Homorfisme, (van Grieks homoios morphe, “gelijksoortige vorm”), een speciale overeenkomst tussen de leden (elementen) van twee algebraïsche stelsels, zoals twee groepen, twee ringen, of twee velden. Twee homomorfe stelsels hebben dezelfde basisstructuur, en hoewel hun elementen en bewerkingen volledig verschillend kunnen lijken, zijn resultaten voor het ene stelsel vaak even goed van toepassing op het andere stelsel. Als dus kan worden aangetoond dat een nieuw stelsel homomorf is met een bekend stelsel, kunnen bepaalde bekende eigenschappen van het ene stelsel worden toegepast op het andere, waardoor de analyse van het nieuwe stelsel wordt vereenvoudigd.

In een homomorfisme gedragen overeenkomstige elementen van twee stelsels zich zeer gelijksoortig in combinatie met andere overeenkomstige elementen. Stel bijvoorbeeld dat G en H groepen zijn. De elementen van G worden aangeduid met g, g′, …, en zij zijn onderworpen aan een of andere operatie ⊕. (Hoewel het symbool kan worden opgevat als een bewerking zoals vermenigvuldigen, kan het symbool net zo goed rotatie of een andere niet-aritmetische bewerking aanduiden). Evenzo worden de elementen van H aangeduid met h, h′, …, en zijn ze onderworpen aan een of andere bewerking ⊗. Een homomorfisme van G naar H is een correspondentie g → h tussen alle elementen van G en sommige elementen van H die de volgende eigenschap heeft: als g → h en g′ → h′, dan g ⊕ g′ → h ⊗ h′. Met andere woorden, het element van H dat correspondeert met een product van elementen in G is het product, in dezelfde volgorde, van de elementen van H die corresponderen met de twee elementen in G. Compacter uitgedrukt: het “beeld” van het product is het product van de beelden, of de correspondentie bewaart de werking.

Een correspondentie tussen leden van twee algebraïsche stelsels kan worden geschreven als een functie f van G naar H, en men spreekt van f als een “afbeelding” van G naar H. De voorwaarde dat f een homomorfisme is van de groep G naar de groep H kan worden uitgedrukt als de eis dat f(g ⊕ g′) = f(g) ⊗ f(g′).

Homorfismen leggen voorwaarden op aan een afbeelding f: als e de identiteit van G is, dan is g ⊕ e = g, dus f(g ⊕ e) = f(g). Bovendien, aangezien f een homomorfisme is, is f(g ⊕ e) = f(g) ⊗ f(e), dus f(g) = f(g) ⊗ f(e). Door de annuleringswetten voor groepen impliceert dit dat f(e) gelijk is aan de identiteit in H. Dus homomorfismen brengen het unieke identiteits-element van de ene groep over in het unieke identiteits-element van de andere groep. Evenzo brengen homomorfismen het inverse van een element g in de ene groep over in het inverse van het element f(g). Daarom worden homomorfismen structuurbehoudende kaarten genoemd.

Speciale soorten homomorfismen hebben hun eigen naam. Een één-op-één-homomorfisme van G naar H heet een monomorfisme, en een homomorfisme dat “onto” is, of elk element van H omvat, heet een epimorfisme. Een bijzonder belangrijk homomorfisme is een isomorfisme, waarbij het homomorfisme van G naar H zowel één-op-één als onto is. In dit laatste geval zijn G en H in wezen hetzelfde stelsel en verschillen zij alleen in de naam van hun elementen. Homomorfismen zijn dus nuttig bij het classificeren en opsommen van algebraïsche stelsels, omdat men er uit kan afleiden hoe nauw verschillende stelsels verwant zijn.