Homomomomorfismo, (do grego homoios morphe, “forma similar”), uma correspondência especial entre os membros (elementos) de dois sistemas algébricos, tais como dois grupos, dois anéis, ou dois campos. Dois sistemas homomórficos têm a mesma estrutura básica e, embora seus elementos e operações possam parecer totalmente diferentes, os resultados em um sistema muitas vezes se aplicam também ao outro sistema. Assim, se for possível demonstrar que um novo sistema é homomórfico para um sistema conhecido, certas características conhecidas de um podem ser aplicadas ao outro, simplificando assim a análise do novo sistema.

Em um homomorfismo, os elementos correspondentes de dois sistemas comportam-se de forma muito semelhante em combinação com outros elementos correspondentes. Por exemplo, deixe que G e H sejam grupos. Os elementos de G são denominados g, g′,…, e estão sujeitos a alguma operação ⊕. (Embora o símbolo possa ser pensado como alguma operação como multiplicação, o símbolo também pode indicar rotação ou alguma outra operação não aritmética). Da mesma forma, os elementos de H são indicados por h, h′,…, e estão sujeitos a alguma operação ⊗. Um homomorfismo de G a H é uma correspondência g → h entre todos os elementos de G e alguns elementos de H que tem a seguinte propriedade: se g → h e g′ → h′ →, então g ⊕ g′ h′ h ⊗ h′. Em outras palavras, o elemento de H correspondente a um produto de elementos em G é o produto, na mesma ordem, dos elementos de H correspondentes aos dois elementos em G. Expresso de forma mais compacta, a “imagem” do produto é o produto das imagens, ou a correspondência preserva a operação.

Uma correspondência entre membros de dois sistemas algébricos pode ser escrita como uma função f de G a H, e fala-se de f como “mapeamento” de G a H. A condição de que f seja um homomorfismo do grupo G para o grupo H pode ser expressa como o requisito de que f(g ⊕ g′) = f(g) ⊗ f(g′).

Homomomorfismos impõem condições a um mapeamento f: se e é a identidade de G, então g ⊕ e = g, então f(g ⊕ e) = f(g). Além disso, como f é um homomorfismo, f(g ⊕ e) = f(g) ⊗ f(e), então f(g) = f(g) ⊗ f(e). Pelas leis de cancelamento para grupos, isto implica que f(e) é igual à identidade em H. Assim, os homomorfismos mapeiam o elemento de identidade único de um grupo para o elemento de identidade único do outro grupo. Da mesma forma, os homomorfismos mapeiam o inverso de um elemento g em um grupo para o inverso do elemento f(g). É por isso que os homomorfismos são chamados de mapas que preservam a estrutura.

Os tipos especiais de homomorfismos têm seus próprios nomes. Um homomorfismo um-a-um de G a H é chamado monomorfismo, e um homomorfismo que é “sobre”, ou cobre cada elemento de H, é chamado epimorfismo. Um homomorfismo especialmente importante é um isomorfismo, no qual o homomorfismo de G a H é tanto um-para-um como para cima. Neste último caso, G e H são essencialmente o mesmo sistema e diferem apenas nos nomes dos seus elementos. Assim, os homomorfismos são úteis na classificação e enumeração dos sistemas algébricos, uma vez que permitem identificar quão intimamente diferentes sistemas estão relacionados.