Denne tekst præsenterer en introduktion til differentialgeometri på kandidatniveau for studerende i matematik og fysik. Redegørelsen følger den historiske udvikling af begreberne forbindelse og krumning med det formål at forklare Chern-Weil teorien om karakteristiske klasser på et hovedbundt. Undervejs støder vi på nogle af højdepunkterne i differentialgeometriens historie, f.eks. Gauss’ Theorema Egregium og Gauss-Bonnet-sætningen. Opgaver i hele bogen tester læserens forståelse af materialet og illustrerer undertiden udvidelser af teorien. Indledningsvis er forudsætningerne for læseren bl.a. et forbigående kendskab til mangfoldigheder. Efter det første kapitel bliver det nødvendigt at forstå og manipulere differentiale former. Et kendskab til de Rham-kohomologi er påkrævet for den sidste tredjedel af teksten.
Forudsætningsmateriale er indeholdt i forfatterens tekst An Introduction to Manifolds, og kan læres på et semester. Til gavn for læseren og for at etablere fælles notationer, minder appendiks A om det grundlæggende i manifoldteori. I et forsøg på at gøre redegørelsen mere selvstændig er der desuden medtaget afsnit om algebraiske konstruktioner såsom tensorproduktet og den ydre kraft.
Differentialgeometri er, som navnet antyder, studiet af geometri ved hjælp af differentialregning. Den går tilbage til Newton og Leibniz i det syttende århundrede, men det var først i det nittende århundrede, med Gauss’ arbejde med overflader og Riemanns arbejde med krumningstensoren, at differentialgeometrien blomstrede, og at dens moderne fundament blev lagt. I løbet af de sidste hundrede år har differentialgeometrien vist sig at være uundværlig for forståelsen af den fysiske verden, i Einsteins generelle relativitetsteori, i gravitationsteorien, i gaugeteorien og nu i strengteorien. Differentialgeometri er også nyttig inden for topologi, flere komplekse variabler, algebraisk geometri, komplekse mangfoldigheder og dynamiske systemer, blandt andre områder. Feltet har endda fundet anvendelse på gruppeteori som i Gromovs arbejde og på sandsynlighedsteori som i Diaconis’ arbejde. Det er ikke for langt ude at hævde, at differentialgeometri bør være en del af enhver matematikers arsenal.