Homomorfismus, (z řeckého homoios morphe, „podobný tvar“), zvláštní shoda mezi členy (prvky) dvou algebraických systémů, jako jsou dvě grupy, dva kruhy nebo dvě pole. Dva homomorfní systémy mají stejnou základní strukturu, a i když se jejich prvky a operace mohou zdát zcela odlišné, výsledky pro jeden systém často platí i pro druhý systém. Lze-li tedy ukázat, že nový systém je homomorfní vůči známému systému, lze některé známé vlastnosti jednoho systému aplikovat na druhý, a tím zjednodušit analýzu nového systému.

V homomorfismu se odpovídající prvky dvou systémů chovají velmi podobně v kombinaci s jinými odpovídajícími prvky. Například nechť G a H jsou grupy. Prvky G označíme g, g′,… a podléhají nějaké operaci ⊕. (Ačkoli si lze tento symbol představit jako nějakou operaci, například násobení, může stejně dobře označovat rotaci nebo nějakou jinou nearitmetickou operaci). Podobně prvky H označujeme h, h′,… a podléhají nějaké operaci ⊗. Homomorfismus z G do H je korespondence g → h mezi všemi prvky G a některými prvky H, která má následující vlastnost: jestliže g → h a g′ → h′, pak g ⊕ g′ → h ⊗ h′. Jinými slovy, prvek H odpovídající součinu prvků v G je ve stejném pořadí součinem prvků H odpovídajících dvěma prvkům v G. Vyjádřeno kompaktněji, „obraz“ součinu je součinem obrazů, neboli korespondence zachovává operaci.

Korespondenci mezi členy dvou algebraických systémů lze zapsat jako funkci f z G do H a o f se mluví jako o „zobrazení“ G do H. Podmínku, aby f byla homomorfismem grupy G na grupu H, lze vyjádřit jako požadavek, aby f(g ⊕ g′) = f(g) ⊗ f(g′).

Homorfismy kladou podmínky na mapování f: je-li e identitou G, pak g ⊕ e = g, takže f(g ⊕ e) = f(g). Dále, protože f je homomorfismus, f(g ⊕ e) = f(g) ⊗ f(e), takže f(g) = f(g) ⊗ f(e). Ze zákonů zrušení pro grupy vyplývá, že f(e) je rovno identitě v H. Homomorfismy tedy mapují jedinečný prvek identity jedné grupy na jedinečný prvek identity druhé grupy. Podobně homomorfismy mapují inverzní prvek g v jedné grupě na inverzní prvek f(g). Proto se homomorfismům říká mapy zachovávající strukturu.

Speciální typy homomorfismů mají své vlastní názvy. Homomorfismus jedna ku jedné z G do H se nazývá monomorfismus a homomorfismus, který je „onto“ neboli pokrývá každý prvek H, se nazývá epimorfismus. Zvláště důležitým homomorfismem je izomorfismus, v němž je homomorfismus z G do H jak jedno-jediný, tak i onto. V tomto posledním případě jsou G a H v podstatě stejným systémem a liší se pouze jmény svých prvků. Homomorfismy jsou tedy užitečné při klasifikaci a výčtu algebraických systémů, protože umožňují určit, jak úzce spolu různé systémy souvisejí.