{\circ})$ er en rod i ligningen $8x^3-6x-1=0$ (ved at udvide $\cos(60^{{\circ})$ i termer af $\cos(20^{{\circ})$ ved hjælp af additionsformlen). Det er let at vise, at dette ikke har nogen rationelle rødder, og at rødderne derfor ikke kan konstrueres. Det betyder, at vi ikke kunne have konstrueret en vinkel på $20^{{\circ}$, for så ville vi kunne konstruere $\cos(20^{{\circ})$, hvilket er umuligt. Så en vinkel på $60^{\circ}$ kan ikke trisekteres.
Du kan bruge metoder som denne til at bevise andre resultater om hvilke former der kan eller ikke kan konstrueres osv.