Homorfism, (från grekiskans homoios morphe, ”liknande form”), en speciell korrespondens mellan medlemmarna (element) i två algebraiska system, t.ex. två grupper, två ringar eller två fält. Två homomorfa system har samma grundstruktur, och även om deras element och operationer kan förefalla helt olika, gäller ofta resultat för det ena systemet lika bra för det andra systemet. Om ett nytt system kan visas vara homomorf till ett känt system, kan vissa kända egenskaper hos det ena systemet tillämpas på det andra, vilket förenklar analysen av det nya systemet.

I en homomorfism beter sig motsvarande element i två system mycket likartat i kombination med andra motsvarande element. Låt till exempel G och H vara grupper. Elementen i G betecknas g, g′, …, och de är föremål för någon operation ⊕. (Även om symbolen kan betraktas som någon operation som multiplikation kan symbolen lika gärna beteckna rotation eller någon annan icke-aritmetisk operation). På samma sätt betecknas elementen i H med h, h′, …, och de är föremål för någon operation ⊗. En homomorfism från G till H är en korrespondens g → h mellan alla element i G och vissa element i H som har följande egenskap: om g → h och g′ → h′, så är g ⊕ g′ → h ⊗ h′. Med andra ord är det element i H som motsvarar en produkt av element i G en produkt, i samma ordning, av de element i H som motsvarar de två elementen i G. Mer kompakt uttryckt är ”bilden” av produkten produkten produkten av bilderna, eller korrespondensen bevarar operationen.

En korrespondens mellan medlemmar i två algebraiska system kan skrivas som en funktion f från G till H, och man talar om f som en ”mappning” av G till H. Villkoret att f är en homomorfism från gruppen G till gruppen H kan uttryckas som kravet att f(g ⊕ g′) = f(g) ⊗ f(g′).

Homomomorfismer ställer villkor på en mappning f: om e är identiteten i G, så är g ⊕ e = g, så f(g ⊕ e) = f(g). Eftersom f är en homomorfism är dessutom f(g ⊕ e) = f(g) ⊗ f(e), så f(g) = f(g) ⊗ f(e). Enligt annulleringslagarna för grupper innebär detta att f(e) är lika med identiteten i H. Homomorfismer mappar alltså det unika identitetselementet i den ena gruppen till det unika identitetselementet i den andra gruppen. På samma sätt avbildar homomorfismer inversen av ett element g i den ena gruppen till inversen av elementet f(g). Det är därför homomorfismer kallas strukturbevarande kartor.

Särskilda typer av homomorfismer har egna namn. En en-till-en homomorfism från G till H kallas en monomorfism, och en homomorfism som är ”på”, eller täcker varje element i H, kallas en epimorfism. En särskilt viktig homomorfism är en isomorfism, där homomorfismen från G till H är både en-till-en och på. I det sistnämnda fallet är G och H i stort sett samma system och skiljer sig endast genom namnen på sina element. Homomorfismer är således användbara vid klassificering och uppräkning av algebraiska system eftersom de gör det möjligt att identifiera hur nära olika system är besläktade.