Funkcja związana z całkowymi reprezentacjami rozwiązań problemów wartości brzegowej równań różniczkowych.
Funkcja Greena problemu wartości brzegowej liniowego równania różniczkowego jest podstawowym rozwiązaniem tego równania spełniającym jednorodne warunki brzegowe. Funkcja Greena jest jądrem operatora całkowego odwrotnego do operatora różniczkowego wygenerowanego przez dane równanie różniczkowe i jednorodne warunki brzegowe (por. jądro operatora całkowego). Funkcja Greena daje rozwiązania równania niejednorodnego spełniające jednorodne warunki brzegowe. Znalezienie funkcji Greena sprowadza badanie własności operatora różniczkowego do badania analogicznych własności odpowiadającego mu operatora całkowego.
Funkcja Greena dla równań różniczkowych zwyczajnych.
Pozwólmy $ L $być operatorem różniczkowym generowanym przez wielomian różniczkowy
$ l = ^ suma _ {k = 0 } ^ { n } p _ {k} ( x)^frac{d ^ {k} y }{dx ^ {k} } ,^ a < x < b,$$
oraz warunki brzegowe $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 ^ n $, gdzie
$ U _ {j} = ^ suma _ {k = 0 } ^ { n } ∗ alfa _ {jk} y ^ {(} k) ( a) + ∗ beta _ {jk} y ^ {(} k) ( b).$$
Funkcja Greena w $ L $ to funkcja $ G ( x, ˆxi ) $ spełniająca następujące warunki:
1) $ G ( x, ˆxi ) $ jest ciągła i ma ciągłe pochodne względem $ x $ do rzędu $ n – 2 $ dla wszystkich wartości $ x $ i $ ˆxi $ w przedziale $ $.
2) Dla dowolnie danej $ ^xi $ w $ ( a, b) $ funkcja $ G ( x, ^xi ) $ ma jednostajnie nieciągłe pochodne rzędu $ n $ względem $ x $ w każdym z półprzedziałów $ $, a pochodna rzędu $ n – 1 $ spełnia warunek
$ ^frac{partial ^ {n – 1 } }{partial x ^ {n – 1 } }G ( \xi + , \xi ) – \frac{partial ^ {n – 1 } } {{partial x ^ {n – 1 } }G ( \xi – , \xi ) = \frac{1}{p _ {n} ( \xi ) }$
jeśli $ x = \xi $.
3) W każdym z półprzedziałów $ funkcja $ G ( x, \xi ) $, traktowana jako funkcja $ x $, spełnia równanie $ l = 0 $ oraz warunki brzegowe $ U _ {j} = 0 $, $ j = 1 \nakładka n $.
Jeśli problem wartości brzegowej $ Ly = 0 $ ma tylko rozwiązania trywialne, to $ L $ ma jedną i tylko jedną funkcję Greena . Dla dowolnej funkcji ciągłej $ f $ na $ $ istnieje rozwiązanie problemu wartości brzegowej $ Ly = f $, a można je wyrazić wzorem
$ y ( x) = ^ { a } ^ { b } G ( x, ^xi )f ( ^xi ) d ^xi .$$
Jeśli operator $ L $ ma funkcję Greena $ G ( x, ^xi ) $, to operator addytywny $ L ^ {*} W szczególności, jeśli $ L $ jest samoprzyjemny ( $ L = L ^ {*} $), to $ G ( x, ^xi ) = ^overline{ {G ( ^ {xi , x) }}; $, tzn. funkcja Greena jest w tym przypadku jądrem hermitowskim. Zatem funkcja Greena samoaddytywnego operatora drugiego rzędu $ L $generowanego przez operator różniczkowy o współczynnikach rzeczywistych
$ l = \frac{d}{dx} lewa ( p\frac{dy }{dx}prawa ) +q ( x) y,\ a < x < b,$$
oraz warunki brzegowe $ y ( a) = 0$, $ y ( b) = 0$ mają postać: ( x) y _ {2} ( ithxi ) &textrm{ if } x \leq \xi , \Cy _ {1} ( xi ) y _ {2} ( x) &textrm{ if } x > \xi . \\\end{array} \right .$$
Tutaj $ y _ {1} ( x) $ i $ y _ {2} ( x) $ są dowolnymi, niezależnymi rozwiązaniami równania $ l = 0 $ spełniającymi odpowiednio warunki $ y _ {1} ( a) = 0 $, $ y _ {2} ( b) = 0 $; $ C = ^ {-} ^ {b} G ( x, ˆxi ) y ( ˆxi ) d ˆxi $, do którego ma zastosowanie teoria Fredholma (por. też twierdzenia Fredholma). Z tego powodu problem wartości brzegowej $ Ly = ˆlambda y $ może mieć co najwyżej policzalną liczbę wartości własnych $ ˆlambda _ {1} , lambda _ {2} \$ bez skończonych punktów granicznych. Problem sprzężony ma sprzężone kompleksowo wartości własne o tej samej krotności. Dla każdej $ lambdy $, która nie jest wartością własną $ L $ można skonstruować funkcję Greena $ G ( x, xi , ˆlambda ) $ operatora $ L – ˆlambda I $, gdzie $ I $ jest operatorem tożsamości. Funkcja $ G ( x, xi , ˆlambda ) $ jest funkcją meromorficzną parametru $ ˆlambda $; jej biegunami mogą być tylko wartości własne $ L $. Jeśli krotność wartości własnej $ ˆlambda _ {0} $ wynosi jeden, to
$ G ( x, ˆxi , ˆlambda ) = ˆfrac{u _ {0} ( x) ˆoverline{ {v _ {0} ( ˆxi ) }}; }{ ˆlambda – ˆlambda _ {0} } +G _ {1} ( x, \xi , \lambda ),$$
gdzie $ G _ {1} ( x, xxi , \lambda ) $ jest regularne w sąsiedztwie punktu $ \lambda _ {0} $, a $ u _ {0} ( x) $ i $ v _ {0} ( x) $ są funkcjami własnymi $ L $ i $ L ^ {*} $ odpowiadające wartościom własnym $ lambda _ {0} $ i $ overline{ {lambda _ {0}} $ i znormalizowane tak, że
$ $ integracja _ { a } ^ { b } u _ {0} ( x) ^overline{ {v _ {0} ( x) }}; dx = 1.$$
Jeśli $ G ( x, ^xi , ^lambda ) $ ma nieskończenie wiele biegunów i jeśli są one tylko pierwszego rzędu, to istnieje kompletny układ biorytogonalny
$$ u _ {1} ( x),u _ {2} ( x) ,∗ ∗ ∗ v _ {1} ( x),v _ {2} ( x) ∗$
funkcji własnych $ L $ i $ L ^ {*} Jeżeli wartości własne są ponumerowane rosnąco według ich wartości bezwzględnych, to całka
$ I _ {R} ( x, f ) = \frac{1}{2 \pi i } \ ^ d ^lambda ^intlimits _ { a } ^ { b } G ( x, \xi , \lambda )f ( \xi ) d \xi$$
jest równe sumie częściowej
$$ S _ {k} ( x, f ) = ∗ suma _ {| ∗ lambda _ {n} | < R }u _ {n} ( x) = \u _ { a } ^ { b } f ( \xi )\overline{ {v _ {n} ( \xi )\; \ d \xi$
rozszerzenia $ f $ względem funkcji własnych $ L $. Dodatnia liczba $ R $ jest tak dobrana, że funkcja $ G ( x, \xi , \lambda ) $ jest regularna w $ \lambda $ na okręgu $ | \lambda | = R $. Dla regularnego problemu wartości brzegowej i dla dowolnej funkcji gładkiej jak kawałek drogi $ f $ w przedziale $ a < x < b $, równanie
$ $ \limit _ {R \prawda \infty } \ I _ {R} ( x, f ) = \ {frac{1}{2} } $$
jest słuszna, czyli możliwe jest jej rozwinięcie w szereg zbieżny .
Jeśli funkcja Greena $ G ( x, \xi , \lambda ) $ operatora $ L – \lambda I $ ma wiele biegunów, to jej część główna wyraża się przez kanoniczne układy funkcji własnych i addytywnych operatorów $ L $ i $ L ^ {*} $.
W rozważanym powyżej przypadku problem wartości brzegowej $ Ly = 0 $ nie ma nietrywialnych rozwiązań. Jeżeli natomiast takie nietrywialne rozwiązania istnieją, to wprowadza się tzw. uogólnioną funkcję Greena. Niech istnieje np. dokładnie $ m $ liniowo niezależnych rozwiązań problemu $ Ly = 0 $. Wówczas uogólniona funkcja Greena $ ˆwidetilde{G} ( x, \xi ) $ istnieje, która ma własności 1) i 2) zwykłej funkcji Greena, spełnia warunki brzegowe jako funkcja $ x $ jeśli $ a < \xi < b $ i dodatkowo jest rozwiązaniem równania
$ l _ {x} = -suma _ {k = 1 } ^ { m } \\phi _ {k} ( x)\overline{ {v _ {k} ( x) }}; .$$
Tutaj $ \{ v _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ jest układem liniowo niezależnych rozwiązań problemu addytywnego $ L ^ {*} y = 0 $, natomiast $ ^{ phi _ {k} ( x) \} _ {k = 1 } ^ {m} $ jest arbitralnym układem funkcji ciągłych biorytogonalnych do niego. Wtedy
$ y ( x) = ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ a } ^ { b } \^ ^widetilde{G} ( x, \xi )f ( \xi ) d \xi$$
jest rozwiązaniem problemu wartości brzegowej $ Ly = f $ jeśli funkcja $ f $ jest ciągła i spełnia kryterium rozwiązywalności, tzn. jest ortogonalna do wszystkich $ v _ {k} $.
Jeśli $widetilde{G} _ {0} $ jest jedną z uogólnionych funkcji Greena w $ L $, to każdą inną uogólnioną funkcję Greena można przedstawić w postaci
$ $ \u00ilde{G} ( x, xi ) = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ _ {0} ( x, \xi ) + suma _ {k = 1 } ^ { m } u _ {k} ( x) ∗psi _ {k} ( x, xi ),$$
gdzie $ u _ {k} ( x) $ jest kompletnym układem liniowo niezależnych rozwiązań problemu $ Ly = 0 $, a $ u _ {k} ( x) ( x) $ są arbitralnymi funkcjami ciągłymi .
Funkcja zielona dla równań różniczkowych cząstkowych.
1) Równania eliptyczne. Niech $ A $będzie eliptycznym operatorem różniczkowym rzędu $ m $generowanym przez wielomian różniczkowy
$ a ( x, D) = ˆsuma _ {| ˆalfa | ˆleq m } a _ ˆalfa ( x) D ^ ˆalfa $$
w ograniczonej dziedzinie $ ˆOmega ˆzbioru ˆmathbf R ^ {N} $ i jednorodnych warunkach brzegowych $ B _ {j} u = 0 $, gdzie $ B _ {j} $ są operatorami brzegowymi o współczynnikach zdefiniowanych na granicy $ ^ {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}} $, która z założenia jest wystarczająco gładka. Mówi się, że funkcja $ G ( x, y) $ jest funkcją Greena dla $ A $, jeżeli dla dowolnego ustalonego $ y w ∗Omega $ spełnia jednorodne warunki brzegowe $ B _ {j} G ( x, y) = 0 $ oraz jeśli, traktowana jako funkcja uogólniona, spełnia równanie
$ a ( x, D)G ( x, y) = ^delta ( x – y).$$
W przypadku operatorów o gładkich współczynnikach i normalnych warunkach brzegowych, które zapewniają, że rozwiązanie jednorodnego problemu wartości brzegowej jest unikalne, funkcja Greena istnieje i rozwiązanie problemu wartości brzegowej $ Au = f $ można przedstawić w postaci (por. | x – y | | ^tekstrm{ if } m = n,$$
są ważne dla funkcji Greena, a ta ostatnia jest jednostajnie związana, jeśli $ m > n $.
Graniczny problem wartości własnych $ Au = ∗ u $ jest równoważny równaniu całkowemu
$ u ( x) = ∗ u ( y) dy,$$
do którego ma zastosowanie teoria Fredholma (por. ) (por. twierdzenia Fredholma). Z tego wynika w szczególności, że liczba wartości własnych jest co najwyżej policzalna i nie ma skończonych punktów granicznych; addytywny problem wartości granicznej ma sprzężone kompleksowo wartości własne o tej samej krotności.
Funkcja Greena była dokładniej badana dla równań drugiego rzędu, ponieważ charakter osobliwości rozwiązania podstawowego może być jednoznacznie wypisany. I tak, dla operatora Laplace’a funkcja Greena ma postać
$ G ( x, y) = \frac{Gamma ( n / 2) }{2 \pi ^ {n/2} ( n – 2) }| x – y | ^ {2 – n } + \gamma ( x, y) \ \ \textrm{ if } n > 2,$$
$$ G ( x, y) = + \frac{1}{2 \pi } \mathop{ \rm ln} | x – y | + ˆgamma ( x, y) ˆtextrm{ if } n = 2,$$
gdzie $ ˆgamma ( x, y) $ jest funkcją harmoniczną w $ ˆOmega $ wybraną tak, że funkcja Greena spełnia warunek brzegowy.
Funkcja Greena $ G ( x, y) $ pierwszego problemu wartości brzegowej dla operatora eliptycznego drugiego rzędu $ a ( x, D) $ o gładkich współczynnikach w dziedzinie $ \Omega $ z granicą typu Lyapunowa $ \Omega $, umożliwia wyrażenie rozwiązania problemu
$ a ( x, D) u( x) = \ f ( x) \textrm{ if } \ x \ w \Omega \ \ \ lewa . u ithright | _ {partial \Omega } = \phi ,$$
w postaci
$$ u ( x) = \int \limits _ \Omega G ( x, y) f ( y) dy + \int \limits _ {partial \Omega } \frac \partial \nu _ {y} }G ( x, y) \phi ( y) d \sigma _ {y} gdzie $$
jest pochodną wzdłuż zewnętrznej współnormalnej operatora $ a ( x, D) $ i $ d \sigma _ {y} $ jest elementem powierzchni na $ \partial \Omega $.
Jeśli jednorodny warunek brzegowy $ Au = 0 $ ma nietrywialne rozwiązania, wprowadza się uogólnioną funkcję Greena, tak jak dla równań różniczkowych zwyczajnych. Tak więc uogólniona funkcja Greena, tzw. funkcja Neumanna, jest dostępna dla operatora Laplace’a.
2) Równania paraboliczne. Niech $ P $będzie parabolicznym operatorem różniczkowym rzędu $ m $generowanym przez wielomian różniczkowy
$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\frac \partial {\partial t } \right ) = \frac \partial {\partial t } -suma _ {| \alpha | \leq m }a _ \alpha ( x, t) D _ {x} \ B _ {j} u ( x, t) = 0,$$
gdzie $ B _ {j} $ są operatorami brzegowymi o współczynnikach określonych dla $ x w ∗mega $ i $ t ∗geq 0 $. Funkcja Greena operatora $ P $ to funkcja $ G ( x, t, y, ˆtau ) $, która dla dowolnie ustalonych $ ( y , \) $ przy $ t > \aq 0 $ i $ y w \aq 0 $ spełnia jednorodne warunki brzegowe $ B _ {j} = 0 $, a także spełnia równanie
$ p \left ( x, t, D _ {x} ,\frac \partial t }right )G ( x, t, y, \tau ) = \delta ( x – y , t – \tau ) .$$
Dla operatorów o gładkich współczynnikach i normalnych warunkach brzegowych, co zapewnia jednoznaczność rozwiązania problemu $ pu = 0 $, funkcja Greena istnieje, a rozwiązanie równania
$ p ∗ lewa (x, t, ^ { t } \ ^ d ^tau ^intlimits _ ^Omega G ( x, t, y, ^tau )f ( y, ^tau ) dy +$$
$ + ^intlimits _ ^Omega G ( x, t, y, 0) ^phi ( y) dy.$$
W badaniu układów eliptycznych lub parabolicznych funkcję Greena zastępuje się pojęciem macierzy Greena, za pomocą której rozwiązania problemów wartości granicznej z jednorodnymi warunkami brzegowymi dla tych układów wyraża się jako całki z iloczynów macierzy Greena przez wektory prawych stron i warunki początkowe .
Nazwa funkcji Greena pochodzi od nazwiska G. Greena (1828), który w swoich badaniach nad teorią potencjału jako pierwszy zbadał szczególny przypadek takich funkcji.
| M.A. Naimark, „Lineare Differentialoperatoren” , Akademie Verlag (1960) (Tłumaczenie z rosyjskiego) MR0216049 | |
| M.V. Keldysh, „On the characteristic values and characteristic functions of certain classes of non-self-adjoint equations” Dokl. Akad. Nauk. SSSR , 77 : 1 (1951) s. 11-14 (In Russian) | |
| V.V. Sobolev, „Course in theoretical astrophysics” , NASA , Washington, D.C. (1969) (Translated from Russian) | |
| L. Bers, F. John, M. Schechter, „Partial differential equations” , Interscience (1964) MR0163043 Zbl 0126.00207 | |
| L. Gårding, „Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differential equations” Math. Scand. , 1 : 1 (1953) s. 55-72 MR64979 | |
| A. Friedman, „Partial differential equations of parabolic type” , Prentice-Hall (1964) MR0181836 Zbl 0144.34903 | |
| S.D. Eidel’man, „Parabolic systems” , North-Holland (1969) (Tłumaczenie z rosyjskiego) Zbl 0181.37403 |
| J.K. Hale, „Ordinary differential equations” , Wiley (1980) MR0587488 Zbl 0433.34003 | |
| P.R. Garabedian, „Partial differential equations” , Wiley (1964) MR0162045 Zbl 0124.30501 |
Funkcja zielona w teorii funkcji.
W teorii funkcji zmiennej zespolonej przez (rzeczywistą) funkcję Greena rozumie się funkcję Greena dla pierwszego problemu wartości brzegowej dla operatora Laplace’a, tzn. funkcję typu
$$ \tag{1 }G ( z, z _ {0} ) = \mathop{rm ln} \frac{1}{| z – z _ {0} | } +gamma ( z, z _ {0} ),$$
gdzie $ z = x + iy $ jest zmienną zespoloną, $ z _ {0} = x _ {0} + iy _ {0} $ jest biegunem funkcji Greena, $ z _ {0} $ w $ omega $, a $ gamma ( z, z _ {0} ) $ jest funkcją harmoniczną $ z $ która przyjmuje wartości $ – – ∗ ln} 1/ | z – z _ {0} | $ na granicy $ ∗ Omega $. Niech dziedzina $ z _ {0} $ będzie połączona prostoliniowo i niech $ w = f ( z, z _ {0} ) $ będzie funkcją analityczną realizującą odwzorowanie konforemne $ z _ {0} $ na dysk jednostkowy tak, że $ z _ {0} $ odwzorowuje się na środek dysku i takie, że $ f ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, $ f ^ { \pierwiastek } ( z _ {0} , z _ {0} ) > 0 $.
Then
$ \tag{2 }G ( z, z _ {0} ) = \mathop{ ln} \frac{1}{| f ( z, z _ {0} ) | } .$$
Jeżeli $ H ( z, z _ {0} ) $ jest funkcją harmoniczną sprzężoną z $ G ( z, z _ {0} ) $, $ H ( z _ {0} , z _ {0} ) = 0 $, to o funkcji analitycznej $ F ( z, z _ {0} ) = G ( z, z _ {0} ) + iH ( z, z _ {0} ) $ mówi się, że jest złożoną funkcją Greena o $ omega $ z biegunem $ z _ {0} $. Odwrócenie wzoru (2) daje
$$ \tag{3 }f ( z, z _ {0} ) = e ^ {- F ( z, z _ {0} ) } $$
Z wzorów (2) i (3) wynika, że problemy konstrukcji odwzorowania konforemnego $ Omega $ na dysk i znalezienia funkcji Greena są równoważne. Funkcje Greena $ G ( z, z _ {0} ) $, $ F ( z, z _ {0} ) $ są niezmiennicze pod odwzorowaniami konforemnymi, co może czasem ułatwić ich identyfikację (patrz: Metoda odwzorowań).
W teorii powierzchni Riemanna wygodniej jest definiować funkcje Greena za pomocą własności minimum, obowiązującej dla funkcji (1): Spośród wszystkich funkcji $ U ( z, z _ {0} ) $ na powierzchni Riemanna $ z _ {0} $, które są dodatnie i harmoniczne dla $ z _ {0} $ i mają w sąsiedztwie $ z _ {0} $ postać
$ $ \tag{4 }U ( z, z _ {0} ) = \tag{4 }U ( z, z _ {0} ) = \mathop{ ln} \frac{1}{| z – z _ {0} | } +gamma ( z, z _ {0} ),$$
gdzie $gamma ( z, z _ {0} ) $ jest funkcją harmoniczną, która jest regularna na całej powierzchni $ Omega $, funkcja Greena, jeśli istnieje, jest najmniejsza, czyli $ G ( z, z _ {0} ) ^leq U ( z, z _ {0} ) $. Tutaj istnienie funkcji Greena jest typowe dla powierzchni Riemanna typu hiperbolicznego. Jeżeli funkcja Greena jest w ten sposób zdefiniowana, to nie znika już, ogólnie mówiąc, nigdzie na (idealnej) granicy powierzchni Riemanna. Podobnie jest w teorii potencjału (patrz też: Teoria potencjału, abstrakcja). Dla dowolnego zbioru otwartego $ ∗mega $, np. w przestrzeni euklidesowej $ ∗mathbf R ^ {n} $, $ n ∗geq 2 $, funkcja Greena $ G ( x, x _ {0} ) $ może być również zdefiniowana za pomocą omówionej wyżej własności minimum, ale dla $ n ∗geq 3 $ wyrażenie $ | x – x _ {0} | ^ {2 – n } $ należy zastąpić wyrażeniem $ \mathop{\rm ln} {1/ | x – x _ {0} | } $ we wzorze (4). W ogólności, taka funkcja Greena niekoniecznie dąży do zera w miarę zbliżania się do granicy $ ∗ Omega $. Funkcja Greena nie istnieje dla powierzchni Riemanna typu parabolicznego lub dla pewnych domen w $ ^ {2} $ (np. dla $ ^Omega = ^ {2} $).
| S. Stoilov, „The theory of functions of a complex variable” , 1-2 , Moscow (1962) (In Russian; translated from Rumanian) | |
| R. Nevanlinna, „Uniformisierung” , Springer (1953) MR0057335 Zbl 0053.05003 | |
| M. Brélot, „Eléments de la théorie classique du potentiel” , Sorbonne Univ. Centre Doc. Univ. , Paris (1959) MR0106366 Zbl 0084.30903 |
E.D. Solomentsev
Zobacz też i dla funkcji Greena w klasycznej teorii potencjału, i dla funkcji Greena w aksjomatycznej teorii potencjału.
W teorii funkcji kilku zmiennych zespolonych, a dokładniej w teorii pluri-potencjału (por. też Teoria potencjału), wprowadzono funkcje Greena dla złożonego równania Monge-Ampère’a. W idealnym przypadku taka funkcja Greena powinna być rozwiązaniem fundamentalnym dla złożonego operatora Monge-Ampère’a $ M A = \mathop{\rm det} Jedynie dla domen pseudowypukłych (por. Pseudowypukłe i pseudowklęsłe) możliwe jest uzyskanie pewnej analogii do klasycznej teorii jednowymiarowej. Zaproponowano kilka nieekwiwalentnych definicji funkcji Greena. Jedna z nich jest następująca. Niech $ ^Omega $ będzie dziedziną w $ ^ {n} $, $ w ^Omega $. Niech $ \mathop{rm PSH} ( \Omega ) $ oznaczają funkcje plurisubharmoniczne (cf. Plurisubharmonic function) na $ \Omega $. Funkcja Greena dla $ \Omega $ z biegunem w $ $ jest
$$ G ( z , w ) =$$
$$ = \sup \{ u ( z) : u \ w \mathop{ \rm PSH} ( \Omega ) , u \leq 0 , \ u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} | \zeta – w | < C _ {u} \} , $$
gdzie $ C _ {u} $ jest stałą zależną od $ u $. Zatem, dla każdego ustalonego $ w $, $ G ( w ) $ jest plurisubharmoniczne. Dla $ n = 1 $, $ – G $ równa się zwykłej funkcji Greena. Oczywiście chcemy, aby $ G ( ∗dot , w ) $mid _ {partial ∗mega } = 0 $, a także $ G ( ∗dot , w ) $ była funkcją ciągłą na $ $, ale jest to równoważne temu, aby $ ∗mega $ była dziedziną hiperwypukłą (czyli pseudowypukłą, która dopuszcza ciągłą, ograniczoną plurisubharmoniczną funkcję wyczerpania). Jeśli tak jest, to mamy również:
1) $ M A ( G ( \cdot , w ) = ( 2 \pi ) ^ {n} \^ {w} $, gdzie $ ^delta _ {w} $ jest miarą Diraca przy $ w $ $,
2) $ G ( z , w ) ^sim ^mathop{ log} | z – w | $ jak $ z – w $ i $ G $ jest ciągła na $ \overline \Omega \; \times \Omega $.
Jeśli $ \Omega $ jest ściśle wypukła, to $ G $ jest symetryczna: $ G ( z , w ) = G ( w , z ) $ i $ C ^ \infty $ na $ \Omega \setminus \{ w \} $. Jeśli $ ^Omega $ jest tylko ściśle pseudowypukła, to $ G $ nie musi być symetryczna, a nawet nie musi być $ C ^ {2} $. Można wprowadzić pewien rodzaj funkcji Greena, w której symetria jest uwzględniona, patrz , ale można stracić 1) i 2). Dla $ Omega $ ściśle pseudowypukłych zachodzi następująca nierówność (L. Lempert):
$$ \mathop{ log} \mathop{{rm tanh} C ( z , w ) \leq \ G ( z , w ) < \mathop{{rm log} \mathop{{rm tanh} K ( z , w ),$$
z równością dla domen wypukłych. Tutaj $ C $ i $ K $ oznaczają odpowiednio odległość Carathéodory’ego i Kobayashi’ego.
Jeśli $ E $ jest zbiorem ograniczonym w $ ^ {n} $, funkcja Greena z biegunem w $ \infty $ dla $ E $ jest
$$ L _ {E} ( z) =$$
$$ = ˆsup ˆ{ u ( z) : u ˆin ˆmathop{rm PSH} ( ™ omega) , u ™leq 0 ™mathop{{rm on} E , u ( \zeta ) – \mathop{\rm log} ( 1 + | \zeta | ) < C _ {u} \u} , $$
i analogicznie do przypadku jednozmiennej istnieje funkcja Robina
$$ R _ {E} ( z) = \limits \sup _{begin{array}{c} \lambda \ w \mathbf C \ \lambda \rightarrow \infty \end{array} }( L _ {E} ( ™lambda z ) – ™mathop{rm log} \lambda z | )$$
i logarytmiczna pojemność
$$ \mathop{rm Cap} ( E) = \mathop{\rm exp} \{ – \sup R _ {E} \$$
Dla ogólnych zbiorów $ E$, $ \mathop{{rm Cap} ( E} ( E) = \limits _ {n \rightarrow \infty } \mathop{rm cap} ( E \cap \{ | z | < n \} ) $. Pojemność ta ma tę własność, że zbiory o pojemności zero są właśnie zbiorami pluri-polarnymi.
| L.L. Helms, „Introduction to potential theory” , Wiley (Interscience) (1969) | |
| K. Janssen, „On the existence of a Green function for harmonic spaces” Math. Annalen , 208 (1974) s. 295-303 MR0350045 Zbl 0265.31018 | |
| N.S. Landkof, „Foundations of modern potential theory” , Springer (1972) (Tłumaczenie z języka rosyjskiego) MR0350027 Zbl 0253.31001 | |
| E. Bedford, „Survey of pluri-potential theory” (forthcoming) MR1207855 Zbl 0786.31001 | |
| U. Cegrell, „Capacities in complex analysis” , Vieweg (1988) MR0964469 Zbl 0655.32001 | |
| J.P. Demailly, „Mesures de Monge-Ampère et mesures pluriharmoniques” Math. Z. , 194 (1987) s. 519-564 MR881709 Zbl 0595.32006 |
Funkcja Greena w mechanice statystycznej.
Uporządkowana w czasie liniowa kombinacja funkcji korelacji (por. Funkcja korelacji w mechanice statystycznej), która jest wygodną wielkością pośrednią w obliczeniach oddziałujących cząstek.
Funkcja Greena w statystycznej mechanice kwantowej.
Najczęściej stosowane są dwuczasowe komutatorowe temperaturowe funkcje Greena: opóźniona $ ( \mathop{\rm ret} , + ) $, zaawansowana $ ( \mathop{\rm adv} , – ) $ i przyczynowa (c). Są one zdefiniowane przez relacje:
$$ G _ {AB} \equiv$$
$$ \equiv \theta ( t – t ^ ^ \prime ) \langle _ \eta \rangle ,$$
$$ G _ {AB} ^ {( ^mathop{ ^rm adv} ) } ( t – t ^ ^ ^ prime ) = \ll A ( t) \mid B ( t ^ ^ ^ prime ) \gg ^ {( \mathop{ \rm adv} ) } \equiv \$
$$ \equiv \ – \theta ( t ^ \prime – t) \langle _ \eta \rangle ,$$
$$ G _ {AB} $$
gdzie
$ _ ˆeta = ˆeta A ( t) B ( t ^ ˆprime ) – ˆeta B ( t ^ ˆprime ) A ( t),$$
$ T _ \u00a A ( t) B ( t ^ \u00a ) = \u00a ( t – t ^ \u00a ) A ( t)B ( t ^ \u00a ) + \u00a ( t ^ \u00a – t) B ( t ^ \u00a ) A ( t),$$
$$ \theta ( x) = \left \{ \begin{array}{ll}1, & x > 0 \0, & x < 0 \end{array} ,\eta = \pm 1 . \right .$$
Tutaj $ A ( t) $ i $ B ( t ^ \prime ) $ są zmiennymi dynamicznymi zależnymi od czasu (operatorami na przestrzeni stanów układu w reprezentacji Heisenberga); $ \langle \dots \rangle $ oznacza średnią z agregatu statystycznego Gibbsa; wartość $ \eta = \pm 1 $ jest wybrana dla wygody. Efektywność wykorzystania funkcji Greena zależy w dużym stopniu od zastosowania reprezentacji spektralnych ich transformat Fouriera $ G _ {AB} ^ {(} n) ( E) $, $ n = \mathop{\rm ret} , \mathop{ \rm adv} , \textrm{ c } Dla niezerowej temperatury obowiązuje więc następująca reprezentacja zaawansowanych i opóźnionych funkcji Greena:
$$ G _ {AB} ^ {(} n) =$$
$$ = \frac{i}{2 \i } \_ {- \infty } ^ { {+ } \infty } \frac{(e ^ {omega / \theta } – \eta ) J _ {AB} (\omega ) }{E – \omega + i \epsilon \alpha _ {n} } d \omega ,$$
$$ \epsilon \rightarrow + 0,\ \ alpha _ {n} = \left \{ \begin{array}{rl}1, & n = \mathop{rm ret} , 1, & n = \mathop}{rm adv} . \\\end{array} \right .$$
Tutaj $ J _ {AB} ( ™omega ) $ to gęstość spektralna, $ ™theta = kT $, gdzie $ T 0 $ to temperatura bezwzględna, a $ k $ to stała Boltzmanna. W przyjętym układzie jednostek, $ hbar = h/2 \pi = 1 $, gdzie $ h $ jest stałą Plancka. W szczególności, obowiązuje następujący wzór:
$$ G _ {AB} ^ {( ™mathop{ ™rm ret} ) } ( ∗omega ) -G _ {AB} ^ {( \mathop{\rm adv} ) } ( \omega ) = \left ( e ^ \omega / \theta } – \eta \right ) J _ {AB} ( ˆomega ) .$$
Wzór ten pozwala na obliczenie gęstości widmowej (a więc i szeregu właściwości fizycznych układu) za pomocą funkcji Greena. Podobne wzory spektralne istnieją również dla temperatury zerowej. Osobliwości (bieguny na płaszczyźnie zespolonej) transformaty Fouriera funkcji Greena charakteryzują widmo i tłumienie elementarnych perturbacji w układzie. Podstawowymi źródłami obliczania funkcji Greena są: a) przybliżone rozwiązanie nieskończonego łańcucha równań z przeplotem, które wyprowadza się bezpośrednio z definicji funkcji Greena poprzez „rozszczepienie” łańcucha na podstawie idei fizycznych; b) sumowanie fizycznych „fundamentalnych” członów szeregu teorii perturbacji (sumowanie diagramów); metoda ta jest stosowana głównie do obliczania przyczynowych funkcji Greena i przypomina pod wieloma względami metodę obliczania funkcji Greena w kwantowej teorii pola. oraz zastąpienie komutatora $ A ( t) B ( t ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ A ( t) $ (kwantowych nawiasów Poissona) klasycznymi (zwykłymi) nawiasami Poissona; $ oznacza, odpowiednio, uśrednienie po klasycznym agregacie Gibbsa. Wprowadzenie przyczynowej funkcji Greena nie ma tu żadnego znaczenia, gdyż iloczyn zmiennych dynamicznych jest komutatywny. Analogicznie do przypadku kwantowego, istnieją reprezentacje spektralne transformaty Fouriera funkcji Greena i mogą być efektywnie wykorzystane. Podstawowym źródłem do obliczenia klasycznej funkcji Greena jest układ równań otrzymany przez nieskończenie duże zmiany hamiltonianu pewnego układu równań dla funkcji korelacji: łańcuch równań Bogolyubova, układ równań hydrodynamicznych itp.
| N.N. Bogolyubov, S.V. Tyablikov, „Retarded and advanced Green functions in statistical physics” Soviet Phys. Dokl. , 4 (1960) s. 589-593 Dokl. Akad. Nauk SSSR , 126 (1959) s. 53 Zbl 0092.21703 | |
| D.N. Zubarev, „Double-time Green functions in statistical physics” Soviet Phys. Uspekhi , 3 (1960) s. 320-345 Uspekhi Fiz. Nauk , 71 (1960) s. 71-116 MR0122068 | |
| N.N. Bogolyubov, jr, B.I. Sadovnikov, Zh. Eksperim. Teor. Fiz. , 43 : 8 (1962) s. 677 | |
| N.N. Bogolyubov jr, B.I. Sadovnikov, „Some questions in statistical mechanics” , Moskwa (1975) (In Russian) | |
| , Fizyka statystyczna i kwantowa teoria pola , Moskwa (1973) (In Russian) Zbl 1195.81005 Zbl 1153.81302 Zbl 1153.81301 Zbl 1119.81300 Zbl 1110.00014 Zbl 1112.81301 Zbl 1099.81500 Zbl 1062.81500 Zbl 1064.81500 Zbl 1014.00503 Zbl 1062.81501 Zbl 0994.81077 Zbl 1016.81042 Zbl 0967.00039 Zbl 1087.82505 Zbl 1074.81537 Zbl 1014.00509 Zbl 0947.00014 Zbl 0967.00041 Zbl 0956.81504 |
V.N. Plechko
.