Esta es una breve introducción a la teoría de Galois. El nivel de este artículo es necesariamente bastante alto en comparación con algunos artículos de la NRICH, porque la teoría de Galois es un tema muy difícil que normalmente sólo se introduce en el último año de una licenciatura en matemáticas. Este artículo sólo roza la superficie de la teoría de Galois y probablemente debería ser accesible para un estudiante de 17 o 18 años con un gran interés por las matemáticas. En la introducción hay un breve y muy vago resumen de dos importantes aplicaciones de la teoría de Galois. Si quieres saber más sobre la teoría de Galois, el resto del artículo es más profundo, pero también más difícil.
Las dos cosas más importantes que hay que conocer para entender la parte más profunda del artículo son los números complejos y la teoría de grupos. Si no te has topado antes con los números complejos puedes leer An Introduction to Complex Numbers , que debería ser accesible para estudiantes de 15 o 16 años. Si no has conocido la teoría de grupos, no te preocupes. A continuación introduzco la idea de un grupo, aunque quizá sea mejor que intente encontrar un libro o una página web que entre en más detalle.
1.1 Motivación
La teoría de grupos es un tema muy amplio, y hasta que no se está bastante inmerso en el estudio de las matemáticas de una forma poco habitual a no ser que se estudie una carrera de matemáticas, puede parecer bastante inútil. Sin embargo, hay dos problemas que motivan el estudio de la teoría de Galois: la existencia de polinomios que no son solubles por radicales, y algunos resultados sobre la geometría euclidiana clásica, por ejemplo que no se puede trisecar un ángulo con regla y compás, y que ciertos polígonos regulares no se pueden construir con regla y compás.
Definición Cuando podemos encontrar las soluciones de un polinomio con coeficientes racionales utilizando sólo números racionales y las operaciones de adición, sustracción, división, multiplicación y búsqueda de raíces enésimas, decimos que $p(x)$ es soluble por radicales.
1.2 Historia
Entonces, ¿por qué la teoría de Galois se llama teoría de Galois? La respuesta es que lleva el nombre de un matemático francés, Evariste Galois (1811-1832), que realizó un trabajo muy importante en este campo. Tuvo una vida muy dramática y difícil, ya que no consiguió que se reconocieran muchos de sus trabajos debido a su gran dificultad para expresarse con claridad. Por ejemplo, no fue admitido en la principal universidad de París, la Escuela Politécnica, y tuvo que conformarse con la Escuela Normal. También tuvo dificultades por sus simpatías políticas, ya que era republicano. Esto le llevó a ser expulsado de la Escuela Normal cuando escribió una carta a un periódico criticando al director de la escuela. Se unió a una rama republicana de la milicia y más tarde fue encarcelado (dos veces) por su pertenencia. La segunda vez, mientras estaba en prisión, se enamoró de la hija del médico de la cárcel, Stephanie-Felice du Motel, y tras ser liberado murió en un duelo con Perscheux d’Herbinville. Las razones del duelo no están del todo claras, pero parece probable que tuviera algo que ver con Estefanía. Su muerte desencadenó disturbios y mítines republicanos que duraron varios días.
Aunque a menudo se atribuye a Galois la invención de la teoría de grupos y de la teoría de Galois, parece que un matemático italiano, Paolo Ruffini (1765-1822), pudo haber sido el primero en proponer muchas de las ideas. Por desgracia, sus ideas no fueron tomadas en serio por el resto de la comunidad matemática de la época. Hay algunos enlaces al final de este documento para cualquiera que esté interesado en saber más sobre la historia de la teoría de grupos y la teoría de Galois.
1.3 Visión general
La forma en que se demuestra el resultado sobre la solubilidad por radicales anterior (utilizando la teoría de Galois) es demostrar un resultado sobre la colección de simetrías entre las raíces de un polinomio dado que las raíces se construyen utilizando sólo las operaciones especiales anteriores. (Resulta que la colección de simetrías debe formar lo que se llama un grupo soluble. Más sobre esto al final de este artículo). Entonces se encuentra un polinomio para el que las simetrías de las raíces no tienen esta propiedad especial, por lo que se sabe que las raíces no se han podido construir a partir de las operaciones especiales.
El tema del resto de este artículo es precisar lo que entendemos por una simetría de las raíces y sobre la estructura de la colección de estas simetrías.
1.4 Notación
1.5 Consejos para leer este artículo
El resto de este artículo es bastante difícil. Se introduce un gran número de ideas nuevas que se utilizan una y otra vez, y hay muchas palabras desconocidas. Al final del artículo usaré frases como que $Q$ es una extensión de campo radical de $Q$ porque se puede construir usando sólo extensiones de campo ciclotómicas en cada etapa. No te desanimes por este lenguaje aparentemente extraño, cada palabra se explica a medida que se introduce. La mejor estrategia para leerlo es ir despacio y asegurarse de que entiende exactamente lo que significa cada palabra antes de pasar a la siguiente sección, porque esa palabra se utilizará una y otra vez, y si no la entiende del todo, todo se volverá más y más confuso a medida que vaya leyendo. Sin embargo, si estás leyendo esto en línea, puedes simplemente hacer clic en cualquiera de las palabras subrayadas y la definición original aparecerá en una pequeña ventana.
2 Grupos y campos
En este punto, es posible que quieras comprobar que has seguido hasta ahora. Mira si puedes demostrar que $S_n$ es un grupo y que tiene $n!$ elementos. Si estás contento con la idea de conjuntos y funciones entonces puedes demostrar que $S_X$ es un grupo aunque $X$ sea un conjunto infinito.
2.2 Campos
2.3 Extensiones de campo
Definición (Extensión de campo):
Una extensión de campo de un campo $F$ es un campo $K$ que contiene a $F$ (escribimos una extensión de campo como $F\subseteq K$ o $K/F$). Por ejemplo, los números reales son una extensión de campo de los números racionales, porque los reales son un campo y todo racional es también un número real.
2.4 Campos de división
Aquí es donde empieza la parte de la teoría de Galois.
Otro ejemplo es que el campo de división de $p(x)=x^4-5x^2+6$ es $Q$. ¿Puedes ver por qué?
3 Automorfismos y grupos de Galois
Puedes comprobar que para la función $f$ anterior realmente se satisfacen todas las condiciones.
La idea de un automorfismo de campo es que no es más que una forma de reetiquetar los elementos del campo sin cambiar la estructura en absoluto. En otras palabras, podemos sustituir el símbolo $\sqrt{2}$ por el símbolo $-\sqrt{2}$, hacer todos nuestros cálculos y luego cambiar el símbolo $-\sqrt{2}$ de nuevo a $\sqrt{2}$ y obtendremos la respuesta correcta. Los automorfismos de campo son la forma correcta de expresar esta idea, porque las condiciones de que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ preservan la multiplicación, la adición y demás.
3.2 El grupo de Galois
4 Solubilidad por radicales
Adentrarse más en la teoría de Galois sería, por desgracia, demasiado complicado. Esbozaré el resto de la prueba de la existencia de polinomios que no son solubles por radicales.
5 Trisección de ángulos
Como mencioné anteriormente, puedes usar la teoría de Galois para demostrar que es imposible trisecar todos los ángulos usando métodos de regla y compás. Esbozaré una prueba de que no se puede construir un ángulo de $20^{circ}$ utilizando regla y compás (y por tanto no se puede trisecar un ángulo de $60^{circ}$).
No es obvio que cualquier número construible deba estar en una extensión de campo de esta forma, pero más o menos podemos ver por qué porque dados segmentos de línea de longitud $x$, $y$, es posible construir otros segmentos de línea de longitud $x+y$, $x y$ y $1/x$ utilizando construcciones geométricas. Además, se puede construir un segmento de recta de longitud $\sqrt{x}$ utilizando sólo construcciones geométricas. De hecho, también puedes demostrar que estas son las únicas cosas que puedes hacer con construcciones geométricas. (Si quieres intentarlo, la forma de demostrarlo es utilizar el hecho de que todo lo que puedes hacer con reglas y compases no marcados es encontrar la intersección entre dos rectas, que sólo te da operaciones aritméticas, encontrar la intersección entre una recta y una circunferencia, que te da raíces cuadradas, y las intersecciones entre círculos y circunferencias, que te da raíces cuadradas). ¿Puedes ver por qué esto significa que un número en una extensión de campo construible (como se ha definido anteriormente) se puede construir utilizando sólo una regla y un compás sin marcar, y que sólo los números en extensiones de campo construibles se pueden hacer de esta manera?
A continuación, demuestras que si tienes un polinomio cúbico $p(x)=a x^3+b x^2+c x +d$ cuyas raíces no son números racionales entonces las raíces no son construibles? Esto no es muy difícil de demostrar pero requiere algunos conocimientos más allá de los que asumo para este artículo.
Aquí está la parte inteligente. Supongamos que se puede construir un ángulo de $20^{circ}$, entonces el número $\cos(20^{circ})$ sería construible (basta con dejar caer una perpendicular desde un punto de una recta a $20^{circ}$ hasta la horizontal, a una distancia de $1$ del origen). Sin embargo, se puede demostrar que $\alpha=\cos(20^{circ})$ es una raíz de la ecuación $8x^3-6x-1=0$ (expandiendo $\cos(60^{circ})$ en términos de $\cos(20^{circ})$ mediante la fórmula de la suma). Es fácil demostrar que esto no tiene raíces racionales, y por lo tanto las raíces no son construibles. Esto significa que no podríamos haber construido un ángulo de $20^{circ}$, porque entonces podríamos construir $\cos(20^{circ})$ lo cual es imposible. Así que un ángulo de $60^{\circ}$ no puede ser trisecado.
Se pueden utilizar métodos como éste para demostrar otros resultados sobre qué formas se pueden o no construir y demás.
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